Integral domain: Difference between revisions

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{{Redirect|Prime decomposition|the prime decomposition theorem for 3-manifolds|Prime decomposition (3-manifold)}}
== Nun Mbt Switzerland ==
{{unsolved|computer science|Can integer factorization be done in polynomial time?}}
In [[number theory]], '''integer factorization''' or '''prime factorization''' is the decomposition of a [[composite number]] into smaller non-trivial [[divisor]]s, which when multiplied together equal the original integer.


When the numbers are very large, no efficient, non-quantum integer [[factorization]] [[algorithm]] is known; an effort by several researchers concluded in 2009, factoring a 232-digit number ([[RSA-768]]), utilizing hundreds of machines over a span of 2 years.<ref name=rsa768>{{cite journal
Schließlich wollten Sie, dass alte Kiste, um Ihr Kind sowieso geben, sobald sie alt genug sind zu fahren. Ich denke, [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=23-Mbt-Switzerland Mbt Switzerland] sie müssen nur ein neues Auto, die natürlich Tausende kosten mehr, als wenn Sie den Kühler befestigt und hielt das alte Auto auf der Straße für [http://www.maennerchor-therwil.ch/images/gelterkinden/deco/banner.asp?f=96-Nike-Free-3.0-V5 Nike Free 3.0 V5] ein paar Jahre zu kaufen. Die Aussichten für das nächste Jahr ist nicht gut. <br><br>Soweit in dieser Datenschutzerklärung offengelegt, werden wir die Informationen, die Sie uns nur für den Zweck der Beantwortung Ihrer Anfrage oder im Zusammenhang mit dem Dienst, für den Sie diese Informationen zu verwenden. Wir können Ihre Kontaktinformationen und Anfrage an unsere Partner weiterzuleiten und andere Bereiche unseres Unternehmens, die wir fühlen, kann am besten richten Sie Ihre Anfrage oder versorgen Sie mit den angeforderten Dienst. Wir können die Informationen, die Sie in aggregierter Form zu verwenden für interne Geschäftszwecke, wie das Erzeugen von Statistiken und die Entwicklung von Marketingplänen. <br><br>Kurz-bis mittelfristig ist es wahrscheinlich, dass es Druck auf die Konsumausgaben sein. Die Zinsen haben damit begonnen, zu steigen, während Preissteigerungen sind auch immer in der Lebensmittel-und Energiemärkten deutlicher. Dies wird sich negativ auf Märkten wie Schmuck und Uhren. <br><br>"Ihre Leistung bewegt sich von absoluter Reinheit und so leise wie Luft zum kreischenden Dissonanzen manchmal im selben Song. Newsom Rekord zu überprüfen in diesem Jahr (das Album wurde offiziell letzten Monat veröffentlicht, glaube ich). Habe ich in der Liebe mit ihrer Musik gefallen so tief in den letzten drei Monaten, dass ich kaum noch auf sie hören, ohne zu Tränen gerührt. <br><br>Der Schläger hat einen großen Sweetspot und viel "Pop". Leicht der Fledermaus ermöglicht viel Fledermaus Geschwindigkeit. Bisher hat die Fledermaus sich gut gehalten. Überzeugend, dass jemand sie haben ein Bedürfnis ist teuer. , Überzeugen, jemanden, der bereits eine Notwendigkeit, dass Ihr Produkt oder [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=15-Michael-Kors-Schweiz-Bestellen Michael Kors Schweiz Bestellen] Ihre Dienstleistung oder MLM-Unternehmen ist besser als die Konkurrenz ist jedoch eine viel billigere Übung. Warum? Nun, die potenziellen Käufer bereits ihren eigenen Bedarf qualifiziert, sie haben sich bereits davon überzeugt, dass ihre Bedürfnisse erfüllt werden können. [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=46-New-Balance-Damen-Amazon New Balance Damen Amazon] <br><br>Aber, wir sind so froh, dass wir die Entscheidung getroffen. Ich wirklich noch nie ein Kind der Liebe Staubbeutel mehr in meinem ganzen Leben gesehen habe. Es ist einfach herzerwärmend. Die Netto-Internet-Seite will in in den verschiedenen Versionen und Upgrades einer genauen exakt gleichen Browser zugegriffen einzuschalten. Ladezeit im Netz Website muss schnell sein. Es sollte jeder ernst Defekten Link innerhalb des World Wide Web Website und Einrichtung nicht für die Navigation muss einfach sein können..<ul>
| url = http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf
 
| title = Factorization of a 768-bit RSA modulus
  <li>[http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3 http://netburst.org/index.php?site=polls&pollID=3]</li>
| author = Kleinjung, et al
 
| publisher = [[International Association for Cryptologic Research]]
  <li>[http://d.smartinfohk.com/house/home.php?mod=space&uid=313864&do=blog&quickforward=1&id=13150345 http://d.smartinfohk.com/house/home.php?mod=space&uid=313864&do=blog&quickforward=1&id=13150345]</li>
| date = 2010-02-18
 
| accessdate = 2010-08-09
  <li>[http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article8 http://www.observatoiredesreligions.fr/spip.php?article8]</li>
}}</ref> The presumed difficulty of this problem is at the heart of widely used algorithms in [[cryptography]] such as [[RSA (algorithm)|RSA]]. Many areas of [[mathematics]] and [[computer science]] have been brought to bear on the problem, including [[elliptic curves]], [[algebraic number theory]], and [[quantum computer|quantum computing]].
 
  <li>[http://www.zs58tc.com/news/html/?65709.html http://www.zs58tc.com/news/html/?65709.html]</li>
 
</ul>


Not all numbers of a given length are equally hard to factor. The hardest instances of these problems (for currently known techniques) are [[semiprime]]s, the product of two [[prime number]]s. When they are both large, for instance more than 2000 [[bit]]s long, randomly chosen, and about the same size (but not too close, e.g. to avoid efficient factorization by [[Fermat's factorization method]]), even the fastest prime factorization algorithms on the fastest computers can take enough time to make the search impractical; that is, as the number of digits of the primes being factored increases, the number of operations required to perform the factorization on any computer increases drastically.
== nicht überzeugend Prozess. Er New Balance Schuhe Zürich ==


Many cryptographic protocols are based on the difficulty of factoring large composite integers or a related problem—for example, the [[RSA problem]]. An algorithm that efficiently factors an arbitrary integer would render [[RSA (algorithm)|RSA]]-based [[public-key]] cryptography insecure.
Nur zwei Spiele [http://www.blockhouse.ch/thesheriff/Collagen/thumbnails/menu.asp?n=79-New-Balance-Schuhe-Zürich New Balance Schuhe Zürich] sind am Donnerstag Zeitplan für die College-Football-Fans und beide sind Konferenz Matchups. Im Süden wird die Auburn Tigers an der Straße auf der Suche nach einer SEC-Sieg [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=61-Beats-By-Dr-Dre-Zürich Beats By Dr Dre Zürich] gegen Mississippi State zu nehmen. Im Norden die Temple Owls wird sich auf die Verteidigung der MAC-Champions aus Central Michigan zu Hause einnehmen. <br><br>"The National BMX Hall of Fame im Jahr 1985 als gegründet" ABA BMX Hall of Fame, "hat eine Mission, die Sportart BMX, indem künftige Generationen erinnern sich an die Champions, Helden und thoughtleaders, die den Sport über Geschichte geprägt weiter etabliert. Die Hall of Fame hat derzeit 90 Rekruten für die Jahre 19852009, und fühlt sich geehrt, die willkommen sechs in der Klasse von 2010. " (National BMX Hall of Fame) Ein anderes Ereignis voran die Hall of Fame-Zeremonie ist die UCI BMX Supercross-Weltmeisterschaft im Olympiatrainingszentrum in Chula Vista, Kalifornien. <br><br>Blau Komplimente braune Augen, indem sie die Farbe und hilft, Ihr Gesicht zu verbessern und erhellen Ihre Augenfarbe. Der Schirm muss nicht stark zu sein; dezent und natürlich am besten ist. Beachten Sie, dass Lidschatten ist es, Ihre Funktionen zu verbessern und nicht zu them.A billig und einfach zu reinigen Ihre Wanne ist mit einem Küchenschwamm funktioniert genauso gut im Bad zu überwältigen.. <br><br>Es ist nicht kaltblütig, aber es ist die Realität der Situation. Marketing, egal ob online oder offline, ist eine Sortierung, nicht überzeugend Prozess. Er, der die besten sortiert ist der Gewinner! Eine systematische Vorgehensweise ist KING zu diesem Prozess des Sortierens. <br><br>Sie müssen nicht in eine feste Routine mit Tanz zu bekommen, wie Sie können mit anderen Formen von Aerobic-Übung. Sie werden es nicht brauchen, um eine große Investition in Aerobic-Tanz zu beginnen. Gute Schuhe, gute Musik, ein wenig Platz, um in Training und [http://www.riccicabanas.com/includes/client.asp?k=89-Oakley-Frogskin-Fake Oakley Frogskin Fake] vielleicht ein Aerobic-Tanz-Video oder DVD. <br><br>"Und äh, ich sagte Luke, sagte ich," und hier Armstrong machte eine lange Zeit, [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=7-Mbt-Händler Mbt Händler] um sich zu sammeln ", sagte ich," Sie mich nicht mehr verteidigen. Nicht. " "Er sagte OK. Alle drei waren im Jahr 2011 unter einer milden Facelift, inspiriert von der stilvollen Audi A6 mit dem neuen Scheinwerfer und Kühlergrill überarbeitet. Es packt die ganze Qualität, die Sie von einem Audi erwartet, mit einer Reihe von schnellen, aber sparsame Benzin-und Dieselmotoren. Das Highlight der Serie ist der leistungsstarke 3.0 TDI quattro, der 060 Stundenmeilen in nur 5,8 Sekunden schafft noch fast 50mpg zu tun.<ul>
 
  <li>[http://www.cuargmx.com/forum.php?mod=viewthread&tid=283898 http://www.cuargmx.com/forum.php?mod=viewthread&tid=283898]</li>
 
  <li>[http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article87&lang=ru/ http://www.juegosetnicos.com.ar/spip.php?article87&lang=ru/]</li>
 
  <li>[http://huanxun9999.com/news/html/?68611.html http://huanxun9999.com/news/html/?68611.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18135686 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum18135686]</li>
 
</ul>


==Prime decomposition==
== Es dauerte eine Weile Beats Kopfhörer Preis ==
[[Image:PrimeDecompositionExample.svg|right|thumb|190px|This image demonstrates the prime decomposition of 864. A shorthand way of writing the resulting prime factors is 2<sup>5</sup> × 3<sup>3</sup>]]
By the [[fundamental theorem of arithmetic]], every positive integer has a unique prime factorization. (A special case for 1 is not needed using an appropriate notion of the [[empty product]].) However, the fundamental theorem of arithmetic gives no insight into how to obtain an integer's prime factorization; it only guarantees its existence.


Given a general algorithm for integer factorization, one can factor any integer down to its constituent [[prime factor]]s by repeated application of this algorithm. However, this is not the case with a special-purpose factorization algorithm, since it may not apply to the smaller factors that occur during decomposition, or may execute very slowly on these values. For example, if N is the number (2<sup>521</sup> − 1) × (2<sup>607</sup> − 1), then [[trial division]] will quickly factor 10 × N as 2 × 5 × N, but will not quickly factor N into its factors.
(bekannt, dass es CDN $ 375.000.000 von Senior Notes mit einem 5-jährigen Laufzeit mit einer Rate von 3,65% begeben. Vielen Dank für Ihren Beitrag. Zunächst müssen Sie ein Programm namens Tor (The Onion Router), die im Grunde öffnet das Tor in diese unauffindbar Internet im Internet, die der Dunkle Web herunterzuladen. Der Tor-Client ermöglicht es Ihnen, in einer virtuellen geheimes Versteck von Netzwerk von Servern auf der ganzen Welt gelegen Weiterleitung seiner Netzwerkverkehr durch, Prellen deine falschen Standort von einem Land zum nächsten verborgenen bleiben. <br><br>Es dauerte eine Weile, um in die Web-Oberfläche zu erhalten, um die Box neu starten. Eine sanfte Yoga-Kurs oder Sanierungs bedeutet kein Schweiß und viele Vorteile für die Bindung eine tiefere Verbindung zu bilden. Ich stellte die Frage und wurde gefragt, wie viel ich zahlen würde, ich wählte 13.00. UK Baugewerbe endlich wieder Wachstum im Mai [http://www.cattledog-kelpie.ch/infragistics/Images/Large/config.asp?b=73-Beats-Kopfhörer-Preis Beats Kopfhörer Preis] nach der monatlichen Befragung von Bau-Einkaufsmanager, nach sechs Monaten in Folge decline.May Daten zeigten eine moderate Erholung in beiden Leistungsstufen und Aufnahme der neuen Arbeit in der Baubranche in Großbritannien, vor allem gefahrenen durch Verbesserungen in der Wohngebäudebereich, der an seinem schnellsten Tempo seit mehr als zwei years.The saisonbereinigt Markit / CIPS UK Bau-Einkaufsmanager-Index erhöht (PMI) hat 50,8. <br><br>Die Menschen sorgen sich um die automatischen Abbuchungs und eft Weg aus Geschäftstätigkeit. Wissen, [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=88-Polo-Ralph-Lauren-Schuhe-Sale Polo Ralph Lauren Schuhe Sale] wie es funktioniert und die Stornobedingungen, bevor Sie sich beschweren. In einigen Fällen gibt es Unmengen an Informationen da draußen .. Ciao Vergleich Shopping-Site verbindet Testberichte und Bewertungen aus einer Online-Community, und die Preise von Online-Händlern. <br><br>Aber Plug-Ins werden nicht fangen, wenn das Haus [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=41-Michael-Kors-Hamilton-Mini Michael Kors Hamilton Mini] ist der einzige Ort Treiber laden kann. Durch die Ladestationen so allgegenwärtig wie Tankstellen heute sind, können Versorgungsunternehmen das Ende der benzinbetriebene Auto zu beschleunigen. Der 5870 hat ONE Dual-Link-DVI-Anschluss und zwei MDP ports.Of Natürlich müssen Sie nicht alle Adapter, wenn Sie nur mit einem DVI-Display und / oder MDP-Displays sind. (Die 5870 ( und 5770) DVI-Anschluss ist als Dual Link und native MDP geskilled hat hohe rez-Display-Unterstützung. <br><br>Genießen Sie! Diese Seite wurde aktualisiert 1 22 13 mit Bildern und Gewichte! Schwänzchen wackeln und wir bekommen viel Welpen Küsse, und genießen, was wir tun! "Versuchen Sie, ein paar Dollar zu [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=16-Mbt-Kaufen Mbt Kaufen] kaufen und dass besondere Begleiter, wird er oder sie sein, lohnt sich die Geld und Sie werden das Vergnügen, Entspannung, lieben, lachen und genießen dieses kleine für die kommenden Jahre haben. Machen Sie sie ein Teil Ihrer Familie, es macht uns länger leben und lachen lauter! Nichts besser dann mit einem kleinen Welpen in die Arme .<ul>
 
  <li>[http://www.pigbiz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=52253 http://www.pigbiz.net/forum.php?mod=viewthread&tid=52253]</li>
 
  <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1761/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1761/]</li>
 
  <li>[http://jz.791.com/news/html/?226541.html http://jz.791.com/news/html/?226541.html]</li>
 
  <li>[http://shanafanghua.imotor.com/viewthread.php?tid=34593&extra= http://shanafanghua.imotor.com/viewthread.php?tid=34593&extra=]</li>
 
</ul>


==Current state of the art==
== ob Sie lehnen Abercrombie London ==
{{See also|integer factorization records}}
The most difficult integers to factor in practice using existing algorithms are those that are products of two large primes of similar size, and for this reason these are the integers used in cryptographic applications. The largest such semiprime yet factored was [[RSA-768]], a 768-bit number with 232 decimal digits, on December 12, 2009.<ref name=rsa768 /> This factorization was a collaboration of several research institutions, spanning two years and taking the equivalent of almost 2000 years of computing on a single-core 2.2&nbsp;GHz [[Advanced Micro Devices|AMD]] [[Opteron]]. Like all recent factorization records, this factorization was completed with a highly optimized implementation of the [[general number field sieve]] run on hundreds of machines.


===Difficulty and complexity===
So ist es sehr angenehm zu tragen, auch barfuß. Frauen AF1 25 Schuhe sind must-haves für die Menschen in kalten Umgebungen auf. Andere Marken wie Prada, haben einfach nichts über ihre Bedeutung in Rap-Songs gehalten. Andere Unternehmen haben bei der Auswahl der Interpreten, mit denen sie enge Beziehungen zu bilden werde proaktiv. <br><br>Mittelklasse und obere Mittelklasse-Menschen kaufen mehr Fast Food, sie neigen auch dazu, mehr Autowasch Dienstleistungen zu erhalten und mehr Geld für Addons auch. Das Mittagessen war das Lieblingsgericht 57% der Kunden kam beim Mittagessen zurück im Jahr 2000. <br><br>So kann ich nicht an Alex fib, dass ich einige Supersportler. Er weiß genau, wie kurz und unflexibel ich bin. Ein weiterer wichtiger Aspekt beim Kauf von Fußballschuhen, ist der Kauf ein Paar, das an die Oberfläche, die Sie spielen geeignet ist. Für Kunstrasen wird Astro Turf Stiefel mit ihrer mehrfachen Gumminoppen geben Ihnen den besten Grip. <br><br>Damit verändern Stimmungen im Menschen hat die fantastische Nachfrage nach Schuhen zu kommen. Es ist wirklich sehr ungewöhnlich, dass ein Shop zu besuchen und entdecken Sie genau die gleiche Form der Schuh. Um zu starten, wählen Sie, ob Sie lehnen, [http://www.paint-point.ch/energy/inc/config.asp?a=93-Abercrombie-London Abercrombie London] Ton-oder stärken Sie Ihren Körper wollen, und nachdem Sie einen Fitness-und Agilität Test durchzuführen, erzeugt der Computer eine 4 Wochen Trainingsprogramm rund um Ihr Ziel konzipiert. Von hier aus überwacht die Technologie Ihre Fortschritte und Ihre Trainer korrigiert Ihre Form, sagen Sie zu verlangsamen, beschleunigen, strecken Sie das Bein, drehen Sie den Kopf oder halten [http://www.ferotech.ch/highslide/graphics/outlines/define.asp?r=38-Brillen-Ray-Ban-Zürich Brillen Ray Ban Zürich] die Füße still. <br><br>In 2002 haben die Anaheim Angels, von Disney gehört, und die Los Angeles Dodgers, von Rupert Murdoch gehört, trafen sich in der World Series. Jedes Team hatte eine Abrechnung von 250 Millionen Dollar. Wenn Sie eine Website die Sie gerne mit dem Anforderer teilen müssen, müssen Sie sie bitten, [http://www.studerkunststoffe.ch/script/style.asp?p=108-Ralph-Lauren-Schuhe-Damen-Sneaker Ralph Lauren Schuhe Damen Sneaker] Ihnen eine Notiz übergeben, wenn sie interessiert sind. Sie können NICHT geben sie eine Notiz für Ihr Unternehmen, wenn sie nicht ausdrücklich, sie möchten die Menschen, um ihnen einen Zettel mit ihrer Geschäftsverbindung übergeben. <br><br>John katholischen Kirche, 207 York, St., Bangor. Begräbnis wird am Mount Hope Cemetery, Bangor sein. Eine gültige South Carolina Angelschein ist in den Gebühren enthalten. Bringen Sie Ihre eigene Sonnenbrille, Sonnenhut, weich soleshoes und sunshirt. <br><br>Mit Neopren-gepolsterte Gurte, sichert die Sandale bequem, während das vorgeformte EVAfoot Unterstützung sorgt für Komfort und Sicherheit Ihres Kindes beim Gehen oder Laufen. Leicht zu reinigen, Spaß für die Kinder [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=15-Mbt-Shop Mbt Shop] auf sich selbst gestellt, diese Kleinkind Sandalen bieten Eltern eine gute Wahl.<ul>
If a large, ''b''-[[bit]] number is the product of two primes that are roughly the same size, then no [[algorithm]] has been published that can factor in [[polynomial time]], ''i.e.'', that can factor it in time [[Big O notation|O]](''b''<sup>''k''</sup>) for some constant ''k''. There are published algorithms that are faster than [[Big O notation|O]]((1+ε)<sup>''b''</sup>) for all positive ε, ''i.e.'', sub-exponential.
 
  <li>[http://111.11.181.205:8082/news/html/?54299.html http://111.11.181.205:8082/news/html/?54299.html]</li>
 
  <li>[http://www.stevenspink.com/blog/12-02-24/Pink_Moving_Truck_Starts_Making_Its_Way_Around_the_Country.aspx/ http://www.stevenspink.com/blog/12-02-24/Pink_Moving_Truck_Starts_Making_Its_Way_Around_the_Country.aspx/]</li>
 
  <li>[http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1379345 http://116.254.222.128/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1379345]</li>
 
  <li>[http://www.zpqqdg.com/news/html/?56041.html http://www.zpqqdg.com/news/html/?56041.html]</li>
 
</ul>


The best published asymptotic running time is for the [[general number field sieve]] (GNFS) algorithm, which, for a  ''b''-bit number n, is:
== Normen schwieriger geworden Hollister Store München ==


:<math>O\left(\exp\left(\left(\begin{matrix}\frac{64}{9}\end{matrix} b\right)^{1\over3} (\log b)^{2\over3}\right)\right).</math>
Mit über hundert Entwürfe sind keine Langarm Polos zu hart, um die perfekte Krawatte Spiel zu finden. Die Farben sind großartig, nur [http://www.buesser-metallbau.ch/about/section.asp?h=46-Hollister-Store-München Hollister Store München] der rechte lebendige und Eleganz zu befehlen angemessene Aufmerksamkeit. Renee, ein Verkaufsmanager bei Shiseido und ehemaliger Make-up-Künstler, hat sich in mein Haus gekommen, um mit mir zu arbeiten Wunder. Es gibt Tage, da kann ich nicht sagen, ob ich auf Make-up oder nicht, was für eine noncelebrity wie ich kann nicht eine gute Sache setzen. <br><br>Es ist der Tag nach der ersten Wahl, und Kohring ruft Smith, um über die Ergebnisse zu sprechen. Es ist ein trauriger Tag für staatliche Rep. Haben Sie schon einmal die Spielshow Minute, um es zu gewinnen beobachtet?? Wir lieben diese Show. Über Pause hatte meine ds ein paar Jungs schlafen vorbei. <br><br>MBT Schuhe sind Ihre gute Wahl, wenn Sie zu lange einer Zeit jeden Tag auf den Beinen sind. Einige Jobs wirklich brauchen, werden Sie im Stehen oder Gehen die gesamte Laufzeit pro Tag. Analysieren Sie die Notwendigkeit, die Laufschuhe zu kaufen, basierend auf der Anzahl von Meilen Ihr altes Paar hat auf sie. Ihren Bedarf für neue Schuhe stützen Sie sich nicht durch die Beobachtung, wie viel Lauffläche auf der Außensohle bleibt. <br><br>3. Strandtücher Nachricht von Target. Meine Freunde denken, ich bin unentschlossen, aber es nicht um mich, wie ich liebe alle Arten von Kaffee. "Wie viele Stereotypen, gibt es einige Elemente, die wahrscheinlich um sie zu starten koffeinhaltigen Kaffee waren gelegentlich wahr, wurde [http://www.riccicabanas.com/includes/client.asp?k=22-Oakley-Sonnenbrillen-Schweiz Oakley Sonnenbrillen Schweiz] vor kurzem in einer Studie vorgeschlagen Depression zu verhindern, wenn in Maßen getrunken, ist Sojamilch für Veganer, die zeichnen sich in der Gesellschaft für ihre Ernährung, und so weiter zu, da die Auswahl von Kaffee-Getränke weiterhin von Jahr zu Jahr wachsen, Normen schwieriger geworden, vor allem gelten, [http://www.leu-ruesi.ch/pages/inc/Guest.asp?n=26-Nike-Outlet-Schweiz Nike Outlet Schweiz] da die Menschen . <br><br>Präsentieren die größte Auswahl an Berufsschuhe über, Road Runner Sportaktivitäten wird es richtig. Die Herren Puma Voll Trailfox II ist ein Internet-exklusiven Titel für deutlich weniger als 1 Dollar hundred.00. Der Uhrenpreisschild in Indien speziell hochwertigen Marken-Uhren ist nicht etwas, was in der Erreichung von jedem Käufer. Die Aspen Uhren werden dieses Form nach für alle brechen. <br><br>Diese Auktion und Abendessen ist es, die Sprach-und Hörbehinderte Kinder von Alabama profitieren. Das Abendessen und die Auktion wird in Birmingham am Harbert Center. Durch eine breite Palette von mehrsprachigen Beratung AAFE bietet Bildung finanziellen Unterstützung und Ausbildung, um Menschen kleine Unternehmen und Nachbarschaften zu stärken. Seine Forschungsvertretung und Basisorganisation Initiativen helfen, die [http://www.ahoperating.ch/images/layout/fotorahmen/style.asp?m=86-Mbt-Shoes-Svizzera Mbt Shoes Svizzera] Regierungspolitik zu gestalten und um positive Veränderungen zu bewirken.<ul>
 
 
For an ordinary computer, GNFS is the best published algorithm for large ''n'' (more than about 100 digits). For a [[quantum computer]], however, [[Peter Shor]] discovered an algorithm in 1994 that solves it in polynomial time.  This will have significant implications for cryptography if a large quantum computer is ever built.  [[Shor's algorithm]] takes only O(''b''<sup>3</sup>) time and O(''b'') space on ''b''-bit number inputs. In 2001, the first seven-qubit quantum computer became the first to run Shor's algorithm. It factored the number 15.<ref>{{cite journal
  <li>[http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=22871&do=blog&quickforward=1&id=2066191 http://1.ts.cn/home.php?mod=space&uid=22871&do=blog&quickforward=1&id=2066191]</li>
| url = http://www.nature.com/nature/links/011220/011220-2.html
 
| title = NMR quantum computing: Realizing Shor's algorithm
  <li>[http://www.metransparent.net/spip.php?article2&lang=ar&id_forum=8554/ http://www.metransparent.net/spip.php?article2&lang=ar&id_forum=8554/]</li>
| publisher = [[Nature (journal)|Nature]]
 
| date = 2007-12-27
  <li>[http://www.fabzine.it/forum/maulbeere-ralph-lauren-poloshirt-slim-fit-t86932.html http://www.fabzine.it/forum/maulbeere-ralph-lauren-poloshirt-slim-fit-t86932.html]</li>
| accessdate = 2010-08-09
 
| author = LIEVEN M. K. VANDERSYPEN, et al
  <li>[http://scottalanciolek.com/Main_Page http://scottalanciolek.com/Main_Page]</li>
}}</ref>
 
 
</ul>
When discussing what [[complexity class]]es the integer factorization problem falls into, it's necessary to distinguish two slightly different versions of the problem:
 
* The [[function problem]] version: given an integer N, find an integer d with 1 < d < N that divides N (or conclude that N is prime). This problem is trivially in [[FNP (complexity)|FNP]] and it's not known whether it lies in [[FP (complexity)|FP]] or not. This is the version solved by most practical implementations.
* The [[decision problem]] version: given an integer N and an integer M with 1 ≤ M ≤ N, does N have a factor d with 1 < d < M? This version is useful because most well-studied complexity classes are defined as classes of decision problems, not function problems. This is a natural decision version of the problem, analogous to those frequently used for [[optimization problem]]s, because it can be combined with [[binary search]] to solve the function problem version in a logarithmic number of queries.
 
It is not known exactly which [[computational complexity theory|complexity classes]] contain the decision version of the integer factorization problem. It is known to be in both [[NP (complexity)|NP]] and [[co-NP]].  This is because both YES and NO answers can be verified in polynomial time given the prime factors (we can verify their primality using the [[AKS primality test]], and that their product is N by multiplication). The [[fundamental theorem of arithmetic]] guarantees that there is only one possible string that will be accepted (providing the factors are required to be listed in order), which shows that the problem is in both '''[[UP (complexity)|UP]]''' and '''co-UP'''.<ref>{{cite web
| author = Lance Fortnow
| title = Computational Complexity Blog: Complexity Class of the Week: Factoring
| date = 2002-09-13
| url = http://weblog.fortnow.com/2002/09/complexity-class-of-week-factoring.html
}}</ref> It is known to be in [[BQP]] because of [[Shor's algorithm]].  It is suspected to be outside of all three of the complexity classes [[P (complexity)|P]], [[NP-complete]], and [[co-NP-complete]]. It is therefore a candidate for the [[NP-intermediate]] complexity class. If it could be proved that it is in either NP-Complete or co-NP-Complete, that would imply NP = co-NP. That would be a very surprising result, and therefore integer factorization is widely suspected to be outside both of those classes. Many people have tried to find classical polynomial-time algorithms for it and failed, and therefore it is widely suspected to be outside P.
 
In contrast, the decision problem "is ''N'' a [[composite number]]?"  (or equivalently: "is ''N'' a [[prime number]]?") appears to be much easier than the problem of actually finding the factors of ''N''. Specifically, the former can be solved in polynomial time (in the number ''n'' of digits of ''N'') with the [[AKS primality test]].  In addition, there are a number of [[randomized algorithm|probabilistic algorithm]]s that can test primality very quickly in practice if one is willing to accept the vanishingly small possibility of error. The ease of [[primality test]]ing is a crucial part of the [[RSA (algorithm)|RSA]] algorithm, as it is necessary to find large prime numbers to start with.
 
==Factoring algorithms<!-- This section is linked from [[Factorization]] -->==
 
===Special-purpose===
A special-purpose factoring algorithm's running time depends on the properties of the number to be factored or on one of its unknown factors: size, special form, etc. Exactly what the running time depends on varies between algorithms.
 
An important subclass of special-purpose factoring algorithms is the ''Category 1'' or ''First Category'' algorithms, whose running time depends on the size of smallest prime factor. Given an integer of unknown form, these methods are usually applied before general-purpose methods to remove small factors.<ref name="Bressoud and Wagon">{{cite book
|author = [[David Bressoud]] and [[Stan Wagon]]
| year = 2000
| title = A Course in Computational Number Theory
| publisher = Key College Publishing/Springer
| isbn = 978-1-930190-10-8
| pages = 168–69}}</ref> For example, [[trial division]] is a Category 1 algorithm.
 
* [[Trial division]]
* [[Wheel factorization]]
* [[Pollard's rho algorithm]]
* [[Algebraic-group factorisation algorithms]], among which are [[Pollard's p − 1 algorithm|Pollard's ''p''&nbsp;−&nbsp;1 algorithm]], [[Williams' p + 1 algorithm|Williams' ''p''&nbsp;+&nbsp;1 algorithm]], and [[Lenstra elliptic curve factorization]]
* [[Fermat's factorization method]]
* [[Euler's factorization method]]
* [[Special number field sieve]]
 
===General-purpose===
A general-purpose factoring algorithm, also known as a ''Category 2'', ''Second Category'', or ''Kraitchik family'' algorithm (after [[Maurice Kraitchik]]),<ref name="Bressoud and Wagon"/> has a running time depends solely on the size of the integer to be factored. This is the type of algorithm used to factor [[RSA number]]s. Most general-purpose factoring algorithms are based on the [[congruence of squares]] method.
 
* [[Dixon's algorithm]]
* [[Continued fraction factorization]] (CFRAC)
* [[Quadratic sieve]]
* [[Rational sieve]]
* [[General number field sieve]]
* [[Shanks' square forms factorization]] (SQUFOF)
 
===Other notable algorithms===
* [[Shor's algorithm]], for [[quantum computer]]s
 
==Heuristic running time==
In [[number theory]], there are many integer factoring algorithms that heuristically have expected [[Time complexity|running time]]
 
:<math>L_n\left[1/2,1+o(1)\right]=e^{(1+o(1))(\log n)^{\frac{1}{2}}(\log \log n)^{\frac{1}{2}}}</math>
 
in [[Big O notation|o]] and [[L-notation]].
Some examples of those algorithms are the [[elliptic curve method]] and the [[quadratic sieve]].
Another such algorithm is the '''class group relations method''' proposed by Schnorr,<ref name=1982-schnorr>{{cite journal |  last=Schnorr|first=Claus P.|year=1982|title=Refined analysis and improvements on some factoring algorithms|journal=Journal of Algorithms|volume=3|pages=101–127 |  doi=10.1016/0196-6774(82)90012-8 |  issue=2}}</ref> Seysen,<ref name=1987-seysen>{{cite journal| last=Seysen|first=Martin|year=1987|title=A probabilistic factorization algorithm with quadratic forms of negative discriminant|journal=Mathematics of Computation|volume=48|pages=757–780| doi=10.1090/S0025-5718-1987-0878705-X| issue=178}}</ref> and Lenstra<ref name=1988-lenstra  >{{cite journal|last=Lenstra|first=Arjen K|year=1988|title=Fast and rigorous factorization under the generalized Riemann hypothesis|journal=Indagationes Mathematicae|volume=50|pages=443–454}}</ref> that is proved under of the [[Generalized Riemann hypothesis|Generalized Riemann Hypothesis (GRH)]].
 
==Rigorous running time==
The Schnorr-Seysen-Lenstra probabilistic algorithm has been rigorously proven by Lenstra and Pomerance<ref name=lenstra-pomerance/> to have expected running time <math>L_n\left[1/2,1+o(1)\right]</math> by replacing the GRH assumption with the use of multipliers.
The algorithm uses the [[Ideal class group|class group]] of positive binary [[quadratic forms]] of [[Discriminant of a quadratic form|discriminant]]  Δ denoted by ''G''<sub>Δ</sub>.
''G''<sub>Δ</sub> is the set of triples of integers (''a'', ''b'', ''c'') in which those integers are relative prime.
 
===Schnorr-Seysen-Lenstra Algorithm===
Given is an integer ''n'' that will be factored, where ''n'' is an odd positive integer greater than a certain constant. In this factoring algorithm the discriminant Δ is chosen as a multiple of  ''n'', Δ= -''dn'', where ''d'' is some positive multiplier. The algorithm  expects that for one ''d'' there exist enough [[smooth number|smooth]] forms in ''G''<sub>Δ</sub>. Lenstra and Pomerance show that the choice of ''d'' can be restricted to a small set to guarantee the smoothness result.
 
Denote by ''P''<sub>Δ</sub> the set of all primes ''q'' with  [[Kronecker symbol]] <math>\left(\tfrac{\Delta}{q}\right)=1</math>. By constructing a set of [[Generating set of a group|generators]] of ''G''<sub>Δ</sub> and prime forms ''f''<sub>q</sub> of ''G''<sub>Δ</sub> with ''q'' in ''P''<sub>Δ</sub> a sequence of relations between the set of generators and ''f''<sub>q</sub> are produced.
The size of ''q'' can be bounded by <math>c_0(\log|\Delta|)^2</math> for some constant <math>c_0</math>.
 
The relation that will be used is a relation between the product of powers that is equal to the [[group (mathematics)|neutral element]] of ''G''<sub>Δ</sub>. These relations will be used to construct a so-called ambiguous form of ''G''<sub>Δ</sub>, which is an element of ''G''<sub>Δ</sub> of order dividing 2. By calculating the corresponding factorization of Δ and by taking a [[Greatest common divisor|gcd]], this ambiguous form provides the complete prime factorization of ''n''. This algorithm  has these main steps:
 
Let ''n'' be the number to be factored.
# Let Δ be a negative integer with Δ = -''dn'', where ''d'' is a multiplier and Δ is the negative discriminant of some quadratic form.
# Take the ''t'' first primes <math>p_1=2,p_2=3,p_3=5, \dots ,p_t</math>, for some <math>t\in{\mathbb N}</math>.
# Let <math>f_q</math> be a random prime form of ''G''<sub>Δ</sub> with <math>\left(\tfrac{\Delta}{q}\right)=1</math>.
# Find a generating set ''X'' of ''G''<sub>Δ</sub>
# Collect a sequence of relations between set ''X'' and {''f<sub>q</sub> : q'' ∈ ''P''<sub>Δ</sub>} satisfying: <math>\left(\prod_{x \in X_{}} x^{r(x)}\right).\left(\prod_{q \in P_\Delta} f^{t(q)}_{q}\right) = 1</math>
# Construct an ambiguous form ''(a, b, c)'' that is an element ''f'' ∈ ''G''<sub>Δ</sub> of order dividing 2 to obtain a coprime factorization of the largest odd divisor of Δ in which Δ = ''-4a.c'' or ''a(a - 4c)'' or ''(b - 2a).(b + 2a)''
# If the ambiguous form provides a factorization of ''n'' then stop, otherwise find another ambiguous form until the factorization of ''n'' is found. In order to prevent useless ambiguous forms from generating, build up the [[Sylow theorems|2-Sylow]] group ''S<sub>2</sub>(Δ) of G(Δ).
 
To obtain an algorithm for factoring any positive integer, it is necessary to add a few steps to this algorithm such as [[trial division]], and the [[Adleman–Pomerance–Rumely primality test|Jacobi sum test]].
 
===Expected running time===
The algorithm as stated is a [[probabilistic algorithm]] as it makes random choices. Its expected running time is at most <math>L_n\left[1/2,1+o(1)\right]</math>.<ref name=lenstra-pomerance>{{cite journal |  last=H.W. Lenstra|first=and C. Pomerance  |date=July 1992 |title=A Rigorous Time Bound for Factoring Integers |journal=Journal of the American Mathematical Society |volume=5 |pages=483–516|url=http://www.ams.org/journals/jams/1992-05-03/S0894-0347-1992-1137100-0/S0894-0347-1992-1137100-0.pdf |format=PDF |  doi=10.1090/S0894-0347-1992-1137100-0 |  last2=Pomerance |  first2=Carl |  issue=3}}</ref>
 
==See also==
* [[Canonical representation of a positive integer]]
 
==Notes==
{{Reflist}}<!--added under references heading by script-assisted edit-->
 
==References==
* {{cite book
|author = [[Richard Crandall]] and [[Carl Pomerance]]
| year = 2001
| title = Prime Numbers: A Computational Perspective
| publisher = Springer
| isbn = 0-387-94777-9}} Chapter 5: Exponential Factoring Algorithms, pp.&nbsp;191–226. Chapter 6: Subexponential Factoring Algorithms, pp.&nbsp;227–284. Section 7.4: Elliptic curve method, pp.&nbsp;301–313.
* [[Donald Knuth]]. ''[[The Art of Computer Programming]]'', Volume 2: ''Seminumerical Algorithms'', Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.5.4: Factoring into Primes, pp.&nbsp;379–417.
 
==External links==
*[http://sourceforge.net/projects/msieve/ msieve] - SIQS and NFS - has helped complete some of the largest public factorizations known
*[http://www.youtube.com/watch?v=5kl28hmhin0 Video] explaining uniqueness of prime factorization using a lock analogy.
*[http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=3255 A collection of links to factoring programs]
*Richard P. Brent, "Recent Progress and Prospects for Integer Factorisation Algorithms", ''Computing and Combinatorics"'', 2000, pp.&nbsp;3–22. [http://citeseer.ist.psu.edu/327036.html download]
* [[Manindra Agrawal]], Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P." Annals of Mathematics 160(2): 781-793 (2004). [http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf August 2005 version PDF]
* [ftp://ftp.computing.dcu.ie/pub/crypto/factor.exe] is a public-domain integer factorization program for Windows. It claims to handle 80-digit numbers. See also the web site for this program [http://www.shamus.ie/ ]
* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/news/2005-11-08/rsa-640/ “RSA-640 Factored” ''MathWorld Headline News'', November 8, 2005]
 
{{Number theoretic algorithms}}
{{Divisor classes}}
 
[[Category:Integer factorization algorithms| ]]
[[Category:Computational hardness assumptions]]
[[Category:Unsolved problems in computer science]]

Revision as of 22:12, 16 February 2014

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