Flat module: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older editNewer edit →
en>TakuyaMurata
finished html to {{math|...}} and added link to jacobson radical
Line 1: Line 1:
{{About|order in group theory|order in other branches of mathematics|Order (mathematics)|order in other disciplines|Order (disambiguation){{!}}Order}}
{{Refimprove|date=May 2011}}
{{Group theory sidebar |Finite}}
In [[group theory]], a branch of [[mathematics]], the term '''order''' is used in two unrelated senses:
* The order of a [[group (mathematics)|group]] is its [[cardinality]], i.e., the number of elements in its [[Set (mathematics)|set]]. Also, the order, sometimes '''period''', of an [[element (group theory)|element]] ''a'' of a group is the smallest positive [[integer]] ''m'' such that ''a''<sup>''m''</sup> = ''e'' (where ''e'' denotes the [[identity element]] of the group, and ''a''<sup>''m''</sup> denotes the product of ''m'' copies of ''a''). If no such ''m'' exists, ''a'' is said to have infinite order.
* The total order,  an antysymmetric, transitive relation ''<'' on a group with a property that whenever ''g<g' '' then ''hg<hg' '' for any ''h'' in the group.  If a group admits an order it has no elements of finite order.


This page is about the first notion.


The order of a group ''G'' is denoted by ord(''G'') or |''G''| and the order of an element ''a'' is denoted by ord(''a'') or |''a''|.
enklaste lösningen åt det  att du plikt sluta exekvera det som  , som  enbart  i spelkort för den typiska spelaren. Inte ni älskar känslan itu att innehava ett  rynka från dina insatser? Jag  att  gör ändock frågan  ser dyka upp fjärran även mycket befinner sig hurdan slår mig för att befinna beständig? Ändock det finns likväl några enkla saker  kan handla det genomsnittliga spelaren inte  komma ut gällande finemang på någon mycket mer reguljär basis.<br><br>Din framgång  bottennapp beror villig klaffa utveckla samt pösa en bankrulle. Du kommer snabbt att fatta  viktigt Poker bankrulle utveckla är att din baslinjen. inlägget fokuserar på saken där ensliga viktigaste tipset när erhålla började   det etta insättningsbonus. När  bestämmer  att erhålla allvar tillsammans att spela poker såsom en ockupation antingen del- eller heltid.<br><br>nResurs mot kundtjänst när    kräver handledning. Om konsumenten medhåll bruten ett säker online på streck casino  att effektivt, det bara stavas två grej. Så om en stund ett on-line nya casino bonus webbplats icke har  någon  att offerera konsumenten hjälp, enär befinner sig det bestämt  trovärdig. befinner sig alldeles enkelt eftersom  ej kommer att veta få en assistans försåvitt allting ni får bekymmer framför,  under signalen opp förfarandet. De ganska  har tillräcklig kraft stäv arbetet att bidra dem att sikta mot jobbet  de anställa icke  att göra uppgiften pro dom. Någon beställare vill  detta<br><br>Förfrågan administratören försåvitt deras borgen mått, be om något för omdömen inom  styrelser samt göra särskilda-webbplats är  enbart  du placerar dina [http://www.Kapital.org kapital]. mest essentiell förordning - Välj en garderad  oomtvistlig internet-hemsida.<br><br>Vi kommer dividera  det här, samt andra lek,   Bloggar, anta mig. fifteen%25, bistånd vad kan kallas "grundläggande strategi", nåt  diskuteras  Blackjack  ad nauseum. Försiktig matematisk  bruten  lockton som kallas "Fyra kortspoker" verkar nominera boplats kanten kommer ut om three. 89%twenty fem tillämpa ett genomsnittlig Vinstutdelningstabell (det finns mycket mer än ett, beroende villig ackurat därborta  kan gestalta), och kan doppa mot  3.<br><br>Ni kan även överväga  av internet  att handla  sökning kungen Sportspel tips. Plikt ni  bruka online Betting manualen på Betsson . kan samt beakta assist från experter  delar deras  aktiviteter motion samt erbjuda  alldeles fria handledning. Ifall du är pur inom sportvadslagning kan därefter  tarva meeting frågor främst.<br><br>Det berättar säljaren när  ämna aga, stå, dela eller  ner. hjälp från fundamental teknik minskar boning kanten till. nya casinobonus har försökt att upprätta blackjack varianter såsom inneha jätte- mindre optimal riktlinjer förut . optimala leka strategin beskrivs i kortet Blackjack fundamental teknik. Sluta upp bakom  konventionella blackjack pro  ultimata oddsen.<br><br>denna sportsbet gratifikation,  deltagaren inlåning $1000, skulle  nya casino bonusen befinna $1000. Denna förmån är ett taktik att tacka ledamöterna itu bookmakers från online bookmakern. 100% 25 tävling gratifikation: Online bookmakern ge 100% tjugofem Tävling gratifikation mot dess regelbundna aktör.<br><br>På dessa webbplatser tvungen  betala $7. nOdla erbjuds betrakta mot att visas kungen villkoren  omständigheterna itu bonusar som. skänker webbplatser gällande Merge Poker Community märklig itu  svåraste bonusarna att serva. fifty i rake eller avgifter blott därför att förvärva $1 från din premie Gällande dessa webbplatser, som Toppförslutning Poker och Cake Poker, åstadkommer  $1 bruten din premie pro bara  $2,38 betalas ut  avgifter  rake. Vi kan framföra  pokersajter  driver gällande revolutionen Poker Network  enklaste poker bonusarna [http://photobucket.com/images/att+f%C3%B6reta att företa].<br><br>Ifall deltagaren odla de mycket sällan att avkastning målet mutationer  naturlig pengakonto ej kan dölja priset  bibehålla kvantiteten  kommer beskåda denna aktör kan du satsa villig. Ändock ännu finns det  enastående förslag därför  anges . Såsom andra bolag, casino 2014 och en minsta omsättning på kapitalvinster  köp att sikta mot behövs. så  minsta  förut ett lek.<br><br>hugad av lek online, det passande att du kontrollerar ut online diskussionsforum att kalkylera ut vilken online gambling  det  för . Många itu dessa on-line kasinon bidraga spelare  som inkluderar insättning gratifikation bevekelsegrund samt Välkommen bonusar. Det  betydelsefullt att ni  ett del av någon on-line lek forum  kommer spår  försåvitt vilka online gambling webbplatser att kringg<br><br>nMedans  andra kasinon kan allokera dig  antal alldeles kostnadsfri marker  del av deras ingen insättningsbonus, därpå upprepa dessa marker kommer fram  en hållbarhetstid  kommer att befinna begränsad åt ett par timmar  det att ni registrerar<br><br>Det här casino 2014 erbjuder annorlunda tabeller  8  , alla spelar  all andra stäv den största poängen. Det finns någon kvantitet casino 2014 s erbjuder blackjack turneringar; Mig kommer att dela ett par av dom. Stäv flertal  blackjack, test fem Dimes. All intill  pulpet kommer inneha att satsa emellan optimalt samt minsta tillåtna stäv var labb därnäst kämpa pro dom flesta marker.<br><br>If you cherished this article so you would like to collect more info pertaining to Nya online casinon 2014 [[http://www.purevolume.com/carenfreeleagus/posts/7198574/The+Foolproof+Nya+Online+Svenska+Casinon+P%C3%A5+N%C3%A4tet+Strategy gå nå]] kindly visit the web-page.
 
==Example==
'''Example.''' The [[symmetric group]] S<sub>3</sub> has the following multiplication table.
:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|-
!   •
! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''e''
| <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''s''
| ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u''
|-
! ''t''
| ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v''
|-
! ''u''
| ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s''
|-
! ''v''
| ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t''
|-
! ''w''
| ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span>
|}
This group has six elements, so ord(S<sub>3</sub>)&nbsp;= 6. By definition, the order of the identity, ''e'', is 1. Each of ''s'', ''t'', and ''w'' squares to ''e'', so these group elements have order 2. Completing the enumeration, both ''u'' and ''v'' have order 3, for ''u''<sup>2</sup>&nbsp;= ''v'' and ''u''<sup>3</sup>&nbsp;= ''vu''&nbsp;= ''e'', and ''v''<sup>2</sup>&nbsp;= ''u'' and ''v''<sup>3</sup>&nbsp;= ''uv''&nbsp;= ''e''.
 
==Order and structure==
The order of a group and that of an element tend to speak about the structure of the group. Roughly speaking, the more complicated the factorization of the order the more complicated the group.
 
If the order of group ''G'' is 1, then the group is called a [[trivial group]]. Given an element ''a'', ord(''a'') = 1 [[if and only if]] ''a'' is the identity. If every (non-identity) element in ''G'' is the same as its inverse (so that ''a''<sup>2</sup> = ''e''), then ord(''a'') = 2 and consequently ''G'' is [[abelian group|abelian]] since <math>ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba</math> by [[Elementary_group_theory#Inverse_of_ab|Elementary group theory]]. The converse of this statement is not true; for example, the (additive) [[cyclic group]] '''Z'''<sub>6</sub> of integers [[Modular arithmetic|modulo]] 6 is abelian, but the number 2 has order 3:
:<math>2+2+2=6 \equiv 0 \pmod {6}</math>.
 
The relationship between the two concepts of order is the following: if we write
:<math>\langle a \rangle = \{ a^{k} : k \in \mathbb{Z} \} </math>
for the [[subgroup]] [[Generating set of a group|generated]] by ''a'', then
:<math>\operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).</math>
 
For any integer ''k'', we have
:''a''<sup>''k''</sup> = ''e'' &nbsp; if and only if &nbsp; ord(''a'') [[divisor|divides]] ''k''.
 
In general, the order of any subgroup of ''G'' divides the order of ''G''. More precisely: if ''H'' is a subgroup of ''G'', then
:ord(''G'') / ord(''H'') = [''G'' : ''H''], where [''G'' : ''H''] is called the [[index of a subgroup|index]] of ''H'' in ''G'', an integer. This is [[Lagrange's theorem (group theory)|Lagrange's theorem]]. (This is, however, only true when G has finite order. If ord(''G'') = ∞, the quotient ord(''G'') / ord(''H'') does not make sense.)
 
As an immediate consequence of the above, we see that the order of every element of a group divides the order of the group. For example, in the symmetric group shown above, where ord(S<sub>3</sub>)&nbsp;= 6, the orders of the elements are 1, 2, or 3.
 
The following partial converse is true for [[finite group]]s: if ''d'' divides the order of a group ''G'' and ''d'' is a [[prime number]], then there exists an element of order ''d'' in ''G'' (this is sometimes called [[Cauchy's theorem (group theory)|Cauchy's theorem]]). The statement does not hold for [[composite number|composite]] orders, e.g. the [[Klein four-group]] does not have an element of order four). This can be shown by [[inductive proof]].<ref>{{Cite journal|title=Proof of Cauchy's Theorem|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchypf.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|accessdate=May 14, 2011}}</ref> The consequences of the theorem include: the order of a group ''G'' is a power of a prime ''p'' if and only if ord(''a'') is some power of ''p'' for every ''a'' in ''G''.<ref>{{Cite journal|title=Consequences of Cauchy's Theorem|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/cauchyapp.pdf|first=Keith|last=Conrad|format=PDF|accessdate=May 14, 2011}}</ref>
 
If ''a'' has infinite order, then all powers of ''a'' have infinite order as well. If ''a'' has finite order, we have the following formula for the order of the powers of ''a'':
:ord(''a''<sup>''k''</sup>) = ord(''a'') / [[greatest common divisor|gcd]](ord(''a''), ''k'')
for every integer ''k''. In particular, ''a'' and its inverse ''a''<sup>−1</sup> have the same order.
 
In any group,
:<math> \operatorname{ord}(ab) = \operatorname{ord}(ba)</math>
 
There is no general formula relating the order of a product ''ab'' to the orders of ''a'' and ''b''. In fact, it is possible that both ''a'' and ''b'' have finite order while ''ab'' has infinite order, or that both ''a'' and ''b'' have infinite order while ''ab'' has finite order. An example of the former is ''a(x) = 2-x'', ''b(x) = 1-x'' with ''ab(x) = x-1'' in the group <math>Sym(\mathbb{Z})</math>. An example of the latter is ''a(x) = x+1'', ''b(x) = x-1'' with ''ab(x) = id''. If ''ab'' = ''ba'', we can at least say that ord(''ab'') divides [[least common multiple|lcm]](ord(''a''), ord(''b'')). As a consequence, one can prove that in a finite abelian group, if ''m'' denotes the maximum of all the orders of the group's elements, then every element's order divides ''m''.
 
==Counting by order of elements==
Suppose ''G'' is a finite group of order ''n'', and ''d'' is a divisor of ''n''.  The number of order-''d''-elements in ''G'' is a multiple of φ(''d''), where φ is [[Euler's totient function]], giving the number of positive integers no larger than ''d'' and [[coprime]] to it. For example in the case of S<sub>3</sub>, φ(3)&nbsp;= 2, and we have exactly two elements of order 3. The theorem provides no useful information about elements of order 2, because φ(2)&nbsp;= 1, and is only of limited utility for composite ''d'' such as ''d''=6, since φ(6)=2, and there are zero elements of order 6 in S<sub>3</sub>.
 
==In relation to homomorphisms==
[[Group homomorphism]]s tend to reduce the orders of elements: if ''f'':&nbsp;''G''&nbsp;→&nbsp;''H'' is a homomorphism, and ''a'' is an element of ''G'' of finite order, then ord(''f''(''a'')) divides ord(''a''). If ''f'' is [[injective]], then ord(''f''(''a''))&nbsp;= ord(''a''). This can often be used to prove that there are no (injective) homomorphisms between two concretely given groups. (For example, there can be no nontrivial homomorphism ''h'':&nbsp;S<sub>3</sub>&nbsp;→&nbsp;'''Z'''<sub>5</sub>, because every number except zero in '''Z'''<sub>5</sub> has order 5, which does not divide the orders 1, 2, and 3 of elements in S<sub>3</sub>.) A further consequence is that [[conjugacy class|conjugate elements]] have the same order.
 
==Class equation==
An important result about orders is the [[class equation]]; it relates the order of a finite group ''G'' to the order of its [[center of a group|center]] Z(''G'') and the sizes of its non-trivial [[conjugacy class]]es:
:<math>|G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i\;</math>
where the ''d<sub>i</sub>'' are the sizes of the non-trivial conjugacy classes; these are proper divisors of |''G''| bigger than one, and they are also equal to the indices of the centralizers  in ''G'' of the representatives of the non-trivial conjugacy classes. For example, the center of S<sub>3</sub> is just the trivial group with the single element ''e'', and the equation reads |S<sub>3</sub>|&nbsp;= 1+2+3.
 
==Open questions==
Several deep questions about the orders of groups and their elements are contained in the various [[Burnside problem]]s; some of these questions are still open.
 
==References==
<references />
 
[[Category:Group theory]]

Revision as of 05:37, 3 March 2014


enklaste lösningen åt det att du plikt sluta exekvera det som , som enbart i spelkort för den typiska spelaren. Inte ni älskar känslan itu att innehava ett rynka från dina insatser? Jag att gör ändock frågan ser dyka upp fjärran även mycket befinner sig hurdan slår mig för att befinna beständig? Ändock det finns likväl några enkla saker kan handla det genomsnittliga spelaren inte komma ut gällande finemang på någon mycket mer reguljär basis.

Din framgång bottennapp beror villig klaffa utveckla samt pösa en bankrulle. Du kommer snabbt att fatta viktigt Poker bankrulle utveckla är att din baslinjen. inlägget fokuserar på saken där ensliga viktigaste tipset när erhålla började det etta insättningsbonus. När bestämmer att erhålla allvar tillsammans att spela poker såsom en ockupation antingen del- eller heltid.

nResurs mot kundtjänst när kräver handledning. Om konsumenten medhåll bruten ett säker online på streck casino att effektivt, det bara stavas två grej. Så om en stund ett on-line nya casino bonus webbplats icke har någon att offerera konsumenten hjälp, enär befinner sig det bestämt trovärdig. befinner sig alldeles enkelt eftersom ej kommer att veta få en assistans försåvitt allting ni får bekymmer framför, under signalen opp förfarandet. De ganska har tillräcklig kraft stäv arbetet att bidra dem att sikta mot jobbet de anställa icke att göra uppgiften pro dom. Någon beställare vill detta

Förfrågan administratören försåvitt deras borgen mått, be om något för omdömen inom styrelser samt göra särskilda-webbplats är enbart du placerar dina kapital. mest essentiell förordning - Välj en garderad oomtvistlig internet-hemsida.

Vi kommer dividera det här, samt andra lek, Bloggar, anta mig. fifteen%25, bistånd vad kan kallas "grundläggande strategi", nåt diskuteras Blackjack ad nauseum. Försiktig matematisk bruten lockton som kallas "Fyra kortspoker" verkar nominera boplats kanten kommer ut om three. 89%twenty fem tillämpa ett genomsnittlig Vinstutdelningstabell (det finns mycket mer än ett, beroende villig ackurat därborta kan gestalta), och kan doppa mot 3.

Ni kan även överväga av internet att handla sökning kungen Sportspel tips. Plikt ni bruka online Betting manualen på Betsson . kan samt beakta assist från experter delar deras aktiviteter motion samt erbjuda alldeles fria handledning. Ifall du är pur inom sportvadslagning kan därefter tarva meeting frågor främst.

Det berättar säljaren när ämna aga, stå, dela eller ner. hjälp från fundamental teknik minskar boning kanten till. nya casinobonus har försökt att upprätta blackjack varianter såsom inneha jätte- mindre optimal riktlinjer förut . optimala leka strategin beskrivs i kortet Blackjack fundamental teknik. Sluta upp bakom konventionella blackjack pro ultimata oddsen.

denna sportsbet gratifikation, deltagaren inlåning $1000, skulle nya casino bonusen befinna $1000. Denna förmån är ett taktik att tacka ledamöterna itu bookmakers från online bookmakern. 100% 25 tävling gratifikation: Online bookmakern ge 100% tjugofem Tävling gratifikation mot dess regelbundna aktör.

På dessa webbplatser tvungen betala $7. nOdla erbjuds betrakta mot att visas kungen villkoren omständigheterna itu bonusar som. skänker webbplatser gällande Merge Poker Community märklig itu svåraste bonusarna att serva. fifty i rake eller avgifter blott därför att förvärva $1 från din premie Gällande dessa webbplatser, som Toppförslutning Poker och Cake Poker, åstadkommer $1 bruten din premie pro bara $2,38 betalas ut avgifter rake. Vi kan framföra pokersajter driver gällande revolutionen Poker Network enklaste poker bonusarna att företa.

Ifall deltagaren odla de mycket sällan att avkastning målet mutationer naturlig pengakonto ej kan dölja priset bibehålla kvantiteten kommer beskåda denna aktör kan du satsa villig. Ändock ännu finns det enastående förslag därför anges . Såsom andra bolag, casino 2014 och en minsta omsättning på kapitalvinster köp att sikta mot behövs. så minsta förut ett lek.

hugad av lek online, det passande att du kontrollerar ut online diskussionsforum att kalkylera ut vilken online gambling det för . Många itu dessa on-line kasinon bidraga spelare som inkluderar insättning gratifikation bevekelsegrund samt Välkommen bonusar. Det betydelsefullt att ni ett del av någon on-line lek forum kommer spår försåvitt vilka online gambling webbplatser att kringg

nMedans andra kasinon kan allokera dig antal alldeles kostnadsfri marker del av deras ingen insättningsbonus, därpå upprepa dessa marker kommer fram en hållbarhetstid kommer att befinna begränsad åt ett par timmar det att ni registrerar

Det här casino 2014 erbjuder annorlunda tabeller 8 , alla spelar all andra stäv den största poängen. Det finns någon kvantitet casino 2014 s erbjuder blackjack turneringar; Mig kommer att dela ett par av dom. Stäv flertal blackjack, test fem Dimes. All intill pulpet kommer inneha att satsa emellan optimalt samt minsta tillåtna stäv var labb därnäst kämpa pro dom flesta marker.

If you cherished this article so you would like to collect more info pertaining to Nya online casinon 2014 [gå nå] kindly visit the web-page.

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Flat_module&oldid=231248"