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Display information for equation id:math.219374.22 on revision:219374

* Page found: Euler's formula (eq math.219374.22)

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TeX (original user input):

\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \ 
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos(x)}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x)-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\ \end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (46.269 KB / 4.831 KB) :

cos ( n x ) = Re { e i n x } = Re { e i ( n - 1 ) x e i x } = Re { e i ( n - 1 ) x ( e i x + e - i x 2 cos ( x ) - e - i x ) } = Re { e i ( n - 1 ) x 2 cos ( x ) - e i ( n - 2 ) x } = cos [ ( n - 1 ) x ] 2 cos ( x ) - cos [ ( n - 2 ) x ] 𝑛 𝑥 absent Re superscript 𝑒 𝑖 𝑛 𝑥 Re superscript 𝑒 𝑖 𝑛 1 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 missing-subexpression absent Re superscript 𝑒 𝑖 𝑛 1 𝑥 subscript superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 2 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 missing-subexpression absent Re superscript 𝑒 𝑖 𝑛 1 𝑥 2 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑛 2 𝑥 missing-subexpression absent 𝑛 1 𝑥 2 𝑥 𝑛 2 𝑥 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos(nx)&\displaystyle={\mathrm{Re% }}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\ &\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot(\underbrace{e^{{ix}}+e^{{-% ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\ &\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot 2\cos(x)-e^{{i(n-2)x}}\ \}% \\ &\displaystyle=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle\cos(nx)&amp;\displaystyle={\mathrm{Re%&#10;}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&#10;&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot(\underbrace{e^{{ix}}+e^{{-%&#10;ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\&#10;&amp;\displaystyle={\mathrm{Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot 2\cos(x)-e^{{i(n-2)x}}\ \}%&#10;\\&#10;&amp;\displaystyle=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x]\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">cos</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.1.1.cmml"></mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">Re</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">
                <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">{</mo>
                <mpadded width="+5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mpadded>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.2.1.cmml">}</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">Re</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml">
                <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml">{</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9.2.cmml">(</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.cmml">n</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4.cmml">-</mo>
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                        </mrow>
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                      </mrow>
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                    </mrow>
                  </msup>
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                  <mpadded width="+5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3.cmml"></mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2.cmml">x</mi>
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                    </msup>
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                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml">}</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">Re</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">
                <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">{</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">e</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml">n</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml">
                      <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1.cmml">
                        <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1.cmml">e</mi>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1.cmml">i</mi>
                                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3.cmml"></mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2.cmml">x</mi>
                              </mrow>
                            </msup>
                            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3.cmml">+</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4.cmml">e</mi>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.cmml">
                                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1.cmml">-</mo>
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2.cmml">i</mi>
                                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1.cmml"></mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3.cmml">x</mi>
                                </mrow>
                              </mrow>
                            </msup>
                          </mrow>
                          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml"></mo>
                        </munder>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6.cmml"></mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml">cos</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml"></mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">(</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4.cmml">x</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </munder>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">-</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">e</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.1.cmml">-</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.2.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.4.1.cmml"></mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.3.cmml">x</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </msup>
                    </mrow>
                    <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">}</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">Re</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">
                <mo rspace="7.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">{</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">e</mi>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8.cmml"></mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3.cmml">n</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4.cmml">-</mo>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5.cmml">1</mn>
                            </mrow>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.9.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.8.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.7.cmml">x</mi>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml"></mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">2</mn>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">cos</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.3.1.cmml">(</mo>
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                            <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">1</mn>
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                      </mrow>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.4"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2">𝑛</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </set>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">Re</ci>
                <set id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"></ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑒</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.8"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">𝑖</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.9">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.4"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3">𝑛</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.5">1</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.7">𝑥</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.2">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑒</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.3"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.1">𝑖</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.2">𝑥</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </set>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">Re</ci>
              <set id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"></ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑒</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.8"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.9">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.4"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3">𝑛</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.5">1</cn>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.7">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1"></ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">
                          <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1">𝑒</ci>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.3"/>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.1">𝑖</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.2">𝑥</ci>
                            </apply>
                          </apply>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4">𝑒</ci>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1">
                              <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.1"/>
                              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4">
                                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.4.1"/>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.2">𝑖</ci>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.1.3">𝑥</ci>
                              </apply>
                            </apply>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.6"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1">2</cn>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.7.2">
                          <cos id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.4">𝑥</ci>
                        </apply>
                      </apply>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">absent</csymbol>
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ix}}}_{{2\cos(x)}}-e^{{-ix}})\ \}\\
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