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Legendre function Eq: math.225758.7

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TeX (original user input):

P_s(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x+\sqrt{x^2-1}\cos\theta\right)^s d\theta = \frac{1}{\pi}\int_0^1\left(x+\sqrt{x^2-1}(2t-1)\right)^s\frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}},\qquad s\in\mathbb{C}

TeX (checked):

P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}

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{\displaystyle P_{s}(x)={\frac{1}{2\pi}}\int_{{-\pi}}^{{\pi}}\left(x+{\sqrt{x^% {2}-1}}\cos\theta\right)^{s}d\theta={\frac{1}{\pi}}\int_{0}^{1}\left(x+{\sqrt{% x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac{dt}{{\sqrt{t(1-t)}}}},\qquad s\in{\mathbb{C}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle P_{s}(x)={\frac{1}{2\pi}}\int_{{-\pi}}^{{\pi}}\left(x+{\sqrt{x^%&#10;{2}-1}}\cos\theta\right)^{s}d\theta={\frac{1}{\pi}}\int_{0}^{1}\left(x+{\sqrt{%&#10;x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac{dt}{{\sqrt{t(1-t)}}}},\qquad s\in{\mathbb{C}}}" display="inline">
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            <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">P</mi>
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            <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">x</mi>
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          </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
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                <mn id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml">π</mi>
              </mrow>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.cmml">
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                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∫</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml">-</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">π</mi>
                </mrow>
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              <msup id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.cmml">
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">x</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.14.2.5" xref="p1.1.m1.1.14.2.5.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml">x</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml">2</mn>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.14.2.3" xref="p1.1.m1.1.14.2.3.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.14.2.4" xref="p1.1.m1.1.14.2.4.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                      </msqrt>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁡</mo>
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                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">s</mi>
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                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">𝑑</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">θ</mi>
              </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">=</mo>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">1</mn>
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              <msubsup id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.cmml">
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              <msup id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                            <mn id="p1.1.m1.1.29.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.29.2.2.1.cmml">2</mn>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.29.2.3" xref="p1.1.m1.1.29.2.3.cmml">-</mo>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">-</mo>
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                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.37.1.cmml">s</mi>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.38a" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.38.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.38.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.2.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.cmml">t</mi>
                  </mrow>
                  <msqrt id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.1.cmml">t</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.7" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.7.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.3.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.4.cmml">-</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.5" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.5.cmml">t</mi>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.6" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.8.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </msqrt>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo rspace="22.5pt" id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.44.1a.cmml">,</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.44.3" xref="p1.1.m1.1.44.3.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">s</mi>
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        <mi id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">ℂ</mi>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">formulae-sequence</csymbol>
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              <times id="p1.1.m1.1.44.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑃</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑠</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑥</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3">
              <times id="p1.1.m1.1.44.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">
                <divide id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.2">𝜋</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2">
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1">subscript</csymbol>
                    <int id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.2">𝜋</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝜋</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2">
                      <plus id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑥</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
                          <root id="p1.1.m1.1.14a.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">
                            <minus id="p1.1.m1.1.14.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.3"/>
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                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.5">superscript</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1">𝑥</ci>
                              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.1">2</cn>
                            </apply>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.4">1</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.2.1.2">
                          <cos id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝜃</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">𝑠</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">differential-d</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">𝜃</ci>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.3">𝜋</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.1">superscript</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2">superscript</csymbol>
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                      <plus id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝑥</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2.4.2.2.2.2.2.1.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">
                          <root id="p1.1.m1.1.29a.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.2">
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P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C}

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</math>

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$x$

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$x$

$x$

$t$

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$t$

$t$

$t$

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