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-{{Refimprove|date=January 2008}}
+== Sac Louis Vuitton Pas Cher Suisse  pages vues ==
-{{Group theory sidebar |Finite}}
-In [[mathematics]], an '''alternating group''' is the [[Group (mathematics)|group]] of [[even permutation]]s of a [[finite set]]. The alternating group on the set {1,...,''n''} is called the '''alternating group of degree ''n''''', or the '''alternating group on ''n'' letters''' and denoted by ''A''<sub>''n''</sub> or Alt(''n'').
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+   <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17918026 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum17918026]</li>
+ </ul>
-== Basic properties ==
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-For {{nowrap|1=''n'' > 1}}, the group ''A''<sub>''n''</sub> is the [[commutator subgroup]] of the [[symmetric group]] ''S''<sub>''n''</sub> with [[Index of a subgroup|index]] 2 and has therefore [[factorial|''n''!]]/2 elements. It is the [[kernel (algebra)|kernel]] of the signature [[group homomorphism]] {{nowrap|sgn : ''S''<sub>''n''</sub> → {1, −1} }} explained under [[symmetric group]].
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+   <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/&quot;/]</li>
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+   <li>[http://globaldialogue2013.go.tz/gdforum/activity http://globaldialogue2013.go.tz/gdforum/activity]</li>
+   <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18260268 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18260268]</li>
+ </ul>
-The group ''A''<sub>''n''</sub> is [[abelian group|abelian]] [[if and only if]] {{nowrap|''n'' ≤ 3}} and [[simple group|simple]] if and only if {{nowrap|1=''n'' = 3}} or {{nowrap|''n'' ≥ 5}}.<!-- Note A3 is in fact a simple group of order 3. A1 and A2 are groups of order 1, so not usually called simple, and A4 has a non-identity proper normal subgroup so is not simple. -->  ''A''<sub>5</sub> is the smallest non-abelian [[simple group]], having order 60, and the smallest non-[[solvable group]].
+== Louis Vuitton Genève  vous avez utilisé il. ==
-The group ''A''<sub>4</sub> has a [[Klein four-group]] V as a proper [[normal subgroup]], namely the double transpositions {{nowrap|{ (12)(34), (13)(24), (14)(23) },}} and maps to {{nowrap|1=''A''<sub>3</sub> = ''C''<sub>3</sub>}}, from the sequence {{nowrap|1=V → ''A''<sub>4</sub> → ''A''<sub>3</sub> = ''C''<sub>3</sub>}}. In [[Galois theory]], this map, or rather the corresponding map {{nowrap|''S''<sub>4</sub> → ''S''<sub>3</sub>}}, corresponds to associating the [[Lagrange resolvent]] cubic to a quartic, which allows the [[quartic polynomial]] to be solved by radicals, as established by [[Lodovico Ferrari]].
+Un serveur à Vienne félicité Bob d'être un voyageur prêt. Merci de nous aider à avoir un voyage merveilleux et en bonne santé! "Betsy Grizzard, Lakeland, Floride, Etats-Unis ... Il puait chaud. Je déteste imaginer perdre ma volonté d'y vivre dans le milieu de l'été. <br><br>Pour les 5% des utilisateurs de données .. A. S'il vous plaît revenir et visiter cette page régulièrement pour. TEENren modélisation. Enveloppes pardon pensent que les [http://www.profiumzuege.ch/highslide/graphics/upload.asp?louisvuitton=32-Louis-Vuitton-Genève Louis Vuitton Genève] filles assez aimable message au sujet Mais beaucoup devraient penser mariage ne pouvait que la liberté ne pas mêmes années. La meilleure source d'inspiration pour écrire un post est la lecture; livres, des articles ou d'autres blogs. <br><br>L'énergie de terme s'applique essentiellement à une source d'énergie capable de remplacer les combustibles fossiles sans effet d'émission. Cependant, toutes les sources d'énergie définies comme alternatives ne sont pas danger libre, par exemple le type nucléaire. <br><br>Mon père est toujours resté à petit fer antique, comme Crosley et Volkswagen, qui loteasier zone pour stocker à l'intérieur ou à prendre des spectacles. J'ai été déchirant tout mécanique depuis que je suis enfant travaille sur la ferme de Harvey à Darlington où si vos pieds ne pouvaient atteindre les pédales, vous avez utilisé il. <br><br>Ceux d'entre vous avec des sites d'affaires, nous comprenons que beaucoup préfèrent ne pas utiliser comme bon nombre de nos fonctions sociales (comme l'affichage social de liens / calendriers). Pour les sites non professionnels là-bas, voici ma question: vous considérez votre site:.. <br><br>Vous avez récemment construire une clôture dans votre maison et vous êtes heureux avec elle. ? C'est comme protéger votre maison contre intrus ou des gens avec de mauvaises intentions. Débris déblayés de. Pur décrit suffisamment bovins numéro de l'offre. <br><br>Je suis souvent posé cette question. La poche Kozy est grand, et il a [http://www.tipi-romoos.ch/gefuehrte-touren/header.asp?newbalance=41-New-Balance-Shoes-Montreal New Balance Shoes Montreal] élastique dans le haut de sorte que vous pouvez adapter de nombreux éléments à l'intérieur. Dit Tokyo Electric mercredi qu'il renforcerait les digues à proximité et prendre d'autres mesures pour s'assurer que l'eau souterraine contaminée n'a pas atteint l'océan. "Avec la catastrophe de Fukushima toujours avant et centre dans l'esprit du public, il est essentiel que le gouvernement se déplace prudemment en redémarrant son nucléaire programme ", [http://www.weiermannsystems.com/mitarbeiter/session.asp?polo=55-Ralphlauren.Ch Ralphlauren.Ch] a déclaré Kazuhiko Kudo, professeur en ingénierie de la sûreté nucléaire à l'Université de Kyushu. <br><br>Mots avec [http://www.weiermannsystems.com/mitarbeiter/session.asp?polo=86-Vente-Ralph-Lauren-Geneve Vente Ralph Lauren Geneve] des amis de vacances Giveaway de Crystal LightAngry Oiseaux amis maintenant sur mobile avec ajouté Crush Saga featuresCandy: C'est un culte $ 90,000 jetons gratuit DoubleDown Casino offrent: New Miner 99er slotsBad Piggies tête iPhone et iPad apps liste sur la libération dayThere sont encore quatorze (14) jours à gauche pour entrer à la date de cette annonce, alors rendez-vous sur la page Facebook Purex et entrer une fois par jour jusqu'à la fin du mois. (Vous devez «aimer» la page pour entrer).<ul>
-== Conjugacy classes ==
+   <li>[http://jz.791.com/news/html/?229173.html http://jz.791.com/news/html/?229173.html]</li>
-As in the [[symmetric group]], the [[conjugacy class]]es in ''A''<sub>''n''</sub> consist of elements with the same [[cycle decomposition (group theory)|cycle shape]]. However, if the cycle shape consists only of cycles of odd length with no two cycles the same length, where cycles of length one are included in the cycle type, then there are exactly two conjugacy classes for this cycle shape {{harv|Scott|1987|loc=&sect;11.1, p299}}.
+   <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1761/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1761/]</li>
-Examples:
+   <li>[http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/ http://www.philatelie-france-russie.fr/spip.php?article51/]</li>
-*the two [[permutation]]s (123) and (132) are not conjugates in ''A''<sub>3</sub>, although they have the same cycle shape, and are therefore conjugate in ''S''<sub>3</sub>
-*the permutation (123)(45678) is not conjugate to its inverse (132)(48765) in ''A''<sub>8</sub>, although the two permutations have the same cycle shape, so they are conjugate in ''S''<sub>8</sub>.
+   <li>[http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10 http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10]</li>
-== Automorphism group ==
+   <li>[http://www.forestry.crs.gov.ng/index.php/forum/9-cybershot-cameras-discussion/228749-louis-vuitton-evidence-replica-et-le-developpement-urbain-hoover-boursiers-inclus-ceux-ayant-une-expertise-dans-la-science-politique.html#229694 http://www.forestry.crs.gov.ng/index.php/forum/9-cybershot-cameras-discussion/228749-louis-vuitton-evidence-replica-et-le-developpement-urbain-hoover-boursiers-inclus-ceux-ayant-une-expertise-dans-la-science-politique.html#229694]</li>
-{{details|Automorphisms of the symmetric and alternating groups}}
-{| align="right" cellspacing="2"
+  </ul>
-|----- bgcolor="#A0E0A0"
-| <math>n</math>
-| <math>\mbox{Aut}(A_n)</math>
-| <math>\mbox{Out}(A_n)</math>
-|-----
-| <math>n\geq 4, n\neq 6</math>
-| <math>\mathrm{S}_n\,</math>
-| <math>\mathrm{C}_2\,</math>
-|-----
-| <math>n=1,2\,</math>
-| <math>1\,</math>
-| <math>1\,</math>
-|-----
-| <math>n=3\,</math>
-| <math>\mathrm{C}_2\,</math>
-| <math>\mathrm{C}_2\,</math>
-|-----
-| <math>n=6\,</math>
-| <math>\mathrm{S}_6 \rtimes \mathrm{C}_2</math>
-| <math>\mathrm{V}=\mathrm{C}_2 \times \mathrm{C}_2</math>
-|}
-For {{nowrap|''n'' > 3}}, except for {{nowrap|1=''n'' = 6}}, the  [[automorphism group]] of ''A''<sub>''n''</sub> is the symmetric group ''S''<sub>''n''</sub>, with [[inner automorphism group]] ''A''<sub>''n''</sub> and [[outer automorphism group]] '''Z'''<sub>2</sub>; the outer automorphism comes from conjugation by an odd permutation.
-For ''n'' = 1 and 2, the automorphism group is trivial. For {{nowrap|1=''n'' = 3}} the automorphism group is '''Z'''<sub>2</sub>, with trivial inner automorphism group and outer automorphism group '''Z'''<sub>2</sub>.
-The outer automorphism group of ''A''<sub>6</sub> is [[Klein four-group|the Klein four-group]] {{nowrap|1=V = '''Z'''<sub>2</sub> × '''Z'''<sub>2</sub>}}, and is related to [[Symmetric_group#Automorphism_group|the outer automorphism of ''S''<sub>6</sub>]]. The extra outer automorphism in ''A''<sub>6</sub> swaps the 3-cycles (like (123)) with elements of shape 3<sup>2</sup> (like (123)(456)).
-== Exceptional isomorphisms ==
-There are some [[exceptional isomorphism]]s between some of the small alternating groups and small [[groups of Lie type]], particularly [[projective special linear group]]s. These are:
-* ''A''<sub>4</sub> is isomorphic to PSL<sub>2</sub>(3)<ref name="Robinson-p78">Robinson (1996), {{Google books quote|id=lqyCjUFY6WAC|page=78|text=PSL|p. 78}}</ref> and the [[symmetry group]] of chiral [[tetrahedral symmetry]].
-* ''A''<sub>5</sub> is isomorphic to PSL<sub>2</sub>(4), PSL<sub>2</sub>(5), and the symmetry group of chiral [[icosahedral symmetry]]. (See <ref name="Robinson-p78"/> for an indirect isomorphism of {{nowrap|PSL<sub>2</sub>(F<sub>5</sub>) → ''A''<sub>5</sub>}} using a classification of simple groups of order 60, and [[Projective linear group#Action_on_p_points|here]] for a direct proof).
-* ''A''<sub>6</sub> is isomorphic to PSL<sub>2</sub>(9) and PSp<sub>4</sub>(2)'
-* ''A''<sub>8</sub> is isomorphic to PSL<sub>4</sub>(2)
-More obviously, ''A''<sub>3</sub> is isomorphic to the [[cyclic group]] '''Z'''<sub>3</sub>, and ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, and ''A''<sub>2</sub> are isomorphic to the [[trivial group]] (which is also {{nowrap|1=SL<sub>1</sub>(''q'') = PSL<sub>1</sub>(''q'')}} for any ''q'').
-<!-- This part has a few errors, comment out until they are fixed. A4 is not perfect, SL(4,2)=PSL(4,2)=A8 is not the Schur cover of A8 -->
-<!--
-The associated extensions <math>\operatorname{SL}_n(q) \to \operatorname{PSL}_n(q)</math> are [[universal perfect central extension]]s for <math>\mathrm{A}_4,\mathrm{A}_5,\mathrm{A}_8</math>, by uniqueness of the universal perfect central extension;
-for <math>\operatorname{PSL}_2(9) \cong \mathrm{A}_6</math>, the associated extension is a perfect central extension, but not universal: there is a 3-fold [[Schur multiplier|covering group]].
--->
-==Examples ''S''<sub>4</sub> and ''A''<sub>4</sub>==
-{|
-|-
-|  style="vertical-align:top;"|[[File:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|[[Cayley table]] of the [[symmetric group]] ''S''<sub>4</sub><br><br>The [[Parity of a permutation|odd permutations]] are colored:<br>[[Transposition (mathematics)|Transpositions]] in green and [[Cycles and fixed points|4-cycles]] in orange]] || &nbsp;&nbsp;&nbsp; ||  style="vertical-align:top;"|[[File:Alternating group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|350px|Cayley table of the alternating group ''A''<sub>4</sub><br>Elements: The even permutations (the identity, eight [[Cycles and fixed points|3-cycles]] and three <nowiki>double-</nowiki>[[Transposition (mathematics)|transpositions]] (double transpositions in boldface))<br><br>Subgroups:<br>[[File:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px|Klein four-group]]<br>[[File:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px|Cyclic group Z3]]  [[File:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px|Cyclic group Z3]]  [[File:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px|Cyclic group Z3]]  [[File:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px|Cyclic group Z3]]]]
-|}
-{|
-|-
-|  style="vertical-align:top;"|[[File:Symmetric group 4; cycle graph.svg|thumb|350px|[[Cycle graph (algebra)|Cycle graph]] of ''S''<sub>4</sub>]]|| &nbsp;&nbsp;&nbsp; ||  style="vertical-align:top;"|[[File:Alternating group 4; cycle graph; subgroup of S4.svg|thumb|350px|Cycle graph of ''A''<sub>4</sub> (using a similar structure<br> to the cycle graph of ''S''<sub>4</sub> on the left)]]
-|}
-==Subgroups==
-''A''<sub>4</sub> is the smallest group demonstrating that the converse of [[Lagrange's theorem (group theory)|Lagrange's theorem]] is not true in general: given a finite group ''G'' and a divisor ''d'' of |''G''|, there does not necessarily exist a subgroup of ''G'' with order ''d'': the group {{nowrap|1=''G'' = ''A''<sub>4</sup>}}, of order 12, has no subgroup of order 6. A subgroup of three elements (generated by a cyclic rotation of three objects) with any additional element generates the whole group.
-==Group homology==
-{{see also|Symmetric group#Homology}}
-The [[group homology]] of the alternating groups exhibits stabilization, as in [[stable homotopy theory]]: for sufficiently large ''n'', it is constant. However, there are some low dimensional exceptional homology. Note that the [[Symmetric group#Homology|homology of the symmetric group]] exhibits similar stabilization, but without the low dimensional exceptions (additional homology elements).
-=== H<sub>1</sub>: Abelianization ===
-The first [[homology group]] coincides with [[abelianization]], and (since <math>\mathrm{A}_n</math> is [[perfect group|perfect]], except for the cited exceptions) is thus:
-:<math>H_1(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=0</math> for <math>n=0,1,2</math>;
-:<math>H_1(\mathrm{A}_3,\mathbf{Z})=\mathrm{A}_3^{\text{ab}} = \mathrm{A}_3 = \mathbf{Z}/3</math>;
-:<math>H_1(\mathrm{A}_4,\mathbf{Z})=\mathrm{A}_4^{\text{ab}} = \mathbf{Z}/3</math>;
-:<math>H_1(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=0</math> for <math>n \geq 5</math>.
-This is easily seen directly, as follows. <math>\mathrm{A}_n</math> is generated by 3-cycles – so the only non-trivial abelianization maps are <math>\mathrm{A}_n \to \mathrm{C}_3,</math> since order 3 elements must map to order 3 elements – and for <math>n \geq 5</math> all 3-cycles are conjugate, so they must map to the same element in the abelianization, since conjugation is trivial in abelian groups. Thus a 3-cycle like (123) must map to the same element as its inverse (321), but thus must map to the identity, as it must then have order dividing 2 and 3, so the abelianization is trivial.
-For <math>n < 3</math>, <math>\mathrm{A}_n</math> is trivial, and thus has trivial abelianization. For <math>\mathrm{A}_3</math> and <math>\mathrm{A}_4</math> one can compute the abelianization directly, noting that the 3-cycles form two conjugacy classes (rather than all being conjugate) and there are non-trivial maps <math>\mathrm{A}_3 \twoheadrightarrow \mathrm{C}_3</math> (in fact an isomorphism) and <math>\mathrm{A}_4 \twoheadrightarrow \mathrm{C}_3.</math>
-=== H<sub>2</sub>: Schur multipliers ===
-{{main|Covering groups of the alternating and symmetric groups}}
-The [[Schur multiplier]]s of the alternating groups ''A''<sub>''n''</sub> (in the case where ''n'' is at least 5) are the cyclic groups of order 2, except in the case where ''n'' is either 6 or 7, in which case there is also a triple cover. In these cases, then, the Schur multiplier is (the cyclic group) of order 6.<ref name="raw">{{citation
-|first=Robert
-|last=Wilson
-|authorlink=Robert Arnott Wilson
-|date= October 31, 2006 |url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html
-|title= The finite simple groups, 2006 versions
-|chapter=Chapter 2: Alternating groups
-|chapterurl=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs_files/alt.ps
-|postscript=, 2.7: Covering groups
-}}{{dead link|date=December 2009}}</ref> These were first computed in {{Harv|Schur|1911}}.
-:<math>H_2(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=0</math> for <math>n = 1,2,3</math>;
-:<math>H_2(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/2</math> for <math>n = 4,5</math>;
-:<math>H_2(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/6</math> for <math>n = 6,7</math>;
-:<math>H_2(\mathrm{A}_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/2</math> for <math>n \geq 8</math>.
-== Notes ==
-{{Reflist}}
-== References ==
-{{Refbegin}}
-* {{Citation |last1=Robinson |first1=Derek John Scott |authorlink1= |last2= |first2= |authorlink2= |title=A course in the theory of groups |url= |edition=2 |series=Graduate texts in mathematics |volume=80 |year=1996 |publisher=Springer |location= |isbn=978-0-387-94461-6 |id= }}
-*{{citation
-|first=Issai
-|last=Schur
-|title=Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen
-|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
-|volume=139
-|year=1911
-|pages=155–250
-|authorlink=Issai Schur
-|doi=10.1515/crll.1911.139.155
-}}
-*{{Citation | last1=Scott | first1=W.R. | title=Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-65377-8 | year=1987 }}
-{{Refend}}
-== External links==
-* {{mathworld | urlname = AlternatingGroup  | title = Alternating group }}
-* {{mathworld | urlname = AlternatingGroupGraph  | title = Alternating group graph}}
-{{DEFAULTSORT:Alternating Group}}
-[[Category:Finite groups]]
-[[Category:Permutation groups]]

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Latest revision as of 19:31, 26 December 2014

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