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Display information for equation id:math.224631.31 on revision:224631

* Page found: Stirling's approximation (eq math.224631.31)

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Hash: 8fc3884364917a971271a20e7ee44dfe

TeX (original user input): 

\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\
&= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}-{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots  \right).
 \end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (44.256 KB / 4.483 KB) :

n ! ∼ 2 ⁢ π ⁢ n ⁢ ( n e ) n ⁢ ( 1 + 1 12 ⁢ n + 1 288 ⁢ n 2 - 139 51840 ⁢ n 3 - 571 2488320 ⁢ n 4 + ⋯ ) = 2 ⁢ π ⁢ n ⁢ ( n e ) n ⁢ ( 1 + 1 ( 2 1 ) ⁢ ( 6 ⁢ n ) 1 + 1 ( 2 3 ) ⁢ ( 6 ⁢ n ) 2 - 139 ( 2 3 ) ⁢ ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ⁢ ( 6 ⁢ n ) 3 - 571 ( 2 6 ) ⁢ ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ⁢ ( 6 ⁢ n ) 4 + ⋯ ) . 𝑛 similar-to absent 2 𝜋 𝑛 superscript 𝑛 𝑒 𝑛 1 1 12 𝑛 1 288 superscript 𝑛 2 139 51840 superscript 𝑛 3 571 2488320 superscript 𝑛 4 ⋯ missing-subexpression absent 2 𝜋 𝑛 superscript 𝑛 𝑒 𝑛 1 1 superscript 2 1 superscript 6 𝑛 1 1 superscript 2 3 superscript 6 𝑛 2 139 superscript 2 3 ⋅ 2 3 5 superscript 6 𝑛 3 571 superscript 2 6 ⋅ 2 3 5 superscript 6 𝑛 4 ⋯ {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle n!&\displaystyle\sim% \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+{1\over 12n}+{1\over 288n^{2}% }-{139\over 51840n^{3}}-{571\over 2488320n^{4}}+\cdots\right)\\ &\displaystyle=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(2^{1% })(6n)^{1}}+{1\over(2^{3})(6n)^{2}}-{139\over(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}% -{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle n!&amp;\displaystyle\sim%&#10;\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+{1\over 12n}+{1\over 288n^{2}%&#10;}-{139\over 51840n^{3}}-{571\over 2488320n^{4}}+\cdots\right)\\&#10;&amp;\displaystyle=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(2^{1%&#10;})(6n)^{1}}+{1\over(2^{3})(6n)^{2}}-{139\over(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}%&#10;-{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi>
            <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">!</mo>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">∼</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">
              <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">π</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">n</mi>
                </mrow>
              </msqrt>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">n</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">e</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">n</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.1.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">1</mn>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml">12</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.4.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3.cmml">n</mi>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.cmml">1</mn>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3.cmml">288</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6.cmml">⁢</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4.cmml">n</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml">139</mn>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5.cmml">51840</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6.cmml">n</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1.cmml">3</mn>
                          </msup>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">571</mn>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7.cmml">2488320</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8.cmml">n</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1.cmml">4</mn>
                          </msup>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">+</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">⋯</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml">
                <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">n</mi>
                  </mrow>
                </msqrt>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">n</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml">e</mi>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">1</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">+</mo>
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">1</mn>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml">
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">(</mo>
                                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">2</mn>
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1.cmml">1</mn>
                                </msup>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10.cmml">⁢</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.cmml">
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">(</mo>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">
                                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6.cmml">6</mn>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7.cmml">n</mi>
                                  </mrow>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml">)</mo>
                                </mrow>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1.cmml">1</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">+</mo>
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">1</mn>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">(</mo>
                                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml">2</mn>
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml">3</mn>
                                </msup>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.11.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.10.cmml">⁢</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.cmml">
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">(</mo>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">
                                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6.cmml">6</mn>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.cmml">n</mi>
                                  </mrow>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.12.2.2.cmml">)</mo>
                                </mrow>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.9.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">-</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">139</mn>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">(</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.2.cmml">2</mn>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.3.1.cmml">3</mn>
                              </msup>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.18.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17.cmml">⁢</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">(</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.6.cmml">2</mn>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9.cmml">⋅</mo>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.8.cmml">3</mn>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.9.cmml">⋅</mo>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.10.cmml">5</mn>
                              </mrow>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.19.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.17.cmml">⁢</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.cmml">
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">(</mo>
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.13.cmml">6</mn>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.14.cmml">n</mi>
                                </mrow>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.20.2.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.16.1.cmml">3</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
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                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">571</mn>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">
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                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1.cmml">6</mn>
                              </msup>
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                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.17.cmml">⁢</mo>
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                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.6.cmml">2</mn>
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                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.8.cmml">3</mn>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.9.cmml">⋅</mo>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.10.cmml">5</mn>
                              </mrow>
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                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.13.cmml">6</mn>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.14.cmml">n</mi>
                                </mrow>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.20.2.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.16.1.cmml">4</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
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                  </mrow>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">1</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">
                      <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2">12</cn>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.3">𝑛</ci>
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                      <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.6"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.3">288</cn>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.7">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.4">𝑛</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.5.1">2</cn>
                        </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2">139</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.8"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.5">51840</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.9">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.6">𝑛</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.7.1">3</cn>
                      </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">571</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.10"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.7">2488320</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.11">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.8">𝑛</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.3.9.1">4</cn>
                      </apply>
                    </apply>
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                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">⋯</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                <root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝜋</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.2.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">𝑛</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.3">𝑒</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3">
                <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.3.2.1.1">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">1</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">
                      <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.10"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.11">superscript</csymbol>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2">2</cn>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.3.1">1</cn>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12">superscript</csymbol>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2">
                            <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.12.2.2.1"/>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.6">6</cn>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.7">𝑛</ci>
                          </apply>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.9.1">1</cn>
                        </apply>
                      </apply>
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\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+{1\over 12n}+{1\over 288n^{2}%
}-{139\over 51840n^{3}}-{571\over 2488320n^{4}}+\cdots\right)\\
&amp;\displaystyle=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{(2^{1%
})(6n)^{1}}+{1\over(2^{3})(6n)^{2}}-{139\over(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}%
-{571\over(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots\right).\end{aligned}}}</annotation>
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SVG (38.691 KB / 7.998 KB) :

StartLayout 1st Row 1st Column n factorial 2nd Column tilde StartRoot 2 times pi times n EndRoot times left-parenthesis StartFraction n Over e EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline times left-parenthesis 1 plus StartFraction 1 Over 12 times n EndFraction plus StartFraction 1 Over 288 times n squared EndFraction minus StartFraction 139 Over 51840 times n cubed EndFraction minus StartFraction 571 Over 2488320 times n Superscript 4 Baseline EndFraction plus midline-horizontal-ellipsis right-parenthesis 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column equals StartRoot 2 times pi times n EndRoot times left-parenthesis StartFraction n Over e EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline times left-parenthesis 1 plus StartFraction 1 Over left-parenthesis 2 Superscript 1 Baseline right-parenthesis times left-parenthesis 6 times n right-parenthesis Superscript 1 Baseline EndFraction plus StartFraction 1 Over left-parenthesis 2 cubed right-parenthesis times left-parenthesis 6 times n right-parenthesis squared EndFraction minus StartFraction 139 Over left-parenthesis 2 cubed right-parenthesis times left-parenthesis 2 dot 3 dot 5 right-parenthesis times left-parenthesis 6 times n right-parenthesis cubed EndFraction minus StartFraction 571 Over left-parenthesis 2 Superscript 6 Baseline right-parenthesis times left-parenthesis 2 dot 3 dot 5 right-parenthesis times left-parenthesis 6 times n right-parenthesis Superscript 4 Baseline EndFraction plus midline-horizontal-ellipsis right-parenthesis period EndLayout

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MathML (10.324 KB / 969 B) :

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + ⋯ ) = 2 π n ( n e ) n ( 1 + 1 ( 2 1 ) ( 6 n ) 1 + 1 ( 2 3 ) ( 6 n ) 2 − 139 ( 2 3 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 3 − 571 ( 2 6 ) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n ) 4 + ⋯ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}} 
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            <mtr>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}n!&amp;\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&amp;={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (22.281 KB / 6.328 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}}-{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}

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