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Display information for equation id:math.219374.20 on revision:219374

* Page found: Euler's formula (eq math.219374.20)

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Hash: db681357780750dc38fad465eff15a74

TeX (original user input):

\begin{align}
\cos(iy) & = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) \\
\sin(iy) & = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ .
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (20.14 KB / 2.415 KB) :

cos ( i y ) = e - y + e y 2 = cosh ( y ) sin ( i y ) = e - y - e y 2 i = - e y - e - y 2 i = i sinh ( y ) . 𝑖 𝑦 absent superscript 𝑒 𝑦 superscript 𝑒 𝑦 2 𝑦 𝑖 𝑦 absent superscript 𝑒 𝑦 superscript 𝑒 𝑦 2 𝑖 superscript 𝑒 𝑦 superscript 𝑒 𝑦 2 𝑖 𝑖 𝑦 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos(iy)&% \displaystyle={e^{-y}+e^{y}\over 2}=\cosh(y)\\ \displaystyle\sin(iy)&\displaystyle={e^{-y}-e^{y}\over 2i}=-{e^{y}-e^{-y}\over 2% i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos(iy)&amp;%&#10;\displaystyle={e^{-y}+e^{y}\over 2}=\cosh(y)\\&#10;\displaystyle\sin(iy)&amp;\displaystyle={e^{-y}-e^{y}\over 2i}=-{e^{y}-e^{-y}\over&#10;2%&#10;i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">cos</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">y</mi>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.2.cmml">y</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">+</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml">e</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.1.cmml">y</mi>
                  </msup>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">cosh</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">y</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml">sin</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4.cmml">y</mi>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml"/>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2.cmml">y</mi>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">-</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">e</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5.1.cmml">y</mi>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">i</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">-</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.1.cmml">y</mi>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3.cmml">-</mo>
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                        </mrow>
                      </msup>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml">i</mi>
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                </mstyle>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">i</mi>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.1.cmml">
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.1.cmml">(</mo>
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                    <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.1.cmml">)</mo>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">absent</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1">𝑒</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.2">𝑦</ci>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1">2</cn>
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