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\int_0^\infty \frac{2\arctan (\tfrac{t}{z})}{\exp(2 \pi t)-1}\,{\rm d}t = \ln(\Gamma (z)) - \left( z-\tfrac{1}{2} \right) \ln(z) +z - \tfrac{1}{2}\ln(2\pi).


TeX (checked):

\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan({\tfrac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t=\ln(\Gamma (z))-\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).


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${\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{2\arctan({\tfrac{t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1% }}\,{{\rm{d}}}t=\ln(\Gamma(z))-\left(z-{\tfrac{1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac{1% }{2}}\ln(2\pi).}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{2\arctan({\tfrac{t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1%&#10;}}\,{{\rm{d}}}t=\ln(\Gamma(z))-\left(z-{\tfrac{1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac{1%&#10;}{2}}\ln(2\pi).}" display="inline">
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<times id="p1.1.m1.1.36.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.36.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.1.1.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19"/>
<ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">𝑧</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.20.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.3">2</cn>
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<ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝑧</ci>
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<times id="p1.1.m1.1.36.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.2.1"/>
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<divide id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.3">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.36.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.2.2.2">
<ln id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30"/>
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<times id="p1.1.m1.1.36.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.2.2.2.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33">𝜋</ci>
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</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\frac{2\arctan({\tfrac{t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1%
}}\,{{\rm{d}}}t=\ln(\Gamma(z))-\left(z-{\tfrac{1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac{1%
}{2}}\ln(2\pi).}</annotation>
</semantics>
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${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan({\tfrac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t=\ln(\Gamma (z))-\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan({\tfrac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t=\ln(\Gamma (z))-\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}">
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<mo stretchy="false">)</mo>
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<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan({\tfrac {t}{z}})}{\exp(2\pi t)-1}}\,{\rm {d}}t=\ln(\Gamma (z))-\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln(z)+z-{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Stirling's approximation page

Identifiers

• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \Gamma }$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \pi }$

MathML observations

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