Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.224631.27 on revision:224631

* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.27)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: 40fdc2b1875ee7f8db992755f59fc347

TeX (original user input): 

\int_0^\infty e^{n(\ln y -y)} dy \sim  \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}

TeX (checked): 

\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (7.627 KB / 1.351 KB) :

∫ 0 ∞ e n ⁢ ( ln ⁡ y - y ) ⁢ 𝑑 y ∼ 2 ⁢ π n ⁢ e - n similar-to superscript subscript 0 superscript 𝑒 𝑛 𝑦 𝑦 differential-d 𝑦 2 𝜋 𝑛 superscript 𝑒 𝑛 {\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{{n(\ln y-y)}}dy\sim{\sqrt{{\frac{2\pi}{n}}}}% e^{{-n}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{{n(\ln y-y)}}dy\sim{\sqrt{{\frac{2\pi}{n}}}}%&#10;e^{{-n}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
          <msubsup id="p1.1.m1.1.12.1.1a" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∫</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">0</mn>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">∞</mi>
          </msubsup>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.12.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">e</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.5.1.8" xref="p1.1.m1.1.5.1.8.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.1.9" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.5.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml">ln</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1a" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.5.1.4.cmml">y</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.1.5.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.5.1.6.cmml">y</mi>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.1.7" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </msup>
          <mo id="p1.1.m1.1.12.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.12.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.3.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">y</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∼</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">
        <msqrt id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.9.2a" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.9.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2.cmml">π</mi>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml">n</mi>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </msqrt>
        <mo id="p1.1.m1.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml">⁢</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">e</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">-</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">n</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">similar-to</csymbol>
        <apply id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">superscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">subscript</csymbol>
              <int id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">0</cn>
            </apply>
            <infinity id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1"/>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2">
            <times id="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.2">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑒</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">
                <times id="p1.1.m1.1.5.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.8"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑛</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.9">
                  <minus id="p1.1.m1.1.5.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.9.2.1">
                    <ln id="p1.1.m1.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.4">𝑦</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.6">𝑦</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.12.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.3">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">differential-d</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑦</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">
          <times id="p1.1.m1.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">
            <root id="p1.1.m1.1.9a.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2">
              <divide id="p1.1.m1.1.9.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2">
                <times id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.3"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.1">2</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.2.2">𝜋</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.3">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑒</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
              <minus id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">𝑛</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{{n(\ln y-y)}}dy\sim{\sqrt{{\frac{2\pi}{n}}}}%
e^{{-n}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (12.439 KB / 4.517 KB) :

integral Subscript 0 Superscript normal infinity Baseline e Superscript n times left-parenthesis ln y minus y right-parenthesis Baseline times italic d y tilde StartRoot StartFraction 2 times pi Over n EndFraction EndRoot times e Superscript negative n

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (1.598 KB / 527 B) :

∫ 0 ∞ e n ( ln ⁡ y − y ) d y ∼ 2 π n e − n {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msubsup>
          <mo>&#x222B;<!-- ∫ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </msubsup>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mi>ln</mi>
            <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
            <mi>y</mi>
            <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
            <mi>y</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mi>d</mi>
        <mi>y</mi>
        <mo>&#x223C;<!-- ∼ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mfrac>
              <mrow>
                <mn>2</mn>
                <mi>&#x03C0;<!-- π --></mi>
              </mrow>
              <mi>n</mi>
            </mfrac>
          </msqrt>
        </mrow>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (9.861 KB / 4.115 KB) :

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}dy\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}}

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Stirling's approximation page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/wiki/Special:FormulaInfo"