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Display information for equation id:math.224056.20 on revision:224056

* Page found: Lagrange inversion theorem (eq math.224056.20)

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Hash: 9bf196512da7f2f76c40ab87f159c152

TeX (original user input):

  W(z) =
  \sum_{n=1}^{\infty} 
  \lim_{w \to 0} \left(
   \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}\ \mathrm{e}^{-nw}
  \right)
  { \frac{z^n}{n!}}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty}
  (-n)^{n-1}\, \frac{z^n}{n!}=z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.997 KB / 3.379 KB) :

W ( z ) = n = 1 lim w 0 ( d n - 1 d w n - 1 e - n w ) z n n ! = n = 1 ( - n ) n - 1 z n n ! = z - z 2 + 3 2 z 3 - 8 3 z 4 + O ( z 5 ) . 𝑊 𝑧 superscript subscript 𝑛 1 subscript 𝑤 0 superscript d 𝑛 1 d superscript 𝑤 𝑛 1 superscript e 𝑛 𝑤 superscript 𝑧 𝑛 𝑛 superscript subscript 𝑛 1 superscript 𝑛 𝑛 1 superscript 𝑧 𝑛 𝑛 𝑧 superscript 𝑧 2 3 2 superscript 𝑧 3 8 3 superscript 𝑧 4 𝑂 superscript 𝑧 5 {\displaystyle W(z)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\lim_{{w\to 0}}\left({\frac{{% \mathrm{d}}^{{\,n-1}}}{{\mathrm{d}}w^{{\,n-1}}}}\ {\mathrm{e}}^{{-nw}}\right){% {\frac{z^{n}}{n!}}}\,=\,\sum_{{n=1}}^{{\infty}}(-n)^{{n-1}}\,{\frac{z^{n}}{n!}% }=z-z^{2}+{\frac{3}{2}}z^{3}-{\frac{8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle W(z)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\lim_{{w\to 0}}\left({\frac{{%&#10;\mathrm{d}}^{{\,n-1}}}{{\mathrm{d}}w^{{\,n-1}}}}\ {\mathrm{e}}^{{-nw}}\right){%&#10;{\frac{z^{n}}{n!}}}\,=\,\sum_{{n=1}}^{{\infty}}(-n)^{{n-1}}\,{\frac{z^{n}}{n!}%&#10;}=z-z^{2}+{\frac{3}{2}}z^{3}-{\frac{8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.51" xref="p1.1.m1.1.51.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.51.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">W</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.51.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">z</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.3" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.51.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.51.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml"></mi>
            </munderover>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.51.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.1.cmml">
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">lim</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">w</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml"></mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.10.1.3" xref="p1.1.m1.1.10.1.3.cmml">0</mn>
              </mrow>
            </munder>
            <mo id="p1.1.m1.1.51.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.cmml"></mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2.2.cmml">
                  <mpadded width="+5pt" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.12b" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">d</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml">
                            <mpadded lspace="1.7pt" width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.2.cmml">n</mi>
                            </mpadded>
                            <mo id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.3.cmml">-</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1.4.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                        </msup>
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                          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.cmml">d</mi>
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                          <msup id="p1.1.m1.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.5.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.cmml">w</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.cmml">
                              <mpadded lspace="1.7pt" width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2.cmml">n</mi>
                              </mpadded>
                              <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3.cmml">-</mo>
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                            </mrow>
                          </msup>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.cmml">-</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.cmml">n</mi>
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                      </mrow>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.2.1.cmml"></mo>
              <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.17b" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml">z</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml">n</mi>
                    </msup>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.cmml">n</mi>
                      <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.cmml">!</mo>
                    </mrow>
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                </mstyle>
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          </mrow>
        </mrow>
        <mo rspace="4.2pt" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.4" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.51.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.1.cmml">
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              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml">=</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.22.1.3" xref="p1.1.m1.1.22.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.cmml">
            <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2a" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">-</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.28.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
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            </mpadded>
            <mo id="p1.1.m1.1.51.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.1.cmml"></mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.30a" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">z</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mrow id="p1.1.m1.1.30.3" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.1.cmml">n</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.30.3.2" xref="p1.1.m1.1.30.3.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.5" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">z</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">-</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">z</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.37a" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.cmml">3</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.37.3" xref="p1.1.m1.1.37.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.1.cmml"></mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">z</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.39.1.cmml">3</mn>
                </msup>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.40.cmml">-</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.41a" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.41.2.cmml">8</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.41.3" xref="p1.1.m1.1.41.3.cmml">3</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1.cmml"></mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.42.cmml">z</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.cmml">4</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">+</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">O</mi>
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                <mn id="p1.1.m1.1.48.1" xref="p1.1.m1.1.48.1.cmml">5</mn>
              </msup>
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                <sum id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.4.2.2">superscript</csymbol>
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                <apply id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"/>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.1.1">superscript</csymbol>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1">2</cn>
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                <apply id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">
                    <divide id="p1.1.m1.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.37.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.2">3</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.37.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.3">2</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.1.2.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">𝑧</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.39.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1">3</cn>
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                <times id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1"/>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.41.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.2">8</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.41.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.41.3">3</cn>
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                <apply id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.42.cmml" xref="p1.1.m1.1.42">𝑧</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1">4</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.45">𝑂</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.51.2.5.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.47">𝑧</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.48.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.48.1">5</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle W(z)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\lim_{{w\to 0}}\left({\frac{{%
\mathrm{d}}^{{\,n-1}}}{{\mathrm{d}}w^{{\,n-1}}}}\ {\mathrm{e}}^{{-nw}}\right){%
{\frac{z^{n}}{n!}}}\,=\,\sum_{{n=1}}^{{\infty}}(-n)^{{n-1}}\,{\frac{z^{n}}{n!}%
}=z-z^{2}+{\frac{3}{2}}z^{3}-{\frac{8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (29.128 KB / 8.317 KB) :

upper W times left-parenthesis z right-parenthesis equals sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts limit Underscript w right-arrow 0 Endscripts left-parenthesis StartFraction normal d Superscript n minus 1 Baseline Over normal d times w Superscript n minus 1 Baseline EndFraction times normal e Superscript minus n times w Baseline right-parenthesis times StartFraction z Superscript n Baseline Over n factorial EndFraction equals sigma-summation Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis negative n right-parenthesis Superscript n minus 1 Baseline times StartFraction z Superscript n Baseline Over n factorial EndFraction equals z minus z squared plus three-halves times z cubed minus eight-thirds times z Superscript 4 Baseline plus upper O times left-parenthesis z Superscript 5 Baseline right-parenthesis period

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (5.455 KB / 886 B) :

W ( z ) = n = 1 lim w 0 ( d n 1 d w n 1   e n w ) z n n ! = n = 1 ( n ) n 1 z n n ! = z z 2 + 3 2 z 3 8 3 z 4 + O ( z 5 ) . {\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>W</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
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        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
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        </munderover>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>w</mi>
            <mo stretchy="false">&#x2192;<!-- → --></mo>
            <mn>0</mn>
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        </munder>
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          <mo>(</mo>
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              <mfrac>
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                    <mi>n</mi>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mrow>
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                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi mathvariant="normal">d</mi>
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                      <mi>n</mi>
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        </mrow>
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          </mfrac>
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        <mo>=</mo>
        <mspace width="thinmathspace" />
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          </mrow>
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            <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
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              <mo>!</mo>
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          </mfrac>
        </mrow>
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        <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
        <msup>
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          </mfrac>
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          </mfrac>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}</annotation>
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{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}

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