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* Page found: Lagrange inversion theorem (eq math.224056.20)

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TeX (original user input):

  W(z) =
\sum_{n=1}^{\infty}
\lim_{w \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}\ \mathrm{e}^{-nw}
\right)
{ \frac{z^n}{n!}}\,=\, \sum_{n=1}^{\infty}
(-n)^{n-1}\, \frac{z^n}{n!}=z-z^2+\frac{3}{2}z^3-\frac{8}{3}z^4+O(z^5).


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${\displaystyle W(z)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\lim_{{w\to 0}}\left({\frac{{% \mathrm{d}}^{{\,n-1}}}{{\mathrm{d}}w^{{\,n-1}}}}\ {\mathrm{e}}^{{-nw}}\right){% {\frac{z^{n}}{n!}}}\,=\,\sum_{{n=1}}^{{\infty}}(-n)^{{n-1}}\,{\frac{z^{n}}{n!}% }=z-z^{2}+{\frac{3}{2}}z^{3}-{\frac{8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle W(z)=\sum_{{n=1}}^{{\infty}}\lim_{{w\to 0}}\left({\frac{{%&#10;\mathrm{d}}^{{\,n-1}}}{{\mathrm{d}}w^{{\,n-1}}}}\ {\mathrm{e}}^{{-nw}}\right){%&#10;{\frac{z^{n}}{n!}}}\,=\,\sum_{{n=1}}^{{\infty}}(-n)^{{n-1}}\,{\frac{z^{n}}{n!}%&#10;}=z-z^{2}+{\frac{3}{2}}z^{3}-{\frac{8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.51" xref="p1.1.m1.1.51.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.51.2" xref="p1.1.m1.1.51.2.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">z</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.51.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.51.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.51.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">n</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.1.2.cmml">=</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.7.1.3.cmml">1</mn>
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</munderover>
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<munder id="p1.1.m1.1.51.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.3.2.1.cmml">
<mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">lim</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.1.cmml">w</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.10.1.2.cmml">→</mo>
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</mrow>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.51.2.5.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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</msup>
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</mrow>
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${\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}$
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}</annotation>
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${\displaystyle W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).}$

In Maple:

In Mathematica:

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## Identifiers

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