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Display information for equation id:math.224631.19 on revision:224631

* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.19)

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TeX (original user input): 

n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).

TeX (checked): 

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (6.249 KB / 1.135 KB) :

n ! = 2 ⁢ π ⁢ n ⁢ ( n e ) n ⁢ ( 1 + O ⁢ ( 1 n ) ) . 𝑛 2 𝜋 𝑛 superscript 𝑛 𝑒 𝑛 1 𝑂 1 𝑛 {\displaystyle n!={\sqrt{2\pi n}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left(% {\frac{1}{n}}\right)\right).} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle n!={\sqrt{2\pi n}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left(%&#10;{\frac{1}{n}}\right)\right).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi>
          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">!</mo>
        </mrow>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.cmml">
          <msqrt id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.4.2.4a" xref="p1.1.m1.1.4.2.4.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml">n</mi>
            </mrow>
          </msqrt>
          <mo id="p1.1.m1.1.18.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">n</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">e</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">)</mo>
            </mrow>
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              <mn id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">+</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">O</mi>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">1</mn>
                      <mi id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">n</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">)</mo>
                </mrow>
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          </mrow>
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          <factorial id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑛</ci>
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        <apply id="p1.1.m1.1.18.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.2">
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            <root id="p1.1.m1.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3">𝑛</ci>
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          </apply>
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            <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">𝑛</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3">𝑛</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle n!={\sqrt{2\pi n}}\left({\frac{n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left(%
{\frac{1}{n}}\right)\right).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (10.575 KB / 3.696 KB) :

n factorial equals StartRoot 2 times pi times n EndRoot times left-parenthesis StartFraction n Over e EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline times left-parenthesis 1 plus upper O times left-parenthesis StartFraction 1 Over n EndFraction right-parenthesis right-parenthesis period

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.521 KB / 451 B) :

n ! = 2 π n ( n e ) n ( 1 + O ( 1 n ) ) . {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>!</mo>
        <mo>=</mo>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (8.11 KB / 3.328 KB) :

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}

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