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* Page found: Euler's formula (eq math.219374.33)

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TeX (original user input):

\begin{align}
e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
&{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
&{}= \cos x + i\sin x \ .
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}


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MathML (69.975 KB / 6.6 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle e^{{ix}}&\displaystyle{}=1+ix+{% \frac{(ix)^{2}}{2!}}+{\frac{(ix)^{3}}{3!}}+{\frac{(ix)^{4}}{4!}}+{\frac{(ix)^{% 5}}{5!}}+{\frac{(ix)^{6}}{6!}}+{\frac{(ix)^{7}}{7!}}+{\frac{(ix)^{8}}{8!}}+% \cdots\\ &\displaystyle{}=1+ix-{\frac{x^{2}}{2!}}-{\frac{ix^{3}}{3!}}+{\frac{x^{4}}{4!}% }+{\frac{ix^{5}}{5!}}-{\frac{x^{6}}{6!}}-{\frac{ix^{7}}{7!}}+{\frac{x^{8}}{8!}% }+\cdots\\ &\displaystyle{}=\left(1-{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{4}}{4!}}-{\frac{x^{6}}{6% !}}+{\frac{x^{8}}{8!}}-\cdots\right)+i\left(x-{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac{x^{5}}% {5!}}-{\frac{x^{7}}{7!}}+\cdots\right)\\ &\displaystyle{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle e^{{ix}}&amp;\displaystyle{}=1+ix+{%&#10;\frac{(ix)^{2}}{2!}}+{\frac{(ix)^{3}}{3!}}+{\frac{(ix)^{4}}{4!}}+{\frac{(ix)^{%&#10;5}}{5!}}+{\frac{(ix)^{6}}{6!}}+{\frac{(ix)^{7}}{7!}}+{\frac{(ix)^{8}}{8!}}+%&#10;\cdots\\&#10;&amp;\displaystyle{}=1+ix-{\frac{x^{2}}{2!}}-{\frac{ix^{3}}{3!}}+{\frac{x^{4}}{4!}%&#10;}+{\frac{ix^{5}}{5!}}-{\frac{x^{6}}{6!}}-{\frac{ix^{7}}{7!}}+{\frac{x^{8}}{8!}%&#10;}+\cdots\\&#10;&amp;\displaystyle{}=\left(1-{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{4}}{4!}}-{\frac{x^{6}}{6%&#10;!}}+{\frac{x^{8}}{8!}}-\cdots\right)+i\left(x-{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac{x^{5}}%&#10;{5!}}-{\frac{x^{7}}{7!}}+\cdots\right)\\&#10;&amp;\displaystyle{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}" display="inline">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">
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</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.7.2.cmml">)</mo>
</mrow>
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</msup>
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1.cmml">2</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.2.cmml">(</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.cmml">i</mi>
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</mrow>
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</mrow>
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1.cmml">3</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
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</mrow>
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<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
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</mrow>
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</mrow>
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</msup>
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</mfrac>
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</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.5.1.cmml">6</mn>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1.cmml">6</mn>
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</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3f" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.3.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.7.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.5.1.cmml">7</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1.cmml">7</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3g" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.3.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.5.1.cmml">8</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1.cmml">8</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3h" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">+</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">⋯</mi>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml">2</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1.cmml">3</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml">3</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.1.cmml">4</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1.cmml">4</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.1.cmml">5</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1.cmml">5</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml">6</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">6</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.1.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.4.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.2.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.3.1.cmml">7</mn>
</msup>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.1.cmml">7</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml">8</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.1.cmml">8</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">+</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">⋯</mi>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.1.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.2.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1.cmml">2</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.2.1.cmml">4</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.1.cmml">4</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.1.cmml">6</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1.cmml">6</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1.cmml">8</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml">8</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">-</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">⋯</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">x</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml">3</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1.cmml">3</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1.cmml">5</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1.cmml">5</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml">x</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1.cmml">7</mn>
</msup>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1.cmml">7</mn>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.cmml">!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">+</mo>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.cmml">⋯</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">cos</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1.cmml">⁡</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">x</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">i</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">sin</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2.cmml">⁡</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">.</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
<matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑒</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.1">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑥</ci>
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</apply>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">absent</csymbol>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.3">𝑥</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.5.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1">2</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.3">𝑥</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.5.1">3</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1">3</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.3">𝑥</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.5.1">4</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1">4</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.3">𝑥</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.5.1">5</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1">5</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3">𝑥</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.5.1">6</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1">6</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.3">𝑥</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.5.1">7</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.3.1">7</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.7.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.3">𝑥</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.5.1">8</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1">8</cn>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">⋯</ci>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.1.1.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑖</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1">2</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1">3</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.1">3</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.1">4</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1">4</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.1">5</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1">5</cn>
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</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1">6</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1">6</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.4"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.1">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.3.1">7</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.3.1">7</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1">8</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.1">8</cn>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">⋯</ci>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29">
<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.1.2.1.1.1.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.2.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.2.1">4</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.3.1">4</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.1">6</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1">6</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1">8</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1">8</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13">⋯</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.2.2.2.1.1.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">𝑥</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1">3</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1">3</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.1">5</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.3.1">5</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.2.2.1">7</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.3.1">7</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26">⋯</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2">
<plus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1">
<cos id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3">𝑥</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">𝑖</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.2.2">
<sin id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle e^{{ix}}&amp;\displaystyle{}=1+ix+{%
\frac{(ix)^{2}}{2!}}+{\frac{(ix)^{3}}{3!}}+{\frac{(ix)^{4}}{4!}}+{\frac{(ix)^{%
5}}{5!}}+{\frac{(ix)^{6}}{6!}}+{\frac{(ix)^{7}}{7!}}+{\frac{(ix)^{8}}{8!}}+%
\cdots\\
&amp;\displaystyle{}=1+ix-{\frac{x^{2}}{2!}}-{\frac{ix^{3}}{3!}}+{\frac{x^{4}}{4!}%
}+{\frac{ix^{5}}{5!}}-{\frac{x^{6}}{6!}}-{\frac{ix^{7}}{7!}}+{\frac{x^{8}}{8!}%
}+\cdots\\
&amp;\displaystyle{}=\left(1-{\frac{x^{2}}{2!}}+{\frac{x^{4}}{4!}}-{\frac{x^{6}}{6%
!}}+{\frac{x^{8}}{8!}}-\cdots\right)+i\left(x-{\frac{x^{3}}{3!}}+{\frac{x^{5}}%
{5!}}-{\frac{x^{7}}{7!}}+\cdots\right)\\
&amp;\displaystyle{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&{}=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&{}=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&{}=\cos x+i\sin x\ .\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

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Calculated based on the variables occurring on the entire Euler's formula page

## Identifiers

• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$

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