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* Page found: Exponentiation by squaring (eq math.219450.0)

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Exponentiation by squaring Eq: math.219450.0

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TeX (original user input):

 x^n=     
    \begin{cases}
                x \, ( x^{2})^{\frac{n - 1}{2}}, & \mbox{if } n \mbox{ is odd} \\
                (x^{2})^{\frac{n}{2}} , & \mbox{if } n \mbox{ is even}.
     \end{cases}

TeX (checked):

x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{2})^{\frac {n-1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(x^{2})^{\frac {n}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (10.71 KB / 1.56 KB) :

{\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{{2}})^{{{\frac{n-1}{2}}}},&{\mbox{if% }}n{\mbox{ is odd}}\\ (x^{{2}})^{{{\frac{n}{2}}}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{{2}})^{{{\frac{n-1}{2}}}},&amp;{\mbox{if%&#10; }}n{\mbox{ is odd}}\\&#10;(x^{{2}})^{{{\frac{n}{2}}}},&amp;{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
      <msup id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">n</mi>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
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              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.cmml">
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                  <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1.cmml">x</mi>
                  </mpadded>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.1.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.cmml">
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                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.4.cmml">x</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.5.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.2.cmml">-</mo>
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                  </msup>
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                <mtext id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.1a.cmml">if </mtext>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.2.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mtext id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.3a.cmml"> is odd</mtext>
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            </mtd>
          </mtr>
          <mtr id="p1.1.m1.1.5d" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
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              <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.cmml">
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2.2.cmml">(</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.2.cmml">x</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.3.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.2.cmml">n</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.cmml">,</mo>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.cmml">
                  <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1a.cmml">if </mtext>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml">n</mi>
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                  <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3a.cmml"> is even</mtext>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑥</ci>
          <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑛</ci>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">cases</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1">
            <times id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.1">𝑥</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.10.2.2">
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                <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.4">𝑥</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.5.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1">
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                <apply id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.1">𝑛</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.2.3">1</cn>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.1.7.1.1.3">2</cn>
              </apply>
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            </ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.5.1.2.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.3">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.8.2">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.2">𝑥</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.3.1">2</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1">
              <divide id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.2">𝑛</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.1.1.5.1.1.3">2</cn>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.6.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1">
              <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.1">if </mtext>
            </ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.2">𝑛</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3">
              <mtext id="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2.2.1.3"> is even</mtext>
            </ci>
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        </apply>
      </apply>
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 }}n{\mbox{ is odd}}\\
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  </semantics>
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x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{2})^{\frac {n-1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(x^{2})^{\frac {n}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}

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                      <mfrac>
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                        </mrow>
                        <mn>2</mn>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo>,</mo>
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                <mtd>
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                      <mfrac>
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              </mtr>
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