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TeX (original user input):

Q_{\lambda}^{\mu}(z) = \frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma(\lambda+\mu+1)}{2^{\lambda+1}\Gamma(\lambda+3/2)}\frac{e^{i\mu\pi}(z^2-1)^{\mu/2}}{z^{\lambda+\mu+1}} \,_2F_1 \left(\frac{\lambda+\mu+1}{2}, \frac{\lambda+\mu+2}{2}; \lambda+\frac{3}{2}; \frac{1}{z^2}\right),\qquad \text{for}\ \ |z|>1.


TeX (checked):

Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.


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MathML (25.544 KB / 3.236 KB) :

${\displaystyle Q_{{\lambda}}^{{\mu}}(z)={\frac{{\sqrt{\pi}}\ \Gamma(\lambda+% \mu+1)}{2^{{\lambda+1}}\Gamma(\lambda+3/2)}}{\frac{e^{{i\mu\pi}}(z^{2}-1)^{{% \mu/2}}}{z^{{\lambda+\mu+1}}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac{\lambda+\mu+1}{2}},{% \frac{\lambda+\mu+2}{2}};\lambda+{\frac{3}{2}};{\frac{1}{z^{2}}}\right),\qquad% {\text{for}}\ \ |z|>1.}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle Q_{{\lambda}}^{{\mu}}(z)={\frac{{\sqrt{\pi}}\ \Gamma(\lambda+%&#10;\mu+1)}{2^{{\lambda+1}}\Gamma(\lambda+3/2)}}{\frac{e^{{i\mu\pi}}(z^{2}-1)^{{%&#10;\mu/2}}}{z^{{\lambda+\mu+1}}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac{\lambda+\mu+1}{2}},{%&#10;\frac{\lambda+\mu+2}{2}};\lambda+{\frac{3}{2}};{\frac{1}{z^{2}}}\right),\qquad%&#10;{\text{for}}\ \ |z|&gt;1.}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.37">
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<mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">λ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">μ</mi>
</msubsup>
<mo id="p1.1.m1.1.37.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.37.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">z</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
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</msqrt>
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<mo id="p1.1.m1.1.8.2.11a" xref="p1.1.m1.1.8.2.11.cmml">⁢</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.8.2.5" xref="p1.1.m1.1.8.2.5.cmml">λ</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.8.2.9" xref="p1.1.m1.1.8.2.9.cmml">1</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.2.10" xref="p1.1.m1.1.8.2.12.2.cmml">)</mo>
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</mrow>
</msup>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.3.4" xref="p1.1.m1.1.8.3.13.2.cmml">(</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.8.3.5" xref="p1.1.m1.1.8.3.5.cmml">λ</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.8.3.7" xref="p1.1.m1.1.8.3.7.cmml">3</mn>
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<mn id="p1.1.m1.1.8.3.9" xref="p1.1.m1.1.8.3.9.cmml">2</mn>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.3.10" xref="p1.1.m1.1.8.3.13.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.9b" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.2.cmml">μ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.9.2.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.4.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.9.2.10" xref="p1.1.m1.1.9.2.10.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.9.2.12" xref="p1.1.m1.1.9.2.12.cmml">
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<msup id="p1.1.m1.1.9.2.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.12.2.2.1.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.9.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.5.1.cmml">2</mn>
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<mo id="p1.1.m1.1.9.2.6" xref="p1.1.m1.1.9.2.6.cmml">-</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.2.8" xref="p1.1.m1.1.9.2.12.2.2.cmml">)</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.9.2.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.9.1.2.cmml">/</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.9.3.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.2.cmml">+</mo>
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</mrow>
</msup>
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</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.4.1.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.15a" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.cmml">+</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.cmml">μ</mi>
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<mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.4.1.cmml">,</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.17.2.3" xref="p1.1.m1.1.17.2.3.cmml">μ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.17.2.2a" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.cmml">+</mo>
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</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
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<mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">λ</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
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<mfrac id="p1.1.m1.1.23a" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">1</mn>
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<mn id="p1.1.m1.1.23.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.3.2.1.cmml">2</mn>
</msup>
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</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.2.4.1.cmml">)</mo>
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</mrow>
<mo rspace="22.5pt" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.37.2.2.2.1.cmml">,</mo>
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<mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.37.2.1a.cmml"> </mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.37.2.3" xref="p1.1.m1.1.37.2.3.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.37.2.3.1.1.1.cmml">|</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.37.2.3.1.1.1.cmml">|</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">&gt;</mo>
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.35">.</mo>
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${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|&gt;1.}">
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</mfrac>
</mrow>
<mo>;</mo>
<mi>&#x03BB;<!-- λ --></mi>
<mo>+</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>3</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
<mo>;</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msup>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mspace width="2em" />
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>for</mtext>
</mrow>
<mtext>&#xA0;</mtext>
<mtext>&#xA0;</mtext>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>z</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mo>&gt;</mo>
<mn>1.</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|&gt;1.}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Legendre function page

## Identifiers

• ${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle \Gamma }$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \Gamma }$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle F_{1}}$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \mu }$
• ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle z}$

### MathML observations

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