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In [[numerical analysis]], the '''Runge–Kutta methods''' ({{IPA-de|ˌʁʊŋəˈkʊta}}) are an important family of implicit and explicit iterative methods, which are used in [[temporal discretization]] for the approximation of solutions of [[ordinary differential equation]]s. These techniques were developed around 1900 by the German mathematicians [[Carl David Tolmé Runge|C. Runge]] and [[Martin Wilhelm Kutta|M. W. Kutta]].
== Sweat Hollister Pas Chere  infecté par le mal. ==


See the article on [[numerical ordinary differential equations|numerical methods for ordinary differential equations]] for more background and other methods. See also [[List of Runge–Kutta methods]].
Permettent à l'acheteur de voir quand ce moment de l'année est plus actif que les autres .. Notre néphrologue consultant et le personnel aimable, il s'est occupé de nous avec beaucoup de soin et attention.Life hémodialyse est une entreprise épuisante. <br><br>Il n'ya pas de séparation. Redécorer vos chambres d'enfants avec enfants stickers muraux et stickers muraux est une excellente idée, surtout si vous pouvez être logés à n'importe quel endroit loué.. J'espère que mes expériences et des recherches peuvent aider d'autres femmes de grande taille se sentent en confiance dans leurs vêtements .. Le fabricant de mobiles taïwanais est clairement pas de gagner le jeu pour téléphone mobile, et a abandonné. <br><br>C'est vraiment un tenir sur des entreprises du passé à base de papier, et s'est avéré ne pas être d'une grande utilité dans le monde de l'Internet mobile rapide .. Et puis vous allez faire de l'autre côté. Si TCS est une exception à la société typique dans le secteur de l'informatique, [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=5 Sweat Hollister Pas Chere] c'est à cause de notre engagement envers nos racines et de notre vouloir faire une différence dans ce pays. Prenez un passe-temps et passer un peu de temps à faire quelque chose pour vous. <br><br>Une grande partie de tous les téléphones mobiles disposent d'écrans orientés verticalement. Et pour les révolutionnaires arabes, que brutale répression 2009 diminue encore davantage la légitimité de l'Iran dans le nouveau Moyen-Orient .. Je l'ai dit toutes sortes de choses, car il ne me vint pas quelqu'un d'autre serait de les lire. Pourquoi ai-je ressens le besoin de cracher? Je suppose que je sentais que je pourrais être contaminé, infecté [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=63 Hollister Pas Cher France] par le mal. <br><br>Prenez votre siège et placez-le à l'envers sur le tissu. Les verbes sont intensifiés avec la répétition ou le mot «oui» (si «aimer oui» ou «aimer comme' signifierait que 'l'amour'.) Nous ne serons pas s'inquiéter les temps.. Mes chiens vont dans ce chenil avec leurs têtes et [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=7 Louboutin Femme Escarpin Pas Cher] les queues jusqu'à, heureux comme larry. Les preuves s'accumulent que la médecine fait du tort à des gens en bonne santé grâce à une détection plus en plus tôt et la définition toujours plus large de la maladie. <br><br>La plupart des acheteurs ont visité plusieurs fois avant d'acheter. Cela inclut bien manger et de l'exercice pour s'assurer que vous êtes un poids santé. Resplitting d'as permis: la plupart des casinos, le joueur qui divise as reçoit plus qu'une seule carte sur chaque as. Vous devez construire un Squidoo Lens parce que: c'est gratuit, [http://www.startechnical.com/modules/?t=121-Michael-Kors-Hamilton-Pas-Cher Michael Kors Hamilton Pas Cher] vous pouvez gagner de l'argent grâce à des liens d'affiliation et des bannières publicitaires sur Squidoo, il est simple (il ya des tutoriels faciles, un assistant et un livre électronique pour vous aider) et enfin, les outils de référencement sont construits dans et facile à utiliser, qui vous permet de rang plus élevé sur les moteurs de recherche pour votre sujet ...<ul>
 
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</ul>


==''The'' Runge–Kutta method==
== Chaussures Running New Balance Pas Cher  jeux de tir en lign ==


One member of the family of Runge–Kutta methods is often referred to as  "'''RK4'''", "'''classical Runge–Kutta method'''" or simply as "'''''the'' Runge–Kutta method'''".
'Cette fois, progressivement l'inflation devrait être plus élevé dans les trois segments, de la nourriture, du carburant et de la fabrication», a déclaré Anjali Verma, économiste à Phillip Capital. Ceci, à son tour, pourrait signifier qu'elle bénéficiera ainsi. <br><br>Les instincts primaires se réfèrent quand les êtres humains chassés pendant la journée et mangé un régime plus léger; plus tard dans la nuit, ils mangeaient le jeu plus lourd. Nous offrons des jeux flash gratuits dans de nombreux genres différents: jeux de tir en ligne, jeux de puzzle en [http://www.professionalfloorservices.com/upload/?p=89 Chaussures Running New Balance Pas Cher] ligne, jeux de guerre en ligne, jeux de voiture en ligne gratuits, jeux en ligne d'objets cachés gratuits et des dizaines d'autres.. <br><br>Certains experts croient dans l'exécution des routines de tout le corps, tandis que d'autres croient en une routine de partage qui met l'accent sur une partie spécifique du corps au cours de chaque séance d'entraînement. Tous les Verts Journée de l'énergie, y compris le résumé, plainte, plus d'ingrédients. <br><br>Permettre à un nouveau-né pour soigner tous les deux à trois heures permet d'établir une grande quantité de lait, mais même si vous ne pouvez pas fournir ce dans les premiers jours, vous pouvez toujours augmenter votre production de lait plus tard pendant l'allaitement fréquent. Comme preuve supplémentaire qu'il n'est pas prêt pour le prime time, ils pointent vers ce jusqu'au lundi était le dernier délai réglementaire: l'annonce d'administration en fin de semaine dernière que les gens qui avaient des plans de santé annulés en 2013 peuvent obtenir une exemption de mandat [http://www.ksmk.org/content/?g=38 Pandora Perles Belgique] individuel dans 2014.Consumers qui s'inscrivent avant la date limite auront jusqu'au janvier. <br><br>L'Oculus Rift propose un soutien public pour une poignée de jeux déjà Team Fortress 2, Hawken, Guerre Tonnerre et ainsi de suite, mais les adopteurs précoces peuvent déjà utiliser des pilotes tiers comme Vireio pour soulever en tout depuis le miroir Edge pour Minecraft. En supposant que toutes les informations de marché ou d'intérêt général utiles peuvent être obtenues en consultant les [http://www.icprotectioninc.com/common/index.asp?f=109-Prix-Pendentif-Tiffany Prix Pendentif Tiffany] statistiques sur GSMarena comme s'il s'agissait d'un sondage est illogique.. <br><br>Je regarde comme entreprise vs personnel .. L'acide urique est produit lors de la dégradation des purines, les blocs de construction de chromosomes. Nous avons réussi à le faire facilement. Les gens sont aussi que légèrement surpris quand ils [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=43 Basket Louis Christian Louboutin] découvrent que un avocat local ou le propriétaire de l'entreprise est un fan de l'espace de l'opéra de Lucas et porte un Darth Vader ou un costume de Stormtrooper souvent quand ils ne sont pas au travail.<ul>
 
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</ul>


Let an [[initial value problem]] be specified as follows.
== Sac Michael Kors Maroc  dans la vieille façon méthodique ==


:<math> \dot{y} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0. </math>
Un nouveau cycle de resserrement sur des sanctions américaines déjà difficiles, disent-ils, [http://www.startechnical.com/modules/?t=5-Sac-Michael-Kors-Maroc Sac Michael Kors Maroc] est la meilleure façon de convaincre un Iran blesser économique non seulement à geler ses activités nucléaires, mais pour commencer leur démantèlement dans le cadre d'un accord négocié initial .. Ce alt texte est également utilisé par les moteurs de recherche modernes que le titre de l'image.. <br><br>Cela peut varier de brochures et d'affiches dans les centres supérieurs et les maisons de soins infirmiers à des interventions plus intensives telles que du counselling sur les facteurs de risque. Faire tout ce qui est plus facile pour vous. Si vous venez de commencer votre entreprise, vous pouvez rechercher un fournisseur à Google ou Yahoo. Il était de faire quelque chose à partir de rien, avec plaisir, tout au long, dans la vieille façon méthodique, nous avons utilisé pour faire des choses. <br><br>Les forces gravitationnelles peuvent pas le faire tomber .. Calmer votre esprit, et de laisser le rêve de revenir à vous.. Nous avons récupéré les données des dossiers de la procédure chirurgicale et cathéters, les journaux de bord des enfants récusés par les chirurgiens et les décès dans la communauté (voir ci-dessous). [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=10 Acheter Mont Blanc Pas Cher] L'indice de référence utilisé tous les cœurs disponibles pour compléter le rendu .. <br><br>Ainsi, le corps d'un râtelier serait retiré ses roues d'été, et il serait abaissée sur deux traîneau. Je me demande si Fox regarde Cumberbatch et devient un peu plus, si pas ennuyé, puis une [http://www.professionalfloorservices.com/upload/?p=99 New Balance Pas Cher Homme] touche envieux de sa carrière? Lui et Piper a récemment passé un peu de temps à Los Angeles, en essayant d'obtenir des auditions, mais il dit qu'il était trop paresseux pour se pousser vraiment.. <br><br>Malgré le lancement récent de cette route, de nombreux sites de technologie solides ont pesé, en raison de ses prétentions de leader vitesse du marché. Nouveaux immeubles en copropriété se rassemblent dans le fond et la parole de l'essor de la ville. <br><br>C'était vraiment difficile pour nous tous parce que c'était inattendu. Quand il fut parti, ils étaient hors de la chance. Ces personnes m'ont aidé à traverser tant dans ma vie. Il ya un certain nombre de facteurs de risque dans la conception de horaire de travail, qui doit être considéré lors de l'évaluation et la gestion des risques du travail posté. <br><br>Effectuer des tâches plus rapidement avec la nouvelle [http://www.myresume.us.com/active/?v=17 Louis Vuitton Ceintures] Action instantanée, en entrant raccourcis directement à partir de l'écran d'accueil. Cette méthode fonctionne d'une manière similaire à passer à un intérêt sans découvert, car il sera en outre être une solution temporaire.<ul>
 
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  <li>[http://gok.cn/news/html/?302160.html http://gok.cn/news/html/?302160.html]</li>
 
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</ul>


Here, ''y'' is an unknown function (scalar or vector) of time ''t'' which we would like to approximate; we are told that <math>\dot{y}</math>, the rate at which ''y'' changes, is a function of ''t'' and of ''y'' itself. At the initial time <math>t_0</math> the corresponding ''y''-value is <math>y_0</math>. The function ''f'' and the data <math>t_0</math>, <math>y_0</math> are given.
== Chaussures New Balance Femme Pas Cher doit être zéro ==


Now pick a step-size ''h''&gt;0 and define
Il a fondé Canadian Physicians for Aid Relief, qui relève d'aider 2,4 millions de personnes dans sept pays. 1) pour Opera (Presto) doit être zéro; changé accordingly.Since navigateur Netscape utilise IE / Moz double moteur, sauf s'il est utilisé plus largement (ce qui est un peu moins susceptible de se produire), nous devrions exclure pour éviter la confusion (la contribution de Netscape 8 en ce moment (.. <br><br>Il a été dit qu'ils peuvent être 8.32 crore d'ici 2001. 'Les gens avec des blessures causées par la tempête n'ont pas été traités, et beaucoup d'autres qui sont sans abri commencent à souffrir de fièvre, la grippe et la toux», explique Letlet. Choisissez une jupe crayon en cuir pour un vêtement polyvalent que vous pouvez porter au bureau ou sur la ville. Oh, pour l'amour de tout, un appareil photo 41 mégapixels sur un téléphone portable, c'est comme avoir un écran 4k sur un 'HDTV 12, sauf que c'est pire parce que l'espace de fichier fini sur les téléphones.. <br><br>De l'éclairage LED sur mesure à un système de refroidissement de surveillance entièrement programmé de liquide avec une actionné porte de panneau latéral linéaire sur mon dernier mod .. Mais certains Irakiens disent surveillance américain a rendu la situation un peu mieux. <br><br>Mais c'est l'individu, le coût personnel qui est beaucoup plus frappant. Je veux dire le seul défaut que j'ai eu avec le téléphone était le poids. : Exercices peuvent non seulement renforcer vos postures pelvien, mais aussi faire circuler le sang librement à vos organes génitaux. Si vous prenez les commandes par téléphone, ont vos gens de télémarketing demander aux personnes où ils entendu parler de vous .. <br><br>Dr. Vous êtes une victime. Cela prend de l'argent pour faire fonctionner les serveurs, et prend l'argent pour payer les programmeurs pour rendre le site en premier lieu. Dans [http://www.professionalfloorservices.com/upload/?p=100 Chaussures New Balance Femme Pas Cher] certains cas, les [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=2 Ceinture Hermes Prix Homme] personnes atteintes de [http://www.sott.org/class/?m=54 Mbt Sandales] syndrome du QT long éprouvent évanouissements inexpliqués, des convulsions, ou des arythmies. <br><br>Comme beaucoup d'entre vous l'ont souligné, que vous avez. Bactéries pylori. [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=63 Hollister Pas Cher France] Ce n'est pas grave si vous ne souhaitez que certains actes pour le spectacle ou si vous voulez que tous les actes soient en elle, les auditions est un bon moyen de dépister les artistes en cas il ya certains actes que vous jugez peut-être pas appropriée pour votre site et auditoire. Donc, si vous voulez transférer vos vidéos ou films préférés pour jouer sur le Samsung Galaxy Note 2, vous aurez besoin d'un Samsung Galaxy Note 2 Video Converter pour vous aider à les convertir sur les formats vidéo pris en charge en premier..<ul>
 
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  <li>[http://axsdscy.com/news/html/?756243.html http://axsdscy.com/news/html/?756243.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.yuer9.com/thread-63946-1-1.html http://bbs.yuer9.com/thread-63946-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://bhgo.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1441927 http://bhgo.net/forum.php?mod=viewthread&tid=1441927]</li>
 
</ul>


:<math>\begin{align}
== New Balance 574 Acheter  et en Août ==
y_{n+1} &= y_n + \tfrac{1}{6} h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)\\
t_{n+1} &= t_n + h \\
\end{align}</math>


for ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;, using
Jawbone dit que le nouveau logiciel et bracelet, disponible mercredi, seront initialement ne pourra déclencher des actions par IFTTT quand vous vous levez après avoir dormi; ils vont bientôt être en mesure de déclencher des actions lorsque vous allez dormir, trop .. Démonologie comprend corruption / Doom ainsi démolition pourraient retourner votre Conflagration pour une [http://www.professionalfloorservices.com/upload/?p=19 New Balance 574 Acheter] mafia à l'avance d'immoler.. <br><br>Contrairement à un cerf, cependant, vous avez la possibilité d'identifier l'objet de la peur rapidement et de passer ensuite il. Il vend beaucoup plus de paquets de deux que les ventes unitaires simples.. Dans. Le 8 Juillet, le jour après le Journal a rapporté certains éléments de l'accord, le président du Comité de l'énergie et du commerce Henry Waxman (D CA) a dit dans un discours public que son comité ne serait pas lié par l'accord ... <br><br>Chaque cannelle, la muscade et le clou de girofle. Et si elle ne se souvient pas, elle ne répondra pas! Au lieu de cela, vous devez dire quelque chose attention accaparement qui concerne également [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=42 Mont Blanc Meisterstuck] le moment où vous l'avez rencontrée. Une entreprise, quelle que soit sa taille, peut projet lui-même d'être une grande entreprise sur Internet avec un site web habilement exécuté. Science-fiction n'a pas non plus considéré comme un genre faisant appel à tout le monde et il a été généralement destiné à un public spécifique. <br><br>AMD part de portable a chuté de 42,3 pour cent en mai à 33,4 pour cent en Juin. D'autres pays faire d'autres choix. À bien des égards, Armstrong est Livestrong. Vidéos d'Apple sont connus pour faire vibrer vos cordes mais celui-ci prend à onze. Seule la fin de cette pièce de chambre étrange pose un problème, comme il l'a fait pour le public dans la production originale 1994 barré par Lapine. L'autre explication est moins flatteur, mais peut-être plus crédible que Mensch ne peut pas être dérangé distinctif entre une femme et l'autre, et elle a été confond Reni Eddo Lodge avec une autre femme.. <br><br>[7] Son talent musical a été développé sous la tutelle du violoniste [http://www.stanzialesrestaurant.com/header/default.asp?a=11 Jeremy Scott Shop] Lejeune, et de l'âge de treize à seize, il a [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=65 Hollister Nice Postuler] joué des seconds violons de l'Orchestre du Capitole de Toulouse. [7] En Mars 1797, l'Académie a accordé Ingres premier prix de dessin, et en Août, il se rend à Paris pour étudier avec Jacques Louis David, la France et le plus grand peintre de l'Europe pendant la période révolutionnaire, dans l'atelier duquel il est resté pendant quatre ans.. <br><br>Dieu, d'autre part, ne fait pas. Historique mondial cyclone tropical atterrissages, un article dans le Juillet 2012 Journal of Climate, affirme qu'il n'existe aucune preuve encore que le changement climatique est à blâmer pour les cyclones tropicaux les plus dangereuses du nom générique pour les ouragans et les typhons..<ul>
:<math>
 
\begin{align}
  <li>[http://www.kanchanaburi-vacances.com/spip.php?article95/ http://www.kanchanaburi-vacances.com/spip.php?article95/]</li>
k_1 &= f(t_n, y_n),
 
\\
  <li>[http://shefalibhatnagar.com/hostedsites/shefalibhatnagar/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=3&id=139979&Itemid=2#139979 http://shefalibhatnagar.com/hostedsites/shefalibhatnagar/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=3&id=139979&Itemid=2#139979]</li>
k_2 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h , y_n +  \tfrac{h}{2} k_1),
 
\\
  <li>[http://qskk.liejufa.com/space.php?uid=684741&do=blog&id=2496629 http://qskk.liejufa.com/space.php?uid=684741&do=blog&id=2496629]</li>
k_3 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h , y_n +  \tfrac{h}{2} k_2),
 
\\
  <li>[http://www.blgjsgf.com/news/html/?20661.html http://www.blgjsgf.com/news/html/?20661.html]</li>
k_4 &= f(t_n + h , y_n + hk_3).
 
\end{align}
</ul>
</math> <ref>{{harvnb|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007|p=908}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=328}}</ref>
:''(Note: the above equations have different but equivalent definitions in different texts).''<ref name=notation>{{harvtxt|Atkinson|1989|p=423}}, {{harvtxt|Hairer|Nørsett|Wanner|1993|p=134}}, {{harvtxt|Kaw|Kalu|2008|loc=§8.4}} and {{harvtxt|Stoer|Bulirsch|2002|p=476}} leave out the factor ''h'' in the definition of the stages. {{harvtxt|Ascher|Petzold|1998|p=81}}, {{harvtxt|Butcher|2003|p=93}} and {{harvtxt|Iserles|1996|p=38}} use the ''y''-values as stages.</ref>


Here <math>y_{n+1}</math> is the RK4 approximation of <math>y(t_{n+1})</math>, and the next value (<math>y_{n+1}</math>) is determined by the present value (<math>y_n</math>) plus the [[weighted average]] of four increments, where each increment is the product of the size of the interval, ''h'', and an estimated slope specified by function ''f'' on the right-hand side of the differential equation.
== Sac Lv Pas Cher  est un rappel que la mort rôde Irakiens ==


* <math>k_1</math> is the increment based on the slope at the beginning of the interval, using <math> \dot{y} </math>, ([[Euler's method]]) ;
En fait, professeur de karaté Rajinder 'Happy' Grover, 28, dit qu'il a pris à Tae Kwon Do de la fin. Le type d'exercice que vous effectuez dans chaque session la perte [http://www.myresume.us.com/active/?v=52 Sac Lv Pas Cher] de poids a également un impact.. Barta, qui est basé à St. C'est de LRH et c'est dommageable. <br><br>Vous ne pouvez pas savoir Joseph Merlino, mais il sait sur vous et ce qui vous travaillez. Que la nouvelle aide de responsabilité vous rendre où vous voulez aller?. Qui avaient servi les gardiens traditionnels ou des intermédiaires fournissant nouvelles étaient devenus les «facilitateurs», ceux qui ont été maintenant instruire et aider le lecteur dans la collecte d'informations. Eh bien les portefeuilles de Timbuk2 hommes sont pli bi donc il élimine la majeure partie d'un portefeuille, vous offrir un confort en utilisant vos activités avec amplement d'espace pour les cartes et l'argent.. <br><br>L'attaque, dans un quartier dominé sunnite qui était entre la ville de la plus sanglante à la hauteur de la guerre civile, est un rappel que la mort rôde Irakiens, même dans le coeur de la capitale .. Je crois que j'ai une vue qui reflète l'opinion d'une grande circonscription dans le quartier qui ne sont pas souvent entendu lors des réunions du conseil d'administration. <br><br>Fois que vous rencontrez microgravité, les changements de sang de vos jambes vers votre poitrine et la tête. 'Nous attendons tous avec juste humain maintenant et l'échec devient moins gênant.'. Comme de cette annonce, je me sens encore patraque et sont donc mes différents sites, en quelque sorte. Serions-nous considérés comme beaucoup de bénéfices et le succès de l'argent? Serions-nous considéré comme un grand succès de part de marché? Qu'en est-il de tonnes de salariés, les actionnaires, ou [http://www.professionalfloorservices.com/upload/?p=62 New Balance Chaussures De Running 1080 Homme] des bureaux est que le succès pour nous? Qu'en est-il avoir une société stable qui dure et durera une économie fluctuante? Que diriez-vous d'une marque et l'image que les clients et les clients en sont venus à faire confiance et compter [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=36 Soldes Louboutin Homme] sur? Quel que soit le succès signifie pour nous, mais nous définissons d'où nous sommes maintenant avec nos entreprises où l'on voit le succès que le niveau suivant.. <br><br>Je crois que chacun de nous peut accomplir des choses assez étonnantes dans la vie où nous avons juste un peu de foi en nous-mêmes et nous nous engageons à faire quelque chose un peu plus audacieux que nous pensons que nous sommes capables. Il était également le test de stress le plus important pour le site lui-même depuis nov.. <br><br>Cependant, la plupart des causes de manque de lait chez la mère de l'allaitement maternel sont réversibles .. Mais le navigateur était atroce, [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=51 Ceintures Louis Vuitton Homme Prix] alors j'ai acheté l'iPhone 3GS et c'est à ce moment que j'ai commencé transportant deux smartphones différents sur deux plates-formes différentes.<ul>
* <math>k_2</math> is the increment based on the slope at the midpoint of the interval, using <math> \dot{y} + \tfrac12 hk_1 </math> ;
 
* <math>k_3</math> is again the increment based on the slope at the midpoint, but now using <math> \dot{y} + \tfrac12 hk_2 </math> ;
  <li>[http://www.hsgs928.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=636091&fromuid=88386 http://www.hsgs928.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=636091&fromuid=88386]</li>
* <math>k_4</math> is the increment based on the slope at the end of the interval, using <math> \dot{y} + hk_3 </math> .
 
  <li>[http://www.eszsw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=650975&fromuid=89132 http://www.eszsw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=650975&fromuid=89132]</li>
 
  <li>[http://1004.znjz.chinaccnet.cn/news/html/?989149.html http://1004.znjz.chinaccnet.cn/news/html/?989149.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.cpuwebs.com/forum.php?mod=viewthread&tid=144779&fromuid=26173 http://bbs.cpuwebs.com/forum.php?mod=viewthread&tid=144779&fromuid=26173]</li>
 
</ul>


In averaging the four increments, greater weight is given to the increments at the midpoint. The weights are chosen such that if <math>f</math> is independent of <math>y</math>, so that the differential equation is equivalent to a simple integral, then RK4 is [[Simpson's rule]].<ref name="Süli 2003 328">{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=328}}</ref>
== Louis Vuitton Neverfull Gm  et dans ce cas ==


The RK4 method is a fourth-order method, meaning that the [[Truncation_error_(numerical_integration)|local truncation error]] is [[Big O notation|on the order of]] <math>O(h^5)</math>, while the  total accumulated error is order <math>O(h^4)</math>.
Si vous voulez pour une variation, à pomper avec vos jambes. Mais la façon dont les meilleurs sont recueillent de l'argent .. Nous aimons tout le monde. Ils ouvriers agricoles Blue Jays de Toronto, alors que les Hawks sont une filiale des Cubs de Chicago .. Exclusif fenêtre des droits de négociation de TSN se termine jeudi, et des discussions sont prévues ce week-end. Je peux ajouter 301s pour les aliments rapidement, mais je pense encore le reste. <br><br>À l'école primaire avant les sportifs ou musiciens rock and roll prendraient sur les gens les plus cool dans notre classe étaient ceux qui avaient été à [http://www.myresume.us.com/active/?v=117 Louis Vuitton Neverfull Gm] Disneyland. Les femmes magasinent souvent ensemble. Je voulais juste partager votre opinion avec les futurs clients, parce que mon séjour au chalet loin ont dépassé mes attentes.. <br><br>'Ma pensée de mon père a changé que j'ai vécu dans le monde libre. Affaires est affluent de tous les côtés et les angles .. Et sans un échantillon du virus qui a généré des anticorps, il n'y a pas moyen de savoir si c'était MERS, ou un virus apparenté mais différent ... <br><br>Le premier nombre est le nombre d'emplois en aérospatiale et de la défense de ces Etats, selon un rapport de Deloitte commandé par l'Association des industries aérospatiales. 'Il est difficile de lui-même,' a déclaré l'entraîneur comètes Travis vert. Son tube optique noire lunette du télescope brillant est en aluminium sans soudure et équipé d'un rack d'action et de mise au point pignon lisse qui accepte 1.25 'accessoires et oculaires.. <br><br>Kelly indique que la crème glacée est une combinaison d'un solide, un liquide et un gaz, ce qui rend le travail de la chaleur à travers elle plus [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=71 Stylo Plume Mont Blanc Meisterstuck] facilement que par l'intermédiaire de l'état solide de la glace. Tout comme nous avons pensé que nous aurions à nager loin, tout cela s'est terminé. Il est important de réaliser et comprendre la plupart des risques qui va se posent avec le [http://www.startechnical.com/modules/?t=115-Sac-Michael-Kors-Selma Sac Michael Kors Selma] développement des seins.. <br><br>Ou vous faites? Vous devez accorder à croire à quel point il est .. C'est pourquoi je me suis accroché à l'émission 'Lie to Me'. J'étais fasciné que le Dr Si vous voulez tuer le parasite que vous tuez l'hôte, et dans ce cas, cela signifie tuer cette planète. <br><br>L'Université de Toronto, créé [http://www.sott.org/class/?m=1 Mbt Bottes Prix] en 1827, est un établissement public de recherche de premier plan et un leader mondial dans la recherche biomédicale. Les abonnements sont par numéro ou par an. A deux ou trois classes d'une heure avec beaucoup de pauses. <br><br>Ces manifestations de sevrage sont identifiés comme 'des signes et des symptômes d'une affection préexistante' par les psychologues et les médecins qui prescrivent des médicaments psychotropes avec désinvolture. Cette exploration est le travail des gestionnaires, des administrateurs, des scientifiques de données .. [biologiste de Harvard University] Ed Wilson a donné au moins un certain temps à la spéculation que, si elle n'avait pas été la catastrophe du Crétacé de fin, les dinosaures n'ont pas pu provoquer quelque chose comme le joint [référence à Dale paléontologue A..<ul>
 
 
Tan Delin and Chen Zheng have developed a general formula for Runge-Kutta method in fourth-order as the following.  
  <li>[http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468 http://pcbbbs.net/read.php?tid=468/read.php?tid=468]</li>
 
  <li>[http://shenmedouyou.net/news/html/?47048.html http://shenmedouyou.net/news/html/?47048.html]</li>
 
  <li>[http://www.yfcindia.net/index.php?page=item&id=185059 http://www.yfcindia.net/index.php?page=item&id=185059]</li>
 
  <li>[http://ibijie.zhaodao.net.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=321699&fromuid=70810 http://ibijie.zhaodao.net.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=321699&fromuid=70810]</li>
    
    
:<math>\begin{align}
</ul>
y_{n+1} &= y_n + \tfrac{1}{6} h\left[k_1 + \left(4-\lambda\right)k_2 + \lambda k_3 + k_4 \right]\\
t_{n+1} &= t_n + h \\
\end{align}</math>


for ''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;, using
== Chaussures Lv Femme Chauffe l'huile ==
:<math>
\begin{align}
k_1 &= f(t_n, y_n),
\\
k_2 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h , y_n +  \tfrac{1}{2}k_1h),
\\
k_3 &= f(t_n + \tfrac{1}{2}h , y_n + \left(  \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{\lambda}\right) k_1h + \tfrac{1}{\lambda}k_2h  ),
\\
k_4 &= f(t_n + h , y_n +  \left(  1-\tfrac{\lambda}{2}\right) k_2h + \tfrac{\lambda}{2}k_3h ).
\end{align}
</math>
Where <math>\lambda</math> is a free parameter. Choosing <math>\lambda=2</math>, this is the classical fourth-order Runge-Kutta method. With <math>\lambda = 1,3,4,5</math>, this formula produces other fourth-order Runge-Kutta methods.


==Explicit Runge–Kutta methods==
Incorporer [http://www.myresume.us.com/active/?v=140 Chaussures Lv Femme] ce qui rend votre magasin original en votre nom. Avec une bonne observance, la plupart des patients à atteindre amélioration de la vision et certains peuvent dépasser lunettes .. Unis aura un échange de l'assurance d'une sorte de marché où les consommateurs peuvent comparer les plans. Les entreprises établies doivent également produire des références de fournisseurs et de clients. <br><br>Il peut être commandé pour quelqu'un qui Hashad un résultat élevé de cholestérol de dépistage [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=73 Louboutin Sneakers Women] pour voir si le taux de cholestérol total est élevé en raison de trop de LDL C. Alors que Forstall a clairement favorisé une approche plus flamboyant de concevoir, Ive a un style beaucoup plus simple et minimaliste , comme on peut le voir à partir de matériel de pomme ... <br><br>Chauffe l'huile, l'amenant à réagir avec la soude caustique. Un niveau de LDH totale est une mesure globale de cinq isoenzymes de la LDH différentes. Pour cette raison, le test de la LDH peut être utilisé comme un marqueur général de lésions des cellules .. Tous les albums de Mayer ont été bonnes, et celui-ci ne fait pas exception. <br><br>Légende photo verts sont riches en vitamine K2, whcih aide à prévenir l'accumulation artérielle calsum. Un problème central dans le traitement du VIH est de s'assurer que les patients prennent les bons médicaments au bon moment. La personne que vous rencontrez vous donner une brève [http://www.myresume.us.com/active/?v=114 Magasin Louis Vuitton Marseille] introduction à l'agence de recrutement. En particulier, il sert souvent de base de la cible de la connaissance de l'entité problème de liaison, qui est alors appelé «wikification», [308] et le problème connexe de désambiguïsation. <br><br>Leur 'Panneau de configuration' couvre environ tout ce que vous voudrez jamais faire. Il est le premier produit de base non 4870X2 référence HD dans le monde et il est totalement différent de toute autre carte sur le marché.. Quand elle commence enfin à rire, il se joint à elle, un grand sourire. La valeur réelle peut même être pertinent. <br><br>Sont pas des termes que vous voyez jeté autour d'un lot dans les soins de santé ces jours-ci, avec de bonnes raisons. Lors de la chasse pour un portefeuille veillez à sélectionner un contenant suffisamment d'espace pour vos cartes de visite, cartes de guichet automatique, etc, et assez d'espace pour vos factures d'argent dépliées. <br><br>Les bonnes nouvelles pour les petites entreprises est que ces technologies ne sont pas toujours une garantie de succès .. Un autre changement majeur entre 1995 et 2008 a été en termes d'intensité. Il [http://www.ksmk.org/content/?g=82 Pandora Perles Argent] a été gracié vendredi par Poutine et immédiatement volé dans un jet privé à Berlin, où il a parlé à une tumultueuse conférence de nouvelles à proximité de Checkpoint Charlie, l'un des principaux points de passage de Berlin-Est à Berlin-Ouest pendant la guerre froide .. Le processus a commencé à Wyandotte dans quelques unités de soins en 2006..<ul>
The family of [[Explicit and implicit methods|explicit]] Runge–Kutta methods is a generalization of the RK4 method mentioned above. It is given by
 
:<math> y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i, </math>
  <li>[http://propdxb.com/activity/p/233987/ http://propdxb.com/activity/p/233987/]</li>
where
 
:<math> k_1 = hf(t_n, y_n), \, </math>
  <li>[http://bbs.souwei.net/forum.php?mod=viewthread&tid=219088 http://bbs.souwei.net/forum.php?mod=viewthread&tid=219088]</li>
:<math> k_2 = hf(t_n+c_2h, y_n+a_{21}k_1), \, </math>
 
:<math> k_3 = hf(t_n+c_3h, y_n+a_{31}k_1+a_{32}k_2), \, </math>
  <li>[http://www.shwcsy.com/bjl/forum.php?mod=viewthread&tid=1254004&fromuid=15261 http://www.shwcsy.com/bjl/forum.php?mod=viewthread&tid=1254004&fromuid=15261]</li>
:::<math> \vdots </math>
 
:<math> k_s = hf(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}k_1+a_{s2}k_2+\cdots+a_{s,s-1}k_{s-1}). </math> <ref>{{harvnb|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007|p=907}}</ref>
  <li>[http://steenburger.com/search/node/ http://steenburger.com/search/node/]</li>
:''(Note: the above equations have different but equivalent definitions in different texts).''<ref name=notation />
 
</ul>


To specify a particular method, one needs to provide the integer ''s'' (the number of stages), and the coefficients ''a<sub>ij</sub>'' (for 1 ≤ ''j'' < ''i'' ≤ ''s''), ''b<sub>i</sub>'' (for ''i'' = 1, 2, ..., ''s'') and ''c<sub>i</sub>'' (for ''i'' = 2, 3, ..., ''s''). The matrix [''a<sub>ij</sub>''] is called the ''Runge–Kutta matrix'', while the ''b<sub>i</sub>'' and ''c<sub>i</sub>'' are known as the ''weights'' and the ''nodes''.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=38}}</ref> These data are usually arranged in a mnemonic device, known as a ''Butcher tableau'' (after [[John C. Butcher]]):
== Vente Ceinture Hermes Homme . Donc ==


{| cellpadding=3px cellspacing=0px
Haïti est dans une pauvreté désespérée. Ce sont visibles sur les cinq volets de homescreen et sont configurables par l'utilisateur: ils peuvent être des icônes simples ou des dossiers avec plusieurs éléments en eux. Cette ain NASCAR, et nous pas en course pour beaucoup d'argent, aussi longtemps que [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=42 Vente Ceinture Hermes Homme] le jugement est juste, qui se soucie de ce métrique qu'ils utilisent?. Donc, si le producteur sioniste molaire (veste marron) et le sweat-shirt bleu DHS mole: tous devraient être ravis avec joie par les révélations de ce post ... <br><br>Après un temps le gant Schiek ne rompt en, bout n'est jamais aussi à l'aise comme un gant moins durables. Il ne sera activé en inversant l'affichage et la fermeture du téléphone après. Ici, heureusement, il est scintillant. Personnes qui ont des emplois paient des impôts. <br><br>Alors avant que je lui écris des poèmes, que j'aime faire, je m'assure de prendre soin de tout le reste [http://www.startechnical.com/modules/?t=47-Michael-Kors-Sac-2014 Michael Kors Sac 2014] en premier. Par exemple, le nombre estimé de cotinine validé fumeuses enceintes en Ecosse ans. Étaient satisfaits du service, mais ils payaient pour un service de labour de sorte que c'est ce qu'ils ont reçu. Vous pouvez payer pour les adeptes achat de instagram amateurs offrent ce n'est vraiment rentable et devenir la promotion en ligne cohérente. <br><br>[51] Alors que les premiers efforts visant à légaliser le mariage homosexuel a échoué, le législateur a approuvé deux projets de loi en 2008 qui accordaient tous les couples non mariés certains droits de partenariat domestique , y compris la capacité d'effectuer des visites dans les hôpitaux et maisons de soins infirmiers, fin de choix de vie et d'autres décisions médicales, en plus de droits à la propriété conjointe de propriété. [52] partenaires nationaux doivent être âgés d'au moins 18 ans et être [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=84 Gucci Ceinture Homme Prix] en mesure de fournir une déclaration sous serment attestant à leur relation avec deux documents, tels que les comptes de contrôle conjoint, d'hypothèques ou de contrats de location de voiture; la couverture en matière d'assurance de la santé ou de la désignation en [http://www.startechnical.com/modules/?t=141-Michael-Kors-Selma Michael Kors Selma] tant que principal bénéficiaire dans un testament. <br><br>Autres collèges émulés ce développement, mais tous ces ont été convertis au rugby par le milieu des années 1870 et bientôt devenu célèbre en tant début bastions du football américain. [7]. Vice-chancelier de l'université, Sir Colin Campbell, soutient le contraire .. Au lieu de cela, elle peut se résoudre à passer une nuit chaque semaine participer à une activité familiale comme la nuit de film à la maison ou d'avoir une partie de pizza avec son frère et sa sœur.<ul>
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
 
|-
  <li>[http://www.shanhuanshan.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1747280&fromuid=64089 http://www.shanhuanshan.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1747280&fromuid=64089]</li>
||| style="border-right:1px solid;" | <math> c_2 </math> || <math> a_{21} </math>
 
|-  
  <li>[http://steenburger.com/search/node/ http://steenburger.com/search/node/]</li>
||| style="border-right:1px solid;" | <math> c_3 </math> || <math> a_{31} </math> || <math> a_{32} </math>
 
|-
  <li>[http://super70s.com/Community/forums/thread/262924.aspx http://super70s.com/Community/forums/thread/262924.aspx]</li>
||| style="border-right:1px solid;" | <math> \vdots </math> || <math> \vdots </math> || || <math> \ddots </math>
 
|-
  <li>[http://broadmeadowinternational.com/forum/7-network-marketing/26961-mont-blanc-boheme-rouge-air-et-gestes-de-mouvement#26993 http://broadmeadowinternational.com/forum/7-network-marketing/26961-mont-blanc-boheme-rouge-air-et-gestes-de-mouvement#26993]</li>
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | <math> c_s </math>
 
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s1} </math>
</ul>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s2} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> \cdots </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s,s-1} </math> || style="border-bottom:1px solid;" |
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || <math> b_1 </math> || <math> b_2 </math> || <math> \cdots </math> || <math> b_{s-1} </math> || <math> b_s </math>
|}


The Runge–Kutta method is consistent if
== Montblanc Meisterstuck 145 qui ==
:<math>\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.</math>
There are also accompanying requirements if we require the method to have a certain order ''p'', meaning that the local truncation error is O(''h<sup>p</sup>''<sup>+1</sup>). These can be derived from the definition of the truncation error itself. For example, a 2-stage method has order 2 if ''b''<sub>1</sub> + ''b''<sub>2</sub> = 1, ''b''<sub>2</sub>''c''<sub>2</sub> = 1/2, and ''a''<sub>21</sub> = ''c''<sub>2</sub>.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=39}}</ref>


===Examples===
Tous nos cadeaux ne sont pas libres pour toujours. Et ils avaient une signature révélatrice de leur lumière s'est évanouie au fil du temps dans un modèle caractéristique différente des autres types de supernovae .. Il n'ya pas de double tap ou un zoom de doigt. Tout en appuyant sur leurs bottes sur les corps des Soudanais, les Libanais ont fait le mensonge postrate soudanais avec leurs estomacs de toucher le sol ». <br><br>Il pourrait bénéficier de support malaise croissant d'avoir deux systèmes d'exploitation qui dominent le marché des smartphones. En [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=33 Montblanc Meisterstuck 145] voyant comment les autres fabricants vont de cette cependant, nous devons dire que nous sommes heureux Samsung collé à ses moyens. <br><br>Selon leurs constatations, Heck groupe a conclu le risque de cancer a été augmentée avec une exposition plus [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=36 Mont Blanc Boheme Doue] élevée à la [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=71 Hollister Pullover Hoodies] pollution de l'air par les véhicules. Les taux de grippe la semaine pour l'Angleterre et le Pays de Galles ont été obtenus par le Collège royal de la recherche et de la surveillance du centre de médecins généralistes, qui recueille des données sur les consultations pour grippe comme les maladies provenant d'environ 100 chirurgies générales de pratique, et transformation logarithmique avant l'analyse.. <br><br>En quelques mois, elle avait amenuisé ses biens terrestres jusqu'à deux valises un grand d'un vert pour le contenu de la maison et un peu d'un gris de fournitures de bureau. C'est parce que l'écran est orientable vers la partie inférieure. Si vous vous entraînez sur un cinq par cinq programme de dynamophilie de [http://www.myresume.us.com/active/?v=152 Louis Vuitton Sacoche Homme Pas Cher] base, dans lequel vous vous accroupissez pour cinq ensembles chaque séance d'entraînement, suivie par l'aménagement de gradins pour cinq séries, il est un peu plus facile à mettre en place votre programme. Légende de la photo softball partir de 8 ans donnera filles un grand avantage si ils veulent jouer à l'adolescence et au-delà.. <br><br>Depuis l'aube de l'homme, de la romance a existé, et avec elle la cour, plusieurs fois sous la forme d'une lettre d'amour romantique ou même une carte. Garder le même style et la finition comme le produit haut de la gamme est évidemment un choix conscient de l'aura du phare est probablement devrait être un pilote de vente majeur.. <br><br>Dizaines de milliers de Maliens qui ont fui le nord l'année dernière ne peuvent toujours pas rentrer à la maison. Et en poussant le curseur sur l'un des bords de la fenêtre visible rend les casseroles de pages Web dans ce sens .. Puis nous arrivons à l'arrière, qui (et nous n'exagérons pas ici) est une amélioration massive sur la note II. Mais en réalité, lorsque ces personnes rencontrent les filles, ils se rendent compte que toutes ces informations qui ont été fournies dans les pages de profil du site étaient faux ou plus indiqué..<ul>
 
  <li>[http://www.88822.com/#03666/read.php?tid=980 http://www.88822.com/#03666/read.php?tid=980]</li>
 
  <li>[http://m.fybxw.cc/news/html/?25090.html http://m.fybxw.cc/news/html/?25090.html]</li>
 
  <li>[http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11 http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11]</li>
 
  <li>[http://www.sr-xing.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=234183&fromuid=2108 http://www.sr-xing.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=234183&fromuid=2108]</li>
 
</ul>


The RK4 method falls in this framework. Its tableau is:<ref name="Süli 2003 352">{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=352}}</ref>
== Montblanc Meisterstuck Montre  bien sûr ==


{| cellpadding=3px cellspacing=0px
Nous allons protéger le mariage. Poids de ce smartphone est d'environ 100,5 grammes. Puis attendre six mois seront pas, car donner son accord pour un blog qui a moins de six mois de l'âge. J'ai acheté l'Olympus car elle permet les lumières extérieures à être utilisés, et parce qu'il a tout contrôle manuel, mais en ce moment je suis encore déterminer ce petit écran, et la façon d'accélérer suffisamment pour capturer un moment.. <br><br>Qualitivity assure cette survie en mettant l'accent sur la qualité et la quantité de travail et la quête de l'excellence du service. 'J'aime la nourriture, et j'aime sortir pour manger», a déclaré le 30 ans professeur de yoga. Grossesse Grossesse extra-utérine implanté en dehors de l'utérus survient dans un cas sur 40 à 100 grossesses. 2. <br><br>Samsung i9500 Galaxy S4 spécifications de téléphone complet GSM Arena. Sérieusement, Shack. Les caractéristiques de la collecte de Savoie une crèche de vie de cuir lambrissée tête joliment courbée et cuir panneau encastré sous le plancher, ou encore un lit à lattes sans panneaux de cuir. Albums sont d'excellents moyens pour s'assurer que vous n'avez jamais oublié quelque chose; Toutefois, ils travaillent mieux que de simplement les images seules.. <br><br>Ces gens-là ont obtenu presque tous les gouvernements du monde à leur devoir quantités considérables d'argent grâce à diverses magouilles et ils contrôlent, bien sûr, l'impôt sur le revenu, les finances [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=58 Montblanc Meisterstuck Montre] publiques [Harold] Wilson, par exemple, l'actuel premier ministre de l'Angleterre, est totalement impliqué avec ces gens-là et parle de rien d'autre en fait. [8].. <br><br>Si vous pouvez accumuler un peu de tampon dans votre compte bancaire, vous pouvez automatiser factures pour s'assurer que tout est payé à l'heure, dit-il. Il suffit de penser que l'esprit et le corps dans un état de relaxation lors d'une rencontre de nouvelles personnes. <br><br>Je vais attribuer le projet à 4 personne parce que le travail doit être fait par avoir manuellement, donc une offre pour 100 + [http://www.ksmk.org/content/?g=12 Magasin Pandora Tournai] fichiers chaque personne recevra plus de 100 fichiers à placer les données dans Excel, je vais avoir besoin dans l'avenir. Considérant l'apport potentiellement élevé de soda chez ceux qui la consomment, cette étude peut donner une idée sérieuse sur les effets de l'aspartame sur le corps humain, [http://www.stanzialesrestaurant.com/header/default.asp?a=94 Adidas Wings 2.0] bien que des recherches supplémentaires [http://www.myresume.us.com/active/?v=114 Magasin Louis Vuitton Marseille] sont nécessaires ... <br><br>C'est, si vous pouvez entraîner votre cerveau à ignorer la sensation de fatigue, vous pouvez courir plus vite. Et il s'est retrouvé ici, où ses charges joué assez bien pour déposer un dossier 3 2 mais n'ont pas avancé à la ronde des médailles .. Le flux vidéo de l'autre partie est considérée dans un grand cadre dans le milieu de l'écran alors que vous voyez votre propre image dans le même temps dans un petit cadre dans le coin inférieur gauche. Demandez à voir toute la portée à la fois si possible.<ul>
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
 
|-  
  <li>[http://www.ecologi.czweb.org/index.php?site=forum_topic&topic=12252 http://www.ecologi.czweb.org/index.php?site=forum_topic&topic=12252]</li>
||| style="border-right:1px solid;" | 1/2 || 1/2
 
|-
  <li>[http://www.mgprojectsllc.com/index.php/forum/suggestion-box/25580-pandora-prix-bracelet-perle#25580 http://www.mgprojectsllc.com/index.php/forum/suggestion-box/25580-pandora-prix-bracelet-perle#25580]</li>
||| style="border-right:1px solid;" | 1/2 || 0 || 1/2
 
|-  
  <li>[http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/ http://general.assembly.codesria.org/spip.php?article87&lang=pt/"/]</li>
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1 || style="border-bottom:1px solid;" | 0
 
| style="border-bottom:1px solid;" | 0 || style="border-bottom:1px solid;" | 1
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
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|-
</ul>
||| style="border-right:1px solid;" | || 1/6 || 1/3 || 1/3 || 1/6
|}


A slight variation of "the" Runge-Kutta method is also due to Kutta in 1901 and is called the 3/8-rule.<ref>{{harvtxt|Hairer|Nørsett|Wanner|1993|p=138}} refer to {{harvtxt|Kutta|1901}}</ref> The primary advantage this method has is that almost all of the error coefficients are smaller than the popular method, but it requires slightly more FLOPs (floating point operations) per time step.  Its Butcher tableau is given by:
== Ceinture Hermes Femme Boucle H apparemment ==


{| cellpadding=3px cellspacing=0px
Ces dernières années, Israël a [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=15 Ceinture Hermes Femme Boucle H] constamment renforcé [http://www.myresume.us.com/active/?v=45 Lv Sacoche Homme] son emprise sur la région. Nous leur ferons aussi soigneusement et régulièrement que possible. La conclusion sera utilisé pour évaluer l'état actuel de la bibliothèque et le futur département improvements.Library a fait de l'apprentissage mieux pour u. Sheru ne s'est pas réveillé. <br><br>Nous croyons que les directions sont clairs sur le point de vente dispositif, mais nous regrettons les quelques erreurs qui, apparemment, ont eu lieu parmi les dizaines de milliers de contributions reçues à ce jour. Comment ont-ils le dernier [http://www.ksmk.org/content/?g=66 Charms Pandora Promo] projet qu'ils terminées? Quelles mesures ont-ils prises pour organiser leur journée? Combien de fois par semaine doit-il répondre avec leur superviseur pour définir leurs objectifs et les responsabilités du projet? En posant des questions précises qui nécessitent une réponse plus complète que oui ou non, vous aurez une meilleure idée de ce que le candidat a accompli.. <br><br>A présent, Jackson avait appris que les corps du pape étaient tous ensemble, déjouer son plan de vaincre chacun dans des actions distinctes. Son tabagisme a continué d'augmenter, et je viens n'a jamais été comme ça. Au début de l'insurrection, certains manifestants auraient scandé «Les chrétiens à Beyrouth, les Alaouites au cercueil» [9] L'opposition a accusé le régime d'agiter le sectarisme [10] Time Magazine a rapporté que dans Homs employés du gouvernement ont été offertes allocations supplémentaires de haut.. À 500 $ par mois pour ventilateur sectaire craintes tout en posant comme partisans de l'opposition.. <br><br>Meilleures chances d'éviter une condamnation DUI d'une personne est dans l'embauche d'un San Francisco DUI procureur. Une fois que vous arrêtez de prendre les injections, les effets secondaires peuvent encore se produisent ou peuvent entraîner spécifiquement de l'arrêt du médicament .. <br><br>Jamais pensé que nous serions en train de [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=53 Louboutin Pigalle 85] lire, il ya quelques années. Alors que nous considérons souvent un signe inoffensif du vieillissement, une stature diminution est un signe commun de la mauvaise santé des os. Encore une fois, ce n'est pas grave. Le passage de Solna à Arlanda a été achevée en 2010. <br><br>Le long de la partie supérieure de la dragonne, il ya une bosse reconnaissable qui se range son appareil photo autofocus de 1,9 mégapixels. Depuis le divorce était encore fraîche, il se balayé dans la tristesse chaque fois qu'il a visité ses enfants. <br><br>Il a certainement ajouté à mon inquiétude '.. Compenser l'artiste de mon GF fait un experiement sur elle il ya un certain temps et a prouvé qu'elle avait l'air beaucoup plus mignon avec les sourcils pas voûté, mais cette petite fille a ses propres idées sur la beauté.<ul>
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
 
|-
  <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/ http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/]</li>
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  <li>[http://www.jzdshw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=750595&fromuid=72011 http://www.jzdshw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=750595&fromuid=72011]</li>
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However, the simplest Runge–Kutta method is the (forward) [[Euler method]], given by the formula <math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) </math>. This is the only consistent explicit Runge–Kutta method with one stage. The corresponding tableau is:
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{| cellpadding=3px cellspacing=0px
Nous avons assez de ceux qui ont déjà le paragraphe aurait dû se lire:. Le pourcentage de personnes en bonne santé qui sont correctement identifiés comme n'ayant pas la condition, parfois appelé le vrai taux négatif). Certains gens d'affaires cherchent également à en savoir plus. Mais son discours n'est pas une politique épanouie; il soulève des questions et contient des failles. <br><br>.. La législation qui leur permettra de voter à un référendum Royaume-Uni pour la première fois est actuellement faire son chemin à travers le Parlement écossais à Holyrood, à Edimbourg ... C'est l'un des environ 5.000 de ces missives étant encore envoyé chaque jour par télégramme un format apprécié pour son 'sens de l'urgence et de l'authenticité», explique un fonctionnaire de BSNL .. Un assistant administratif ne participe pas autrement à l'étude a ouvert l'enveloppe suivante dans la séquence et enregistré la cession dans un journal confidentiel.. <br><br>Ces dix clients qui acceptent de participer à ce programme recevront 1000 $ pour le développement de l'entreprise ainsi que l'expédition de coût libre et réduite pendant la durée du programme. Beta Ray Bill fait ses débuts dans l'épisode 'Innervisions', exprimé par Karl Pruner. <br><br>Et contrairement à venir des entreprises de livraison de jour où vos marchandises sont généralement expédiés par un concentrateur central, vos marchandises resteront sur le même véhicule dédié jusqu'à ce qu'ils atteignent leur destination en toute sécurité. UTAIf il attirer ce genre d'intérêt des clubs de Premier League, cela donnerait à penser que c'était une erreur de le laisser aller.. <br><br>Ce rapport passe en revue les services de navigation LIVESTRONG et met en évidence l'impact de ce modèle a eu sur les survivants du cancer en 2010 .. 'Un gouvernement faible est la question cadeaux de membres de la classe soutenue nouvelles bourses dotées,. <br><br>Il ne s'active en inversant l'affichage et la fermeture du téléphone par la suite. Il [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=9 Ceintures Louis Vuitton Pas Cher] ya aussi des modes spécifiques comme Baby et de l'alimentation .. Je n'ai pas pris soin de moi. Pour plus de confort, vous pouvez [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=38 Ceinture Vuitton Damier] couper la tige pour faire plus court, mais ne supprimez pas tout, et faire attention à ne pas endommager la coupe .. [http://www.transamtoolbar.com/includes/index.asp?p=18 Stylo Plume Mont Blanc Occasion] <br><br>Est-il un autre. Prévoyez un pique-nique romantique tranquille où vous pouvez être seul. Et donc je vais peser le terrain. C'était un geste [http://www.myresume.us.com/active/?v=149 Chaussure Louis Vuitton Pour Homme] brillant. L'intérieur de l'emballage de vente au détail, vous trouverez le lecteur et un crédit de 10 $ à la musique eMusic. Le Projet Gutenberg eBook de A populaires Histoire de France depuis les premiers temps, par François Pierre Guillaume Guizot Cet eBook est à l'usage de n'importe qui n'importe où..<ul>
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===Second-order methods with two stages===
== Escarpin Louboutin Taille 42  »dit-il. Cependant ==


An example of a second-order method with two stages is provided by the [[midpoint method]]
C'est à ce moment que commercialisés sports universitaires ont commencé sur la pente glissante vers le professionnalisme ouvert .. Sony Ericsson K700 prend en charge des fonctions vidéo de tir par une très faible résolution, soit 176 x 144 ou 128 x 96 pixels. <br><br>Frederic sur étrangement engagement de Syfy 'Warehouse 13'. C'est la série portant sur un endroit top secret où le gouvernement maintient des choses qui sont trop surnaturel et inexplicable pour le grand public de connaître. Ceci est lié à conduire à un stress pour elle et vous pouvez vous sentir coupable [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=79 Escarpin Louboutin Taille 42] de la blessure que vous [http://www.ksmk.org/content/?g=48 Pandora Bijoux Charms] l'avez fait. Sérieusement?! Yelp est un beau moyen démocratique qui permet aux clients d'inculquer la responsabilité dans les entreprises.. <br><br>Avant que nous puissions imaginer une communauté mondiale, il ya quelques mots de notre lexique de la guerre froide qui ont besoin d'être redéfini. Ces fonctionnalités sont intégrées dans l'interface Sony Ericsson standard et deviendront la norme pour chaque nouvelle version.. <br><br>'La question que nous allons avoir à se poser est que nous pouvons accomplir les mêmes objectifs que ce programme est destiné à accomplir de manière à donner le plus la confiance du public qui, en fait, la NSA fait ce qu'il est censé faire, »dit-il. Cependant, la nouvelle ligne à grande vitesse rejoint une piste conventionnelle partagée avec des trains [http://www.ksmk.org/content/?g=29 Pandora Bijou Belgique] à basse vitesse, la courbe où l'accident s'est produit.. <br><br>Bien qu'il puisse se sentir comme si vous donnez ou être un lâche, la fuite est souvent la [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=36 Hollister Nantes Recrutement] seule approche reste quand tous les autres ont échoué. 8 .. C'est la forme la plus courante et se produit dans les cas 9 à 10. Facteurs néfastes qui ne pouvaient pas être modifiées étaient dans un groupe socio-économique plus faible, une pression artérielle élevée avant la grossesse tout en prenant des pilules contraceptives orales, les antécédents familiaux d'hypertension artérielle pendant la grossesse et saignements durant la grossesse.. <br><br>Raison des réactions allergiques varient entre les individus, les fabricants peuvent raisonnablement faire de telles garanties. Le siège doit être en mesure de se déplacer pas plus de 1 pouce de gauche à droite ou de l'avant vers l'arrière. Il ya aussi une application de courriel générique pour tous vos autres comptes de messagerie et il peut gérer plusieurs boîtes de réception POP ou IMAP. Ils n'étaient pas suffisamment explicites sur leurs besoins d'apprentissage. <br><br>La protéine C réactive était une transformation logarithmique pour normaliser les données. Il dispose de deux slots SIM pleinement fonctionnels, un processeur 1GHz single core et 768 Mo de RAM. Pour tous les patients dans le groupe A, le médecin généraliste a fourni des informations verbales reposant sur une carte rapide (encadré 2). Webnode marchands qui vendent des biens livrables peuvent bénéficier de fonctions de transport et de livraison intelligents de ShopIntegrator.<ul>
:<math> y_{n+1} = y_n + hf\left(t_n+\frac{1}{2}h,y_n+\frac{1}{2}hf(t_n, y_n)\right). </math>
 
The corresponding tableau is:
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</ul>


{| cellpadding=3px cellspacing=0px
== Adidas Wings 2.0 Pas Cher et lui-même ==
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The midpoint method is not the only second-order Runge–Kutta method with two stages. In fact, there is a family of such methods, parameterized by α, and given by the formula
En opposition à laver [http://www.stanzialesrestaurant.com/header/default.asp?a=86 Adidas Wings 2.0 Pas Cher] des voitures d'occasion, des services de lavage de voiture de la machine ont été introduites, qui est devenu un succès instantané. L'industrie est à un tournant important avec l'émergence de systèmes et de solutions mémoire, et Micron est idéalement positionné pour capitaliser sur cette tendance, a déclaré Micron PDG Mark Durcan ... <br><br>La peinture dépeint une vieille femme et un jeune garçon grâce disant dans un restaurant bondé, comme ils sont observés par d'autres personnes à leur table. [3] l'inspiration de Rockwell pour dire la grâce est venu d'un lecteur Saturday Evening Post qui a vu une famille mennonite de prier dans un restaurant. <br><br>Ils veulent un homme qui n'a pas à prouver quoi que ce soit et eux (et lui-même) accepte pour ce qu'ils sont et se présente sans présomption. Peut-être tort, mais peut-être la peine d'essayer avant de tenter le flash du BIOS, plus sûr aussi. Pour améliorer l'hygiène du sommeil, tenir compte de ces conseils par les Centers for Disease Control and Prevention. 'Vous ne faites pas votre performant tout d'abord pour les critiques, vous le faites à laisser le public prendre feu,' at-il dit. <br><br>Parmi eux:. Osman Ali Khan, le septième Nizam et une règle princier qui a échoué dans une révolte à éviter de rejoindre l'Inde en 1948 Deuxièmement, nous dépendons les uns aux autres et les partenaires, mais ils ne sont pas sur le même cycle de vie, ? Michelsen ajoute. <br><br>Jamais .. Recherche strategyWe recherché 30 bases de données électroniques à partir de Janvier 1980 to Février 2007: ADOLEC, AIDSLINE, AMED, ASSIA, BiblioMap, BIOSIS, BNI, Catalogue des publications du gouvernement des États-Unis, CENTRALE, CHID, CINAHL, DARE, Dissertation Abstracts International, Embase , ERIC, EurasiaHealth connaissances Bibliothèque multilingue, résumés de [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=71 Ceinture Louis Vuitton Femme Damier] santé mondiale, HealthPromis, HMIC, PAIS, sciences politiques Abstracts, PsycINFO, PubMed, MRC, SciSearch, SERFILE, SIGLE, Social Services Abstracts, Sociological Abstracts, et trophi.. <br><br>Îles et îlots dans les atolls coralliens viennent rarement par eux-mêmes: ils [http://www.ksmk.org/content/?g=17 Perle Pandora Prix] sont généralement partie [http://www.icprotectioninc.com/common/index.asp?f=156-Bague-Tiffany-Grace Bague Tiffany Grace] d'un cycle. Avez-vous d'utiliser les sites gratuits? NON, vous n'avez pas. Similaire à économiser de l'argent avec du vinaigre pour nettoyer votre maison. 2. <br><br>D'autres tentatives pour avoir des relations sexuelles au long des vacances restants n'ont pas réussi en raison de 'douleur' .. Du 22 Août au 25 les deux armées ont mené une série d'actions mineures le long de la rivière de Rappahannock. Le menteur mentir une fois, deux fois, puis périr quand il dit la vérité. Gardez à l'esprit, cependant, que vous ne devez pas être un expert dans tous les sujets une des grandes choses au sujet homeschooling est que vous pouvez apprendre avec votre enfant.<ul>
 
  <li>[http://www.ruizhongguo.info/forum.php?mod=viewthread&tid=235116 http://www.ruizhongguo.info/forum.php?mod=viewthread&tid=235116]</li>
 
  <li>[http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11 http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article11]</li>
 
  <li>[http://no4189.yidongezhan.cn/news/html/?47812.html http://no4189.yidongezhan.cn/news/html/?47812.html]</li>
 
  <li>[http://lellovoce.altervista.org/spip.php?article412/ http://lellovoce.altervista.org/spip.php?article412/]</li>
 
</ul>


:<math> y_{n+1} = y_n + h\bigl( (1-\tfrac1{2\alpha}) f(t_n, y_n) + \tfrac1{2\alpha} f(t_n + \alpha h, y_n + \alpha h f(t_n, y_n)) \bigr). </math> <ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=327}}</ref>
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Its Butcher tableau is
C '. Déclaration incomplète! Mon compte témoin oculaire de nouvelles mentionnera dépenser beaucoup d'efforts cette année.. L'université a annoncé qu'il [http://www.myresume.us.com/active/?v=78 Lunette Lv Pas Cher] allait licencier du personnel et du corps professoral dans le visage d'une baisse des effectifs. Il a ensuite déshérité son fils aîné, qui a été surnommé Pépin le Bossu. <br><br>TAIPEI, TAIWAN et MUNICH, ALLEMAGNE 7 Juin 2005 BenQ annonce aujourd'hui l'acquisition des appareils mobiles («MD») à l'entreprise de Siemens AG. Je nai utilisé dans les 18 derniers mois alors j'espère que tout est toujours le même. Terre battue utilisent des lignes de brosse, craie, jeter ou de lignes de bande clouées. Nous travaillons dur pour faire ces changements à disposition dès que possible. <br><br>Eu aucun problème avec la première cotée en bourse qui était Experian. Le coût d'une adhésion juniors d'un an est de 20,00 $. Sérieusement les gens. Si vous êtes le genre de personne qui a été accusée une fois de trop pour manque de romantisme dans vos os, vous n'avez pas à vous inquiéter. <br><br>Si vous prenez l'appât, vous serez invité à mettre en place une partie de votre propre argent pour faciliter le transfert. De cette façon, vous pouvez simplement mettre vos points en boîtes selon que vous voulez, et toujours être compétitif dans le combat. <br><br>Sinon, par rapport à ma question sur vcore, je crois qu'il doit être vrai avec les tests effectués avec le SB ainsi .. Appuyez sur et il va couper les voix et idéalement afficher les paroles de la façon dont un système de karaoké appropriée serait. Est l'une des options de traitement les plus courants et efficaces pour les personnes souffrant d'apnée du sommeil .. Gourdine présente des renseignements clés sur les moyens de la culture afro-américaine façonne les choix de santé croyances, les traditions et les valeurs peuvent influencer [http://www.ksmk.org/content/?g=91 Pandora Perle Murano] les choix alimentaires, les habitudes d'exercice, et même la décision de consulter un médecin.. <br><br>Quelque temps après la mort de Mozart un homme appelé Kchel étudié la musique de Mozart tout, essayé de les mettre dans l'ordre chronologique, et leur a donné un certain nombre. Le Samsung Galaxy [http://www.myresume.us.com/active/?v=48 Louis Vuitton Damier Occasion] Note 3 dispose d'une batterie remplaçable de l'utilisateur, mais c'est une unité Li Ion de capacité légèrement inférieure à 3200 mAh.. <br><br>Vous pouvez souffrir d'insomnie que votre corps et votre cerveau se retirer de la nicotine. 5 gagner encore plus avec location de voiture EXCÈS économiser jusqu'à 175Budget à l'aéroport de Malaga, sud de l'Espagne, vous facturer 246,90 (16,46 [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=89 Boutique Christian Louboutin Monaco] par jour), autour de 215, afin de réduire l'excédent à zéro si vous avez un accident ou de la voiture est endommagé..<ul>
 
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</ul>


{| cellpadding=8px cellspacing=0px
== Christian Louboutin Pigalle 100  boire moins d'alcool ==
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
|-
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | <math>\alpha</math> || style="border-bottom:1px solid; text-align: center;" | <math>\alpha</math> || style="border-bottom:1px solid;" |
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || <math>(1-\tfrac1{2\alpha})</math> || <math>\tfrac1{2\alpha}</math>
|}


In this family, <math>\alpha=\tfrac12</math> gives the midpoint method and <math>\alpha=1</math> is [[Heun's method]].<ref name="Süli 2003 328"/>
Il comprend un contrôleur de mouvement, une caméra PlayStation Eye, et une copie de Sports Champions. Cette tribu a survécu après la catastrophe dans les temps anciens lorsque le roi de ashuris conquis judaïque royaume nord et les exilés dans différentes villes du royaume. <br><br>Voiture / pilote commanditaire / Système / Promo lien de l'image; Budweiser Shootout à Daytona International Speedway Février 7 11 Denny Hamlin: FedEx Express 11 équipe. Avocats pourraient facturer un montant forfaitaire unique, un taux horaire ou une combinaison des deux. <br><br>Pilates est un bon exemple. Si vous vous souvenez bien, au moins aux États-Unis, [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=102 Christian Louboutin Pigalle 100] la politique était censé être un emploi à temps partiel. Les muscles travaillent ensemble en matière plastique par l'intermédiaire de moteurs électriques et les tendons artificiels. Une belle amélioration est que le S8300 dispose maintenant de trois écrans d'accueil différents, que vous pouvez alterner en appuyant simplement sur les icônes numériques dans le coin supérieur droit. <br><br>Une des questions les plus controversées: Si les athlètes des collèges qui sont la principale attraction de ce tournoi dollar Mars Madness plusieurs milliards payés? En [http://www.kenilworthroundtable.com/confuse/?m=74 Ceinture Gucci Le Bon Coin] tant que partisan de longue date du sport amateur, ma réponse est non. Que dois-je éviter tout en prenant Actonel? Ne vous allongez pas pendant 30 minutes après la prise du médicament.. <br><br>Pourtant, la Clif Bars représentant a proposé d'envoyer le long des barres de remplacement .. Smart Dialing est disponible et chaque fois que vous appuyez sur un chiffre et deux numéros de téléphone et les noms contenant sont affichés. Qui définissait le glas de la Coupe de l'America. Associés à ces ensembles de données en utilisant une version cryptée de 10 chiffres du numéro de carte de santé de chaque patient [http://www.icprotectioninc.com/common/index.asp?f=162-Tiffany-Collier-Prix Tiffany Collier Prix] pour assurer l'anonymat, et ils sont régulièrement utilisés pour étudier [http://www.pbscompany.net/templates/index.asp?y=73 Hollister Boutique En Ligne] l'innocuité des médicaments, y compris les conséquences cliniques de médicaments interactions.25 26 27 28 29 30.. <br><br>Propos de Rambus Inc. FT DVD Clone comprend le haut débit DVD Copy Engine, FT DVD Clone a la abllity de sauvegarder votre disque DVD9 en 30 minutes pour une copie complète du disque, et seulement 10 15 minutes pour principales Films Copiez. Commandant 2/1 écossais. Vous devriez demander l'aide d'experts et des conseils pour déterminer la cause précise de vos plaintes et de commencer le traitement qui vous permettra de vivre plus sainement et comfortably.You pouvez contrôler vos facteurs de risque en essayant de perdre du poids, boire moins d'alcool, abattez quotidiennement la consommation de café et arrêter de fumer..<ul>
 
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</ul>


==Usage==
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As an example, consider the two-stage second-order Runge–Kutta method with α = 2/3. It is given by the tableau
Malgré cela, son dossier visible et palpable était positif .. En opération depuis Juin 2003, est l'un des plus grands rassemblements d'investisseurs providentiels dans l'Ouest canadien et a des chapitres à Calgary, Edmonton, Kelowna et Winnipeg.. Le saupoudrage de Vista, en essayant d'être un homme à tout faire, finit par forcer les accros de performance à modifier l'enfer hors de [http://www.transamtoolbar.com/access/default.asp?c=78 Christian Louboutin Chaussure Cendrillon Prix] lui avant ils satisfaits .. Lire la [http://www.icprotectioninc.com/common/index.asp?f=169-Tiffany-And-Co-Pas-Cher Tiffany And Co Pas Cher] suite. <br><br>C'est le point dur .. De l'art, at-il dit? Le même film où Al Pacino enterre son visage dans pieux dérives élevés de coke et émerge ressemblant à un coati nez blanc? Le film avec cette robo trash discothèque note Giorgio Moroder qui sonne déjà comme date le thème de l'histoire et de la tapisserie de blasphème [http://www.myresume.us.com/active/?v=136 Sac Louis Vuitton Damier] si dense que vous pouvez regarder une version de deux minutes de composé entièrement de la parole et trouver tout aussi intelligible que la long métrage ?.. <br><br>Mais revenons en arrière un instant: il n'est pas un secret que la distance entre Shiv Sena et Manohar Joshi n'a cessé de croître depuis Balasaheb tombé malade. Dans les films, je fais autre genre de rôles que je dois changer en fonction de mon rôle. <br><br>Même les entreprises en difficulté après que la Cour suprême a coupé l'approvisionnement de minerai à haute teneur de fer sont l'adaptation; ils se tournent vers inférieure minerai de fer de qualité. Comme les anciens présidents Dwight Eisenhower, Gerald Ford et Ronald Reagan et contrairement à Lyndon Johnson, Richard Nixon et Bill Clinton plus de gens comme Bush personnellement que approuver le travail qu'il fait.. <br><br>Comment défaut densités épave nœuds curvesAs des coûts de semi-conducteurs diminuent, la difficulté de la construction toujours plus petites configurations de transistor devient de plus en plus aiguë. Il serait sûrement mieux si tout autour de grenouilles étaient à s'occuper de cet aspect délicat et finalement non dignes d'intérêt de la sténographie judiciaire ... <br><br>La solution isn parfait, mais il est complètement différent Intel de mettre autant d'efforts en vue d'améliorer les performances graphiques et à mon avis, que quelque chose qui devrait être récompensé. Il a les habituels 5 + heures d'utilisation de traitement modérée, mais le plus intéressant et pour moi caractéristique importante est sa capacité à se lever et courir quelques secondes de la mise sous tension.. <br><br>Très bien, nous avons les moyens aujourd'hui de le vérifier. Elle est une grande partie de tous les services et nos équipes de mariage ... 'Quelque chose d'étrange quelque chose d'approchant quelque chose de pathologique entièrement de sa propre fabrication [http://www.stanzialesrestaurant.com/header/default.asp?a=89 Adidas Js Gorilla] a la gauche dans son emprise,' les voix chuchote. Je ne peux pas supporter que tout le jeu de la confession, c'est: Ici, j'ai péché, maintenant je confesse mes péchés, et décrivant mon chemin du péché et dans l'acte de la confession, je prie pour votre pardon et la rédemption..<ul>
 
 
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
  <li>[http://yibingbing.com/forum.php/forum.php?mod=viewthread&tid=371181 http://yibingbing.com/forum.php/forum.php?mod=viewthread&tid=371181]</li>
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
    
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  <li>[http://bbs.ydlcw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1117272&fromuid=30967 http://bbs.ydlcw.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1117272&fromuid=30967]</li>
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 2/3 || style="border-bottom:1px solid;" | 2/3
 
| style="border-bottom:1px solid;" |
  <li>[http://asyj168.com/news/html/?13299.html http://asyj168.com/news/html/?13299.html]</li>
|-
 
||| style="border-right:1px solid;" | || 1/4 || 3/4
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/]</li>
|}
 
 
</ul>
with the corresponding equations
 
:<math> \begin{align}
k_1 &= f(t_n,y_n), \\
k_2 &= f(t_n + \tfrac{2}{3}h, y_n + \tfrac{2}{3}h k_1), \\
y_{n+1} &= y_n + h\left(\tfrac{1}{4}k_1+\tfrac{3}{4}k_2\right).
\end{align} </math>
 
This method is used to solve the initial-value problem
:<math> y' = \tan(y)+1,\quad y_0=1,\ t\in [1, 1.1]</math>
with step size ''h'' = 0.025, so the method needs to take four steps.
 
The method proceeds as follows:
 
{| cellpadding=8px
|-
| <math>t_0=1 \colon</math> || ||
|-
| || <math>y_0=1</math>
|-
| <math>t_1=1.025 \colon</math>
|-
| || <math>y_0 = 1</math> || <math>k_1=2.557407725</math> || <math>k_2 = f(t_0 + \tfrac23h ,y_0 + \tfrac23hk_1) = 2.7139</math>
|-
| ||  colspan=3 |<math>y_1=y_0+h(\tfrac14k_1 + \tfrac34k_2)=\underline{1.066869388}</math>
|-
| <math>t_2=1.05 \colon</math>
|-
| || <math>y_1 = 1.066869388</math> || <math>k_1=2.813524695</math> || <math>k_2 = f(t_1 + \tfrac23h ,y_1 + \tfrac23hk_1)</math>
|-
| ||  colspan=3 | <math>y_2=y_1+h(\tfrac14k_1 + \tfrac34k_2)=\underline{1.141332181}</math>
|-
| <math>t_3=1.075 \colon</math>
|-
| || <math>y_2 = 1.141332181</math> || <math>k_1=3.183536647</math> || <math>k_2 = f(t_2 + \tfrac23h ,y_2 + \tfrac23hk_1)</math>
|-
| ||  colspan=3 | <math>y_3=y_2+h(\tfrac14k_1 + \tfrac34k_2)=\underline{1.227417567}</math>
|-
| <math>t_4=1.1 \colon</math>
|-
| || <math>y_3 = 1.227417567 </math> || <math>k_1=3.796866512</math> || <math>k_2 = f(t_3 + \tfrac23h ,y_3 + \tfrac23hk_1)</math>
|-
| ||  colspan=3 | <math>y_4=y_3+h(\tfrac14k_1 + \tfrac34k_2)=\underline{1.335079087}.</math>
|}
 
The numerical solutions correspond to the underlined values.
 
==Adaptive Runge–Kutta methods==
 
The adaptive methods are designed to produce an estimate of the local truncation error of a single Runge–Kutta step. This is done by having two methods in the tableau, one with order <math>p</math> and one with order <math>p - 1</math>.
 
The lower-order step is given by
:<math> y^*_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b^*_i k_i, </math>
where the <math>k_i</math> are the same as for the higher-order method. Then the error is
:<math> e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = \sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, </math>
which is <math>O(h^p)</math>.
The Butcher tableau for this kind of method is extended to give the values of <math>b^*_i</math>:
 
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
|-
||| style="border-right:1px solid;" | <math> c_2 </math> || <math> a_{21} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | <math> c_3 </math> || <math> a_{31} </math> || <math> a_{32} </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | <math> \vdots </math> || <math> \vdots </math> || || <math> \ddots </math>
|-
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | <math> c_s </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s1} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s2} </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> \cdots </math>
| style="border-bottom:1px solid;" | <math> a_{s,s-1} </math> || style="border-bottom:1px solid;" |
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || <math> b_1 </math> || <math> b_2 </math> || <math> \cdots </math> || <math> b_{s-1} </math> || <math> b_s </math>
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || <math> b^*_1 </math> || <math> b^*_2 </math> || <math> \cdots </math> || <math> b^*_{s-1} </math> || <math> b^*_s </math>
|}
 
The [[Runge–Kutta–Fehlberg method]] has two methods of orders 5 and 4. Its extended Butcher tableau is:
 
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 1/4 || 1/4
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 3/8 || 3/32 || 9/32
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 12/13 || 1932/2197 || −7200/2197 || 7296/2197
|-
||| style="border-right:1px solid;" | 1 || 439/216 || −8 || 3680/513 || -845/4104
|-
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1/2 || style="border-bottom:1px solid;" | −8/27 || style="border-bottom:1px solid;" | 2 || style="border-bottom:1px solid;" | −3544/2565 || style="border-bottom:1px solid;" | 1859/4104 || style="border-bottom:1px solid;" | −11/40 || style="border-bottom:1px solid;" |
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || 16/135 || 0 || 6656/12825 || 28561/56430 || −9/50 || 2/55
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || 25/216 || 0 || 1408/2565 || 2197/4104 || −1/5 || 0
|}
 
However, the simplest adaptive Runge–Kutta method involves combining the [[Heun method]], which is order 2, with the [[Euler method]], which is order 1. Its extended Butcher tableau is:
 
{| cellpadding=3px cellspacing=0px
|width="20px"| || style="border-right:1px solid;" | 0
|-
||| style="border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;" | 1 || style="border-bottom:1px solid;" | 1 || style="border-bottom:1px solid;" |
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || 1/2 || 1/2
|-
||| style="border-right:1px solid;" | || 1 || 0
|}
 
The error estimate is used to control the stepsize.
 
Other adaptive Runge–Kutta methods are the [[Bogacki–Shampine method]] (orders 3 and 2), the [[Cash–Karp method]] and the [[Dormand–Prince method]] (both with orders 5 and 4).
 
==Nonconfluent Runge-Kutta methods==
A Runge-Kutta method is said to be ''nonconfluent'' <ref>{{harvnb|Lambert|1991|p=278}}</ref> if all the <math>c_i,\,i=1,2,\ldots,s</math> are distinct.
 
==Implicit Runge–Kutta methods==
 
All Runge–Kutta methods mentioned up to now are [[explicit and implicit methods|explicit methods]]. Unfortunately, explicit Runge–Kutta methods are generally unsuitable for the solution of [[stiff equation]]s because their region of absolute stability is small; in particular, it is bounded.<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|pp=349–351}}</ref>
This issue is especially important in the solution of [[Numerical partial differential equations|partial differential equations]].
 
The instability of explicit Runge–Kutta methods motivates the development of implicit methods. An implicit Runge–Kutta method has the form
 
:<math> y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i, </math>
where
:<math> k_i = hf\bigl( t_n + c_i h, y_n + \sum_{j=1}^s a_{ij} k_j \bigr), \quad i = 1, \ldots, s.</math> <ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=41}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|pp=351–352}}</ref>
 
The difference with an explicit method is that in an explicit method, the sum over ''j'' only goes up to ''i'' − 1. This also shows up in the Butcher tableau. For an implicit method, the coefficient matrix <math>a_{ij}</math> is not necessarily lower triangular:<ref name="Süli 2003 352"/>
 
:<math>
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
      & b_1    & b_2  & \dots & b_s\\
\end{array} =
 
\begin{array}{c|c}
\mathbf{c}& A\\
\hline
          & \mathbf{b^T} \\
\end{array}
</math>
 
The consequence of this difference is that at every step, a system of algebraic equations has to be solved. This increases the computational cost considerably. If a method with ''s'' stages is used to solve a differential equation with ''m'' components, then the system of algebraic equations has ''ms'' components. In contrast, an implicit ''s''-step linear multistep method needs to solve a system of algebraic equations with only ''s'' components.<ref name="Süli 2003 353">{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=353}}</ref>
 
===Examples===
 
The simplest example of an implicit Runge–Kutta method is the [[backward Euler method]]:
 
:<math>y_{n + 1} = y_n + h f(t_n + h, y_{n + 1}). \,</math>
 
The Butcher tableau for this is simply:
 
:<math>
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>
 
This Butcher tableau corresponds to the formulae
 
:<math> k_1 = f(t_n + h, y_n + h k_1) \quad\text{and}\quad y_{n+1} = y_n + h k_1, </math>
 
which can be re-arranged to get the formula for the backward Euler method listed above.
 
Another example for an implicit Runge–Kutta method is the [[trapezoidal rule (differential equations)|trapezoidal rule]]. Its Butcher tableau is:
 
:<math>
\begin{array}{c|cc}
0 & 0& 0\\
1 & \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\
\hline
  &  \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
\end{array}
</math>
 
The trapezoidal rule is a [[collocation method]] (as discussed in that article). All collocation methods are implicit Runge–Kutta methods, but not all implicit Runge–Kutta methods are collocation methods.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|pp=43–44}}</ref>
 
The [[Gauss–Legendre method]]s form a family of collocation methods based on [[Gauss quadrature]]. A [[Gauss–Legendre method]] with ''s'' stages has order 2''s'' (thus, methods with arbitrarily high order can be constructed).<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=47}}</ref> The method with two stages (and thus order four) has Butcher tableau:
 
:<math>
\begin{array}{c|cc}
\frac12 - \frac16 \sqrt3 & \frac14                  & \frac14 - \frac16 \sqrt3 \\
\frac12 + \frac16 \sqrt3 & \frac14 + \frac16 \sqrt3 & \frac14 \\
\hline
                        & \frac12                  & \frac12
\end{array}
</math> <ref name="Süli 2003 353"/>
 
===Stability===
 
The advantage of implicit Runge–Kutta methods above explicit ones is their greater stability, especially when applied to [[stiff equation]]s. Consider the linear test equation ''y''' = λ''y''. A Runge–Kutta method applied to this equation reduces to the iteration <math> y_{n+1} = r(h\lambda) \, y_n </math>, with ''r'' given by
 
:<math> r(z) = 1 + z b^T (I-zA)^{-1} e = \frac{\det(I-zA+zeb^T)}{\det(I-zA)}, </math> <ref>{{harvnb|Hairer|Wanner|1996|pp=40–41}}</ref>
 
where ''e'' stands for the vector of ones. The function ''r'' is called the ''stability function''.<ref>{{harvnb|Hairer|Wanner|1996|p=40}}</ref> It follows from the formula that ''r'' is the quotient of two polynomials of degree ''s'' if the method has ''s'' stages. Explicit methods have a strictly lower triangular matrix ''A'', which implies that det(''I'' − ''zA'') = 1 and that the stability function is a polynomial.<ref name="Iserles 1996 60">{{harvnb|Iserles|1996|p=60}}</ref>
 
The numerical solution to the linear test equation decays to zero if | ''r''(''z'') | < 1 with ''z'' = ''h''λ. The set of such ''z'' is called the ''domain of absolute stability''. In particular, the method is said to be ''A-stable'' if all ''z'' with Re(''z'') < 0 are in the domain of absolute stability. The stability function of an explicit Runge–Kutta method is a polynomial, so explicit Runge–Kutta methods can never be A-stable.<ref name="Iserles 1996 60"/>
 
If the method has order ''p'', then the stability function satisfies <math> r(z) = \textrm{e}^z + O(z^{p+1}) </math> as <math> z \to 0 </math>. Thus, it is of interest to study quotients of polynomial of given degrees that approximate the exponential function the best. These are known as [[Padé approximant]]s. A Padé approximant with numerator of degree ''m'' and denominator of degree ''n'' is A-stable if and only if ''m'' ≤ ''n'' ≤ ''m'' + 2.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|pp=62–63}}</ref>
 
The Gauss–Legendre method with ''s'' stages has order 2''s'', so its stability function is the Padé approximant with ''m'' = ''n'' = ''s''. It follows that the method is A-stable.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=63}}</ref> This shows that A-stable Runge–Kutta can have arbitrarily high order. In contrast, the order of A-stable [[linear multistep method]]s cannot exceed two.<ref>This result is due to {{harvtxt|Dahlquist|1963}}.</ref>
 
==B-stability. Algebraic stability==
 
The ''A-stability'' concept for the solution of differential equations is related to the linear autonomous equation <math>y'=\lambda y</math>. Dahlquist proposed the investigation of stability of numerical schemes when applied to nonlinear systems which satisfies a monotonicity condition. The corresponding concepts were defined as ''G-stability'' for multistep methods (and the related one-leg methods) and ''B-stability'' (Butcher, 1975) for Runge-Kutta methods. A Runge-Kutta method applied to the non-linear system <math>y'=f(y)</math>, which verifies <math>\langle f(y)-f(z),y-z \rangle<0</math>, is called ''B-stable'', if this condition implies <math>\|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq\|y_{n}-z_{n}\|</math> for two numerical solutions.
 
Let <math>B</math>, <math>M</math> and <math>Q</math> three <math>s\times s</math> matrices defined by
 
: <math>B=\operatorname{diag}(b_1,b_2,\ldots,b_s),\, M=BA+A^TB-bb^T\, Q=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^TA^{-1}.</math>
 
A Runge-Kutta method is said to be ''algebraically stable'' <ref>{{harvnb|Lambert|1991|p=275}}</ref> if the matrices both <math>B</math> and <math>M</math> are both non-negative definite. A sufficient condition for ''B-stability'' <ref>{{harvnb|Lambert|1991|p=274}}</ref> is: <math>B</math> and <math>Q</math> are non-negative definite.
 
==Derivation of the Runge–Kutta fourth-order method==
In general a Runge–Kutta method of order <math>s</math> can be written as:
:<math>y_{t + h} = y_t + h \cdot \sum_{i=1}^s a_i k_i +\mathcal{O}(h^{s+1})</math>
where:
:<math>k_i = f\left(y_t + h \cdot \sum_{j = 1}^s \beta_{ij} k_j, t_n + \alpha_i h \right)</math>
are increments obtained evaluating the derivatives of <math>y_t</math> at the <math>i</math>-th order.
 
We develop the derivation<ref>[http://www.ss.ncu.edu.tw/~lyu/lecture_files_en/lyu_NSSP_Notes/Lyu_NSSP_AppendixC.pdf PDF] reporting this derivation</ref> for the Runge–Kutta fourth-order method using the general formula with <math>s=4</math> evaluated, as explained above, at the starting point, the midpoint and the end point of any interval <math>(t, t +h)</math>, thus we choose:
 
: <math>
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\alpha_i & \beta_{ij} \\[8pt]
\hline
\alpha_1 = 0 & \beta_{21} = \frac{1}{2} \\[8pt]
\alpha_2 = \frac{1}{2} & \beta_{32} = \frac{1}{2} \\[8pt]
\alpha_3 = \frac{1}{2} & \beta_{43} = 1 \\[8pt]
\alpha_4 = 1 & \\[8pt]
\hline
\end{array}
</math>
 
and <math>\beta_{ij} = 0</math> otherwise. We begin by defining the following quantities:
:<math>\begin{align}
y^1_{t+h} &= y_t + hf\left(y_t, t\right) \\
y^2_{t+h} &= y_t + hf\left(y^1_{t+h/2}, t+\frac{h}{2}\right) \\
y^3_{t+h} &= y_t + hf\left(y^2_{t+h/2}, t+\frac{h}{2}\right)
\end{align}</math>
where <math>y^1_{t+h/2} = \dfrac{y_t + y^1_{t+h}}{2}</math> and <math>y^2_{t+h/2} = \dfrac{y_t + y^2_{t+h}}{2}</math>
If we define:
:<math>\begin{align}
k_1 &= f(y_t, t) \\
k_2 &= f\left(y^1_{t+h/2}, t + \frac{h}{2}\right) \\
k_3 &= f\left(y^2_{t+h/2}, t + \frac{h}{2}\right) \\
k_4 &= f\left(y^3_{t+h}, t + h\right)
\end{align}</math>
and for the previous relations we can show that the following equalities holds up to <math>\mathcal{O}(h^2)</math>:
:<math>\begin{align}
k_2 &= f\left(y^1_{t+h/2}, t + \frac{h}{2}\right) = f\left(y_t + \frac{h}{2} k_1, t + \frac{h}{2}\right) \\
&= f\left(y_t, t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \\
k_3 &= f\left(y^2_{t+h/2}, t + \frac{h}{2}\right) = f\left(y_t + \frac{h}{2} f\left(y_t + \frac{h}{2} k_1, t + \frac{h}{2}\right), t + \frac{h}{2}\right) \\
&= f\left(y_t, t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt} \left[ f\left(y_t,t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \right] \\
k_4 &= f\left(y^3_{t+h}, t + h\right) = f\left(y_t + h f\left(y_t + \frac{h}{2} k_2, t + \frac{h}{2}\right), t + h\right) \\
&= f\left(y_t + h f\left(y_t + \frac{h}{2} f\left(y_t + \frac{h}{2} f\left(y_t, t\right), t + \frac{h}{2}\right), t + \frac{h}{2}\right), t + h\right)  \\
&= f\left(y_t, t\right) + h \frac{d}{dt} \left[ f\left(y_t,t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}\left[ f\left(y_t,t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \right]\right]
\end{align}</math>
where:
:<math>\frac{d}{dt} f(y_t, t) = \frac{\partial}{\partial y} f(y_t, t) \dot y_t + \frac{\partial}{\partial t} f(y_t, t) = f_y(y_t, t) \dot y + f_t(y_t, t) := \ddot y_t</math>
is the total derivative of <math>f</math> with respect to time.
 
If we now express the general formula using what we just derived we obtain:
:<math>\begin{align}
y_{t+h} &= y_t + h  \left\lbrace a \cdot f(y_t, t) + b \cdot \left[ f\left(y_t, t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \right] \right.+ \\
& {}+ c \cdot \left[ f\left(y_t, t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt} \left[ f\left(y_t,t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \right] \right] + \\
&{}+ d \cdot \left[f\left(y_t, t\right) + h \frac{d}{dt} \left[ f\left(y_t,t\right) + \frac{h}{2} \frac{d}{dt}\left[ f\left(y_t,t\right)
+ \left. \frac{h}{2} \frac{d}{dt}f\left(y_t,t\right) \right]\right]\right]\right\rbrace + \mathcal{O}(h^5) \\
&= y_t + a \cdot h f_t + b \cdot h f_t + b \cdot \frac{h^2}{2} \frac{df_t}{dt}   + c \cdot h f_t+ c \cdot \frac{h^2}{2} \frac{df_t}{dt} + \\
&{}+ c \cdot \frac{h^3}{4} \frac{d^2f_t}{dt^2} + d \cdot h f_t + d \cdot h^2 \frac{df_t}{dt} + d \cdot \frac{h^3}{2} \frac{d^2f_t}{dt^2} + d \cdot \frac{h^4}{4} \frac{d^3f_t}{dt^3} + \mathcal{O}(h^5)
\end{align}</math>
 
and comparing this with the [[Taylor series]] of <math>y_{t+h}</math> around <math>y_t</math>:
 
:<math>\begin{align}
y_{t+h} &= y_t + h \dot y_t + \frac{h^2}{2} \ddot y_t + \frac{h^3}{6} y^{(3)}_t + \frac{h^4}{24} y^{(4)}_t + \mathcal{O}(h^5) = \\
&= y_t + h f(y_t, t) + \frac{h^2}{2} \frac{d}{dt}f(y_t, t) + \frac{h^3}{6} \frac{d^2}{dt^2}f(y_t, t) + \frac{h^4}{24} \frac{d^3}{dt^3}f(y_t, t)
\end{align}</math>
 
we obtain a system of constraints on the coefficients:
 
:<math>
\begin{cases}
&a + b + c + d = 1 \\[6pt]
& \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c  + d = \frac{1}{2} \\[6pt]
& \frac{1}{4} c + \frac{1}{2} d = \frac{1}{6} \\[6pt]
& \frac{1}{4} d = \frac{1}{24}
\end{cases}</math>
which solved gives <math>a = \frac{1}{6}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{3}, d = \frac{1}{6}</math> as stated above.
 
==See also==
*[[Dynamic errors of numerical methods of ODE discretization]]
*[[Euler's method]]
*[[List of Runge–Kutta methods]]
*[[Numerical ordinary differential equations]]
*[[Runge–Kutta method (SDE)]]
 
==Notes==
{{reflist|2}}
 
==References==
* {{Citation | last1=Ascher | first1=Uri M. | last2=Petzold | first2=Linda R. | title=Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] | location=Philadelphia | isbn=978-0-89871-412-8 | year=1998}}.
* {{Citation | last1=Atkinson | first1=Kendall A. | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-471-50023-0 | year=1989}}.
* {{Citation| last1 = Butcher | first1 = John C. | author1-link=John C. Butcher | title="Coefficients for the study of Runge-Kutta integration processes" | url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=4922056 | doi=10.1017/S1446788700027932 | volume=3 | issue=2 |date=May 1963 | pages=185-201}}.
*{{Citation | last1=Butcher | first1=John C. | author1-link=John C. Butcher | title= A stability property of implicit Runge-Kutta methods| year=1975 |journal= BIT| volume= 15 |pages= 358–361}}.
* {{Citation | last1=Butcher | first1=John C. | author1-link=John C. Butcher | title=Numerical Methods for Ordinary Differential Equations | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | isbn=978-0-471-96758-3 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Cellier | first1=F. | last2=Kofman | first2=E. | title=Continuous System Simulation | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=0-387-26102-8 | year=2006}}.
* {{Citation | last1=Dahlquist | first1=Germund | author1-link=Germund Dahlquist | title=A special stability problem for linear multistep methods | doi=10.1007/BF01963532 | year=1963 | journal=BIT | issn=0006-3835 | volume=3 | pages=27–43}}.
* {{Citation | last1=Forsythe | first1=George E. | last2=Malcolm | first2=Michael A. | last3=Moler | first3=Cleve B. | title=Computer Methods for Mathematical Computations | publisher=[[Prentice-Hall]] | year = 1977}} (see Chapter 6).
* {{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Nørsett | first2=Syvert Paul | last3=Wanner | first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | year=1993}}.
* {{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Wanner | first2=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | isbn=978-3-540-60452-5 | year=1996}}.
* {{Citation | last1=Iserles | first1=Arieh | author1-link=Arieh Iserles | title=A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55655-2 | year=1996}}.
*{{Citation|last1=Lambert|first1=J.D| title=Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. The Initial Value Problem | publisher=[[John Wiley & Sons]]|year=1991 | isbn=0-471-92990-5}}
*{{Citation | last1=Kaw | first1=Autar | last2=Kalu | first2=Egwu | title=Numerical Methods with Applications | url=http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/textbook_index.html | publisher=autarkaw.com | edition=1st | year = 2008}}.
*{{Citation | last1=Kutta | first1=Martin Wilhelm | author1-link=Martin Wilhelm Kutta | title=Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen | journal=Zeitschrift für Mathematik und Physik | volume=46 | pages=435­–453 | year=1901}}.
* {{Citation | last1=Press | first1=William H. | last2=Flannery | first2=Brian P. | last3=Teukolsky | first3=Saul A. | author3-link=Saul Teukolsky | last4=Vetterling | first4=William T. | title=[[Numerical Recipes|Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing]] | chapter=Section 17.1 Runge-Kutta Method | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=907 | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=3rd | isbn=978-0-521-88068-8 | year=2007}}. Also, [http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=910 Section 17.2. Adaptive Stepsize Control for Runge-Kutta].
* {{Citation | last1=Stoer | first1=Josef | last2=Bulirsch | first2=Roland | title=Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-95452-3 | year=2002}}.
* {{Citation | last1=Süli | first1=Endre | last2=Mayers | first2=David | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-00794-1 | year=2003}}.
* {{Citation | last1=Tan | first1=Delin | last2=Chen | first2=Zheng | title=On A General Formula of Fourth Order Runge-Kutta Method | url=http://msme.us/2012-2-1.pdf | journal=Journal of Mathematical Science & Mathematics Education | volume=7.2 |pages = 1-10 |year = 2012}}.
 
==External links==
* {{springer|title=Runge-Kutta method|id=p/r082810}}
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/runge_kutta_4th_method.html Runge–Kutta 4th-Order Method]
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/RungeKuttaMod.html Runge Kutta Method for O.D.E.'s]
* [http://www.dotnumerics.com/NumericalLibraries/DifferentialEquations/ DotNumerics: Ordinary Differential Equations for C# and VB.NET] &mdash; Initial-value problem for nonstiff and stiff ordinary differential equations (explicit Runge–Kutta, implicit Runge–Kutta, Gear's BDF and Adams–Moulton).
* [http://gafferongames.com/game-physics/integration-basics/ GafferOnGames] &mdash; A physics resource for computer programmers
* [[PottersWheel]] &mdash; Parameter calibration in ODE systems using implicit Runge–Kutta integration
 
{{Numerical integrators}}
 
{{DEFAULTSORT:Runge-Kutta Methods}}
[[Category:Numerical differential equations]]
[[Category:Runge–Kutta methods]]

Latest revision as of 21:23, 1 June 2014

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