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r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

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MathML (4.685 KB / 993 B) :

r - 1 = lim sup n | a n | 1 n superscript 𝑟 1 subscript limit-supremum 𝑛 superscript subscript 𝑎 𝑛 1 𝑛 {\displaystyle r^{{-1}}=\limsup_{{n\to\infty}}\left|a_{n}\right|^{{{\frac{1}{n% }}}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle r^{{-1}}=\limsup_{{n\to\infty}}\left|a_{n}\right|^{{{\frac{1}{n%&#10;}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
      <msup id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">r</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">-</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">1</mn>
        </mrow>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">
        <munder id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">
          <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">lim sup</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml"></mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml"></mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mo id="p1.1.m1.1.11.2a" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml"></mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">a</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">n</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
          <mfrac id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.10.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.2.cmml">1</mn>
            <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.3.cmml">n</mi>
          </mfrac>
        </msup>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">
        <eq id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">superscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑟</ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
            <minus id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2">1</cn>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">
          <apply id="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">subscript</csymbol>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">limit-supremum</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.2"></ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑛</ci>
              <infinity id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3"/>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2">
              <abs id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑎</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">𝑛</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">
              <divide id="p1.1.m1.1.10.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.10.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.2">1</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.10.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.3">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle r^{{-1}}=\limsup_{{n\to\infty}}\left|a_{n}\right|^{{{\frac{1}{n%
}}}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (10.403 KB / 4.021 KB) :

r Superscript negative 1 Baseline equals limit sup Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts StartAbsoluteValue a Subscript n Baseline EndAbsoluteValue Superscript StartFraction 1 Over n EndFraction

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.335 KB / 491 B) :

r 1 = lim sup n | a n | 1 n {\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>r</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim&#x2006;sup</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo stretchy="false">&#x2192;<!-- → --></mo>
            <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munder>
        <msup>
          <mrow>
            <mo>|</mo>
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              <mi>a</mi>
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            <mo>|</mo>
          </mrow>
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            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mi>n</mi>
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      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (8.91 KB / 3.763 KB) :

{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}

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