- formulasearchengine

General

Display information for equation id:math.224631.16 on revision:224631

* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.16)

Occurrences on the following pages:

Stirling's approximation Eq: math.224631.16

Hash: 10caa8bedd30a67c19f7bd2483b6b44f

TeX (original user input):

\ln(n!) = n \ln \left( \frac{n}{e} \right) + \tfrac{1}{2}\ln(n) + y + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right).

TeX (checked):

\ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (15.467 KB / 2.18 KB) :

{\displaystyle\ln(n!)=n\ln\left({\frac{n}{e}}\right)+{\tfrac{1}{2}}\ln(n)+y+% \sum_{{k=2}}^{{m}}{\frac{(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{{k-1}}}}+O\left({\frac{1}{n^{% m}}}\right).}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\ln(n!)=n\ln\left({\frac{n}{e}}\right)+{\tfrac{1}{2}}\ln(n)+y+%&#10;\sum_{{k=2}}^{{m}}{\frac{(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{{k-1}}}}+O\left({\frac{1}{n^{%&#10;m}}}\right).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">ln</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.31.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">n</mi>
              <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">!</mo>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">n</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">ln</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml">(</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.10a" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">n</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.10.3.cmml">e</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.13.2.cmml">1</mn>
              <mn id="p1.1.m1.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.13.3.cmml">2</mn>
            </mfrac>
            <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">ln</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">n</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.12a" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">+</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">y</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.12b" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.cmml">
              <munderover id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">∑</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml">=</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.22.1.3" xref="p1.1.m1.1.22.1.3.cmml">2</mn>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">m</mi>
              </munderover>
            </mstyle>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.24a" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.24.2.9" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.2.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.24.2.3" xref="p1.1.m1.1.24.2.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.2.4" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.5.1.cmml">k</mi>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.2.8" xref="p1.1.m1.1.24.2.8.cmml">⁢</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.24.2.10" xref="p1.1.m1.1.24.2.10.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.2.6" xref="p1.1.m1.1.24.2.6.cmml">B</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.24.2.7.1.cmml">k</mi>
                  </msub>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.24.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.24.3.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.1.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.3.9" xref="p1.1.m1.1.24.3.9.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.24.3.10" xref="p1.1.m1.1.24.3.10.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.3.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.10.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.24.3.10.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.10.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.24.3.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.3.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.24.3.4" xref="p1.1.m1.1.24.3.4.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.24.3.5" xref="p1.1.m1.1.24.3.5.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24.3.6" xref="p1.1.m1.1.24.3.10.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.24.3.9a" xref="p1.1.m1.1.24.3.9.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.24.3.11" xref="p1.1.m1.1.24.3.11.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.24.3.7" xref="p1.1.m1.1.24.3.7.cmml">n</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.24.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.1.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.2.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.12c" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">O</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.31.2.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.31.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.28a" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">1</mn>
                  <msup id="p1.1.m1.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.28.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.1.cmml">n</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.28.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.cmml">m</mi>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.31.2.cmml">.</mo>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.31.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">
        <eq id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.31.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.2">
          <ln id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.1.2.1">
            <factorial id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑛</ci>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2">
          <plus id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1">
            <times id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑛</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.1.2.2">
              <ln id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
                <divide id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.3">𝑒</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2">
            <times id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">
              <divide id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2">1</cn>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3">2</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.2.2.2">
              <ln id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑦</ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3">
            <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.3.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">
                  <eq id="p1.1.m1.1.22.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.22.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.1">𝑘</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1.3">2</cn>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.1">𝑚</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">
              <divide id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.24.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2">
                <times id="p1.1.m1.1.24.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.8"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.9">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.24.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.9">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.24.2.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.9.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.24.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.3">1</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.5.1">𝑘</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.10">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.24.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.10">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.6">𝐵</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.2.7.1">𝑘</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.24.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3">
                <times id="p1.1.m1.1.24.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.9"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.1">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.3.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.10">
                  <minus id="p1.1.m1.1.24.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.3">𝑘</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.5">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.24.3.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.11">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.24.3.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.11">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.7">𝑛</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.1">𝑘</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.3.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.3.8.1.3">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.31.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4">
            <times id="p1.1.m1.1.31.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝑂</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4.2">
              <divide id="p1.1.m1.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.2.2.4.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.28.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.28.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.1">𝑛</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1">𝑚</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\ln(n!)=n\ln\left({\frac{n}{e}}\right)+{\tfrac{1}{2}}\ln(n)+y+%
\sum_{{k=2}}^{{m}}{\frac{(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{{k-1}}}}+O\left({\frac{1}{n^{%
m}}}\right).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (20.779 KB / 6.145 KB) :

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (3.283 KB / 651 B) :

\ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>ln</mi>
        <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>!</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mi>n</mi>
        <mi>ln</mi>
        <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mi>n</mi>
              <mi>e</mi>
            </mfrac>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mn>2</mn>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
        <mi>ln</mi>
        <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <munderover>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>2</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>m</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>k</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <msub>
                <mi>B</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>k</mi>
                </mrow>
              </msub>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>k</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>k</mi>
              <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
              <msup>
                <mi>n</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>k</mi>
                  <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mi>O</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <msup>
                <mi>n</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>m</mi>
                </mrow>
              </msup>
            </mfrac>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln(n)+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (14.67 KB / 5.386 KB) :

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Identifiers

$n$

$n$

$n$

$e$

$n$

$y$

$k$

$m$

$k$

$B_{k}$

$k$

$k$

$n$

$k$

$O$

$n$

$m$

MathML observations

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

General

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

Translation to Mathematica

Similar pages

Identifiers

MathML observations

Navigation menu

General

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

Translation to Mathematica

Similar pages

Identifiers

MathML observations

Navigation menu

Search