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* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.2)

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TeX (original user input): 

\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1.

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\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.

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MathML (6.016 KB / 1.138 KB) :

lim n → ∞ ⁡ n ! 2 ⁢ π ⁢ n ⁢ ( n e ) n = 1 . subscript → 𝑛 𝑛 2 𝜋 𝑛 superscript 𝑛 𝑒 𝑛 1 {\displaystyle\lim_{{n\to\infty}}{\frac{n!}{{\sqrt{2\pi n}}\left({\frac{n}{e}}% \right)^{n}}}=1.} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{n\to\infty}}{\frac{n!}{{\sqrt{2\pi n}}\left({\frac{n}{e}}%&#10;\right)^{n}}}=1.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.7.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">→</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">∞</mi>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1a" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">⁡</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml">n</mi>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">!</mo>
              </mrow>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.2.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.4a" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.3.3.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.1.2.3.cmml">n</mi>
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                </msqrt>
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                <msup id="p1.1.m1.1.3.3.7" xref="p1.1.m1.1.3.3.7.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">(</mo>
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.3.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.3.3.cmml">e</mi>
                    </mfrac>
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                  </mrow>
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              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
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        <mn id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">1</mn>
      </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2">→</ci>
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            </apply>
          </apply>
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  </semantics>
</math>

SVG (11.556 KB / 4.285 KB) :

limit Underscript n right-arrow normal infinity Endscripts StartFraction n factorial Over StartRoot 2 times pi times n EndRoot times left-parenthesis StartFraction n Over e EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline EndFraction equals 1 period

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.669 KB / 546 B) :

lim n → ∞ n ! 2 π n ( n e ) n = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.} 
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            <mo stretchy="false">&#x2192;<!-- → --></mo>
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          </mrow>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (9.465 KB / 3.958 KB) :

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.}

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