Jump to navigation
Jump to search
General
Display information for equation id:math.224631.17 on revision:224631
* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.17)
(force rerendering)Occurrences on the following pages:
Hash: 1f1180d5219a3bf04549683eb077a837
TeX (original user input):
n! = e^{y} \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).
TeX (checked):
n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).
LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering
MathML (6.184 KB / 1.115 KB) :

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle n!=e^{{y}}{\sqrt{n}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}\left(1+O% \left({\frac{1}{n}}\right)\right).}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">!</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.20.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">e</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">y</mi>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.1.cmml"></mo>
<msqrt id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">n</mi>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.20.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.1.cmml"></mo>
<msup id="p1.1.m1.1.20.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">n</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">e</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">n</mi>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.20.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">O</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">1</mn>
<mi id="p1.1.m1.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">n</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">.</mo>
</mrow>
<annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
<eq id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1">
<factorial id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.20.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑒</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">𝑦</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">
<root id="p1.1.m1.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/>
<ci id="p1.1.m1.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.2">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.3">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.3.2">
<divide id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.3.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3">𝑒</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4">
<plus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑂</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.2">
<divide id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2.4.2.1.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle n!=e^{{y}}{\sqrt{n}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}\left(1+O%
\left({\frac{1}{n}}\right)\right).}</annotation>
</semantics>
</math>
SVG (10.335 KB / 3.582 KB) :
SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering
MathML (1.589 KB / 435 B) :

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
<mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
</mrow>
</msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mi>n</mi>
</msqrt>
</mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>n</mi>
<mi>e</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>O</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}</annotation>
</semantics>
</math>
SVG (7.91 KB / 3.214 KB) :
Translations to Computer Algebra Systems
Translation to Maple
In Maple:
Translation to Mathematica
In Mathematica:
Similar pages
Calculated based on the variables occurring on the entire Stirling's approximation page
Identifiers
MathML observations
0results
0results
no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php
0 results
0 results