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TeX (original user input):

\begin{align}
\cos x & = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\
\sin x & = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}


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{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos x&\displaystyle=% \mathrm{Re}\{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\\ \displaystyle\sin x&\displaystyle=\mathrm{Im}\{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix}\over 2% i}\end{aligned}}}
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.4">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.3">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">
<sin id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2">𝑥</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">Im</ci>
<set id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.2">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</set>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.1.2">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.3">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2">𝑖</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos x&amp;\displaystyle=%
\mathrm{Re}\{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix}\over 2}\\
\displaystyle\sin x&amp;\displaystyle=\mathrm{Im}\{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix}\over 2%
i}\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\\\sin x&=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

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In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

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Calculated based on the variables occurring on the entire Euler's formula page

## Identifiers

• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Im} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$

### MathML observations

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