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Display information for equation id:math.219374.18 on revision:219374

* Page found: Euler's formula (eq math.219374.18)

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Hash: 8e316894c5bfde8f53acb6c151118658

TeX (original user input):

\begin{align}
\cos x & = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\
\sin x & = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (18.569 KB / 2.145 KB) :

cos x = Re { e i x } = e i x + e - i x 2 sin x = Im { e i x } = e i x - e - i x 2 i 𝑥 absent Re superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 2 𝑥 absent Im superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 2 𝑖 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos x&\displaystyle=% \mathrm{Re}\{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\\ \displaystyle\sin x&\displaystyle=\mathrm{Im}\{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix}\over 2% i}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos x&amp;\displaystyle=%&#10;\mathrm{Re}\{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\\&#10;\displaystyle\sin x&amp;\displaystyle=\mathrm{Im}\{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix}\over 2%&#10;i}\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">cos</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"></mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">Re</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml">{</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml">}</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.1.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.3.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.1.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.3.cmml">+</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.4.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.1.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.3.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">sin</mi>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">Im</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">{</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.2.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">}</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.3.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.cmml">-</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.3.cmml">x</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </msup>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml">i</mi>
                </mrow>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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