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Display information for equation id:math.219374.6 on revision:219374

* Page found: Euler's formula (eq math.219374.6)

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TeX (original user input):

\begin{align}
z & = x + iy & = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) & = r e^{i \phi} \\
\bar{z} & = x - iy & = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) & = r e^{-i \phi}
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}z&=x+iy&=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )&=re^{i\phi }\\{\bar {z}}&=x-iy&=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )&=re^{-i\phi }\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (19.77 KB / 2.293 KB) :

z = x + i y = | z | ( cos ϕ + i sin ϕ ) = r e i ϕ z ¯ = x - i y = | z | ( cos ϕ - i sin ϕ ) = r e - i ϕ 𝑧 absent 𝑥 𝑖 𝑦 absent 𝑧 italic-ϕ 𝑖 italic-ϕ absent 𝑟 superscript 𝑒 𝑖 italic-ϕ ¯ 𝑧 absent 𝑥 𝑖 𝑦 absent 𝑧 italic-ϕ 𝑖 italic-ϕ absent 𝑟 superscript 𝑒 𝑖 italic-ϕ {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle z&\displaystyle=x+iy% &\displaystyle=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)&\displaystyle=re^{i\phi}\\ \displaystyle\bar{z}&\displaystyle=x-iy&\displaystyle=|z|(\cos\phi-i\sin\phi)&% \displaystyle=re^{-i\phi}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle z&amp;\displaystyle=x+iy%&#10;&amp;\displaystyle=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)&amp;\displaystyle=re^{i\phi}\\&#10;\displaystyle\bar{z}&amp;\displaystyle=x-iy&amp;\displaystyle=|z|(\cos\phi-i\sin\phi)&amp;%&#10;\displaystyle=re^{-i\phi}\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1.cmml"></mo>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.13.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.3.cmml">z</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.6.cmml">cos</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.1.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.7.cmml">ϕ</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.8.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.9.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.1.cmml"></mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.10.cmml">sin</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.14.3.2.2.2.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.3.1.11.cmml">ϕ</mi>
                    </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.5.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.4.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.6.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.2.cmml">r</mi>
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              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.4.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.4.1.6.2.cmml">
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                </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">-</mo>
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