## General

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TeX (original user input):

\begin{align}
\cos(iy) & = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) \\
\sin(iy) & = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ .
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}


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{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos(iy)&% \displaystyle={e^{-y}+e^{y}\over 2}=\cosh(y)\\ \displaystyle\sin(iy)&\displaystyle={e^{-y}-e^{y}\over 2i}=-{e^{y}-e^{-y}\over 2% i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}
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</mrow>
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.1.1.cmml">-</mo>
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</mrow>
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<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7.cmml">
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</msup>
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</mfrac>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">(</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
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</msup>
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<mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.1.cmml">)</mo>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4">𝑒</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.1">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3">2</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">
<cosh id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7">
<sin id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.7.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.3">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.4">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4">𝑒</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5.1">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑖</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1">𝑒</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.1">𝑦</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.4">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.5.1.2">𝑦</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2">𝑖</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.4.2.2">
<sinh id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝑦</ci>
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</apply>
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</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\cos(iy)&amp;%
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### MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

SVG image empty. Force Re-Rendering

SVG (0 B / 8 B) :

PNG (0 B / 8 B) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(iy)&={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)\\\sin(iy)&={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{e^{y}-e^{-y} \over 2i}=i\sinh(y)\ .\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

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Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

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Calculated based on the variables occurring on the entire Euler's formula page

## Identifiers

• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$

### MathML observations

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