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P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},\qquad s\in\mathbb{C}


TeX (checked):

P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}


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${\displaystyle P_{s}(x)={\frac{1}{2\pi}}\int_{{-\pi}}^{{\pi}}\left(x+{\sqrt{x^% {2}-1}}\cos\theta\right)^{s}d\theta={\frac{1}{\pi}}\int_{0}^{1}\left(x+{\sqrt{% x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac{dt}{{\sqrt{t(1-t)}}}},\qquad s\in{\mathbb{C}}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle P_{s}(x)={\frac{1}{2\pi}}\int_{{-\pi}}^{{\pi}}\left(x+{\sqrt{x^%&#10;{2}-1}}\cos\theta\right)^{s}d\theta={\frac{1}{\pi}}\int_{0}^{1}\left(x+{\sqrt{%&#10;x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac{dt}{{\sqrt{t(1-t)}}}},\qquad s\in{\mathbb{C}}}" display="inline">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
<apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">
<minus id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1"/>
<ci id="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2">𝜋</ci>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝜋</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2">
<plus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
<ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑥</ci>
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<times id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
<root id="p1.1.m1.1.14a.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
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<minus id="p1.1.m1.1.14.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.14.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1">2</cn>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.4">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2">
<cos id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
<ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝜃</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">𝑠</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.3">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">differential-d</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">𝜃</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2c.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2">
<eq id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
<share href="#p1.1.m1.1.44.2.3.cmml" id="p1.1.m1.1.44.2d.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4">
<times id="p1.1.m1.1.44.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">
<divide id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.3">𝜋</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2">
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1">0</cn>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1">1</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2">
<plus id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
<ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝑥</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">
<root id="p1.1.m1.1.29a.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
<apply id="p1.1.m1.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2">
<minus id="p1.1.m1.1.29.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.29.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.29.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.5">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.29.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.1">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.1">2</cn>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.29.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2.4">1</cn>
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</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2">
<minus id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"/>
<apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝑡</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">1</cn>
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<ci id="p1.1.m1.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.37.1">𝑠</ci>
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<divide id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38"/>
<apply id="p1.1.m1.1.38.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2">
<times id="p1.1.m1.1.38.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.1">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.38.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.2">𝑡</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.38.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3">
<root id="p1.1.m1.1.38.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2">
<times id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.7"/>
<ci id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.1">𝑡</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8">
<minus id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.3">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.5">𝑡</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.44.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3">
<in id="p1.1.m1.1.42.cmml" xref="p1.1.m1.1.42"/>
<ci id="p1.1.m1.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.41">𝑠</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43">ℂ</ci>
</apply>
</apply>
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{2}-1}}\cos\theta\right)^{s}d\theta={\frac{1}{\pi}}\int_{0}^{1}\left(x+{\sqrt{%
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${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }">
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }</annotation>
</semantics>
[/itex]


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In Maple:

In Mathematica:

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Legendre function page

## Identifiers

• ${\displaystyle P_{s}}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle \theta }$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$

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