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TeX (original user input):

\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}


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{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos(nx)&\displaystyle={\mathrm{Re% }}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\ &\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot(\underbrace{e^{{ix}}+e^{{-% ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\ &\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot 2\cos(x)-e^{{i(n-2)x}}\ \}% \\ &\displaystyle=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos(nx)&amp;\displaystyle={\mathrm{Re%&#10;}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&#10;&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot(\underbrace{e^{{ix}}+e^{{-%&#10;ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\&#10;&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot 2\cos(x)-e^{{i(n-2)x}}\ \}%&#10;\\&#10;&amp;\displaystyle=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\end{aligned}}}" display="inline">
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">)</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">⁢</mo>
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<mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">{</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml">x</mi>
</mrow>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">}</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8.cmml">⁢</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1.cmml">i</mi>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2.cmml">x</mi>
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</mrow>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">⏟</mo>
</munder>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4.cmml">x</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</munder>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">-</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">}</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">Re</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">
<mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">{</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5.cmml">1</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7.cmml">x</mi>
</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">2</mn>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">x</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">-</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">e</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.4.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.5.cmml">2</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.7.cmml">x</mi>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">}</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml">[</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">1</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">2</mn>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml">x</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">⁡</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">[</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.cmml">2</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">]</mo>
</mrow>
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</mrow>
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<times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">Re</ci>
<set id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</set>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">Re</ci>
<set id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">⋅</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.5">1</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.7">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2">𝑥</ci>
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</apply>
</apply>
</set>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">Re</ci>
<set id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">⋅</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5">1</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">⏟</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2">
<cos id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4">𝑥</ci>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3">𝑥</ci>
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</apply>
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</apply>
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</set>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">Re</ci>
<set id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2">
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<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">⋅</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5">1</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2">
<cos id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.8"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.9">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.5">2</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.7">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</set>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28">
<minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2">
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11">⋅</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2">
<cos id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.2.1.2.1.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">1</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.3.2">
<cos id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2">
<cos id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.2.1.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23">2</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos(nx)&amp;\displaystyle={\mathrm{Re%
}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\
&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot(\underbrace{e^{{ix}}+e^{{-%
ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\
&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot 2\cos(x)-e^{{i(n-2)x}}\ \}%
\\
&amp;\displaystyle=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Euler's formula page

## Identifiers

• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \mathrm {Re} }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$

### MathML observations

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