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Semiprime ring Eq: math.15414.3

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TeX (original user input):

\sqrt{B}:=\bigcap\{ P\subseteq R \mid B \subseteq P, P \mbox{ a prime ideal} \}\subseteq\{x\in R\mid x^n\in B \mbox{ for some }k\in\mathbb{N}^+  \} \,

TeX (checked):

{\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in \mathbb {N} ^{+}\}\,

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{\displaystyle{\sqrt{B}}:=\bigcap\{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a % prime ideal}}\}\subseteq\{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in{\mathbb% {N}}^{+}\}\,}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\sqrt{B}}:=\bigcap\{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a %&#10;prime ideal}}\}\subseteq\{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in{\mathbb%&#10;{N}}^{+}\}\,}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
      <msqrt id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">B</mi>
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      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">:=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">
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          <mo largeop="true" mathsize="160%" movablelimits="false" stretchy="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">⋂</mo>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.1.cmml">{</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">P</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">R</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.1.cmml">∣</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.34.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">B</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">P</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.3.1.1.cmml">,</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">P</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.34.2.1.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.3.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.1.1.cmml">}</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">⊆</mo>
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        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">{</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">x</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">∈</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">R</mi>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">∣</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.34.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">x</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">n</mi>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">∈</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.34.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">B</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.3.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.34.3.3.3.1a" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.3.1.cmml">⁢</mo>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">∈</mo>
          <msup id="p1.1.m1.1.34.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">ℕ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.31.1.cmml">+</mo>
          </msup>
        </mrow>
        <mo rspace="4.2pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.34.3.1.1.cmml">}</mo>
      </mrow>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.27a.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27"> for some </mtext>
                  </ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.34.3.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.3.4">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">ℕ</ci>
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prime ideal}}\}\subseteq\{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in{\mathbb%
{N}}^{+}\}\,}</annotation>
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</math>

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MathML (2.199 KB / 596 B) :

{\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in \mathbb {N} ^{+}\}\,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}">
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        <mi>x</mi>
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        </msup>
        <mo>&#x2208;<!-- ∈ --></mo>
        <mi>B</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
            <mtext>&#xA0;for some&#xA0;</mtext>
          </mstyle>
        </mrow>
        <mi>k</mi>
        <mo>&#x2208;<!-- ∈ --></mo>
        <msup>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="double-struck">N</mi>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
        <mspace width="thinmathspace" />
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ a prime ideal}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ for some }}k\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}</annotation>
  </semantics>
</math>

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$B$

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$P$

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