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TeX (original user input):

\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \bigg] \
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}

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{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos x\cdot\cos y&\displaystyle={% \frac{(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot{\frac{(e^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\ &\displaystyle={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{i(x-y)}}+e^{{i(-x+y)}% }+e^{{i(-x-y)}}}{2}}\\ &\displaystyle={\frac{1}{2}}{\bigg{[}}\underbrace{{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x% +y)}}}{2}}}_{{\cos(x+y)}}+\underbrace{{\frac{e^{{i(x-y)}}+e^{{-i(x-y)}}}{2}}}_% {{\cos(x-y)}}{\bigg{]}}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos x\cdot\cos y&amp;\displaystyle={%&#10;\frac{(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot{\frac{(e^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{i(x-y)}}+e^{{i(-x+y)}%&#10;}+e^{{i(-x-y)}}}{2}}\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{2}}{\bigg{[}}\underbrace{{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x%&#10;+y)}}}{2}}}_{{\cos(x+y)}}+\underbrace{{\frac{e^{{i(x-y)}}+e^{{-i(x-y)}}}{2}}}_%&#10;{{\cos(x-y)}}{\bigg{]}}\end{aligned}}}" display="inline">
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.3.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.4.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.5.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.6.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.cmml">+</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.10.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.8.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.3.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.4.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.5.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.6.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.9.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.cmml">
<mo maxsize="210%" minsize="210%" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.1.cmml">[</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.cmml">
<munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1.cmml">
<munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.6.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.1.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.1.cmml">i</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.7.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8.2.cmml">
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.3.cmml">x</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.4.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.5.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.2.1.8.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.3.cmml">+</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.7.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.4.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.cmml">
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.1.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.2.cmml">i</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.4.cmml">x</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.5.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.6.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml"></mo>
</munder>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.7.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.1.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.7.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.7.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.7.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.8.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.3.cmml">x</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.4.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.5.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.7.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</munder>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">+</mo>
<munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.2.cmml">
<munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.6.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.1.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.1.cmml">i</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.7.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8.2.cmml">
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.3.cmml">x</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.4.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.5.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.2.1.8.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msup>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.3.cmml">+</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.7.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.4.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.cmml">
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.1.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.2.cmml">i</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.4.cmml">x</mi>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.5.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.6.cmml">y</mi>
</mrow>
<mo movablelimits="false" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.5.1.8.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml"></mo>
</munder>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3.cmml">x</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.5.cmml">y</mi>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml">)</mo>
</mrow>
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</munder>
</mrow>
<mo maxsize="210%" minsize="210%" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
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</mtr>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"></ci>
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<cos id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7">
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5">𝑦</ci>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
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<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
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<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.1.2">𝑥</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.9.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6.1.3">𝑥</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
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<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2">𝑦</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.1"/>
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<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.1.3">𝑦</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3">2</cn>
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<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
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<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.12">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.12">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.7"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.8">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.3">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.2.1.5">𝑦</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.13">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.13">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.4">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.7"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.8">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.3">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.5.1.5">𝑦</ci>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.14">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.14">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.7">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.9">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.5"/>
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<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.4">𝑥</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.8.1.6">𝑦</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.15">superscript</csymbol>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.1">𝑖</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.11.1.6">𝑦</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3">2</cn>
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<matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">absent</csymbol>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1">subscript</csymbol>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.1">𝑒</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.4">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.2.5.1.6">𝑦</ci>
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<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.3"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.6">superscript</csymbol>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.2.4">𝑒</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8">
<cos id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1"/>
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<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4"/>
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</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos x\cdot\cos y&amp;\displaystyle={%
\frac{(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot{\frac{(e^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\
&amp;\displaystyle={\frac{1}{2}}\cdot{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{i(x-y)}}+e^{{i(-x+y)}%
}+e^{{i(-x-y)}}}{2}}\\
&amp;\displaystyle={\frac{1}{2}}{\bigg{[}}\underbrace{{\frac{e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x%
+y)}}}{2}}}_{{\cos(x+y)}}+\underbrace{{\frac{e^{{i(x-y)}}+e^{{-i(x-y)}}}{2}}}_%
{{\cos(x-y)}}{\bigg{]}}\end{aligned}}}</annotation>
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{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg [}\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}{\bigg ]}\ \end{aligned}}}

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## Identifiers

• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle y}$
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