## General

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TeX (original user input):

\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\
&= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}-{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots  \right).
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}


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{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle n!&\displaystyle\sim% \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+{1\over 12n}+{1\over 288n^{2}% }-{139\over 51840n^{3}}-{571\over 2488320n^{4}}+\cdots\right)\\ &\displaystyle=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(2^{1% })(6n)^{1}}+{1\over(2^{3})(6n)^{2}}-{139\over(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}% -{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle n!&amp;\displaystyle\sim%&#10;\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+{1\over 12n}+{1\over 288n^{2}%&#10;}-{139\over 51840n^{3}}-{571\over 2488320n^{4}}+\cdots\right)\\&#10;&amp;\displaystyle=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(2^{1%&#10;})(6n)^{1}}+{1\over(2^{3})(6n)^{2}}-{139\over(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}%&#10;-{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}}" display="inline">
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi>
<mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">!</mo>
</mrow>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">∼</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">π</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">n</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">n</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">e</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">n</mi>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">1</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml">12</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3.cmml">n</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.cmml">1</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3.cmml">288</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4.cmml">n</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1.cmml">2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml">139</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5.cmml">51840</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.cmml">
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</msup>
</mrow>
</mfrac>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1.cmml">4</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">+</mo>
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</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">)</mo>
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<mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">π</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">n</mi>
</mrow>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">n</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">e</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">)</mo>
</mrow>
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</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml">(</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">1</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">(</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">2</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1.cmml">1</mn>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6.cmml">6</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1.cmml">1</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">1</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">(</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml">2</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml">3</mn>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6.cmml">6</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1.cmml">2</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">139</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">(</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2.cmml">2</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1.cmml">3</mn>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.8.cmml">3</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.10.cmml">5</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.13.cmml">6</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.14.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.16.1.cmml">3</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">571</mn>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2.cmml">(</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2.cmml">2</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1.cmml">6</mn>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17.cmml">⁢</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.19.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.19.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8.cmml">3</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9.cmml">⋅</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10.cmml">5</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.19.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13.cmml">6</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1.cmml">4</mn>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">+</mo>
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</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">.</mo>
</mrow>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3">𝑒</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3">
<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2">12</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3">𝑛</ci>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3">288</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2">139</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5">51840</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1">3</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">571</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7">2488320</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1">4</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">⋯</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
<root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝜋</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">𝑛</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3">𝑒</ci>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1">
<plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2">2</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1">1</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6">6</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7">𝑛</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1">1</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2">2</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1">3</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6">6</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7">𝑛</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2">139</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2">2</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1">3</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6">2</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.18">superscript</csymbol>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2">2</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1">6</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6">2</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8">3</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10">5</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20">superscript</csymbol>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13">6</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14">𝑛</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1">4</cn>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">⋯</ci>
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<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle n!&amp;\displaystyle\sim%
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-{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
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MathML (10.324 KB / 969 B) :

{\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}n!&amp;\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&amp;={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}">
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[/itex]


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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Stirling's approximation page

## Identifiers

• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$

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