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* Page found: De Rham cohomology (eq math.226368.5)

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TeX (original user input): 

\begin{align}
\forall n \in \mathbb{Z}^{+}, H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbf{R}^n \setminus \{\vec{0}\}) &\simeq \begin{cases} \mathbf{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases} \\
&\simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n-1})
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbf {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}

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MathML (19.621 KB / 2.455 KB) :

∀ n ∈ ℤ + , H dR k ⁢ ( 𝐑 n ∖ { 0 → } ) ≃ { 𝐑 if  ⁢ k = 0 , n - 1 0 if  ⁢ k ≠ 0 , n - 1 ≃ H dR k ⁢ ( S n - 1 ) for-all 𝑛 superscript ℤ superscript subscript 𝐻 dR 𝑘 superscript 𝐑 𝑛 → 0 similar-to-or-equals absent cases 𝐑 if  𝑘 0 𝑛 1 0 if  𝑘 0 𝑛 1 missing-subexpression similar-to-or-equals absent superscript subscript 𝐻 dR 𝑘 superscript 𝑆 𝑛 1 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\forall n\in\mathbb{Z% }^{+},H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbf{R}^{n}\setminus\{\vec{0}\})&\displaystyle% \simeq\begin{cases}\mathbf{R}&\mbox{if }k=0,n-1\\ 0&\mbox{if }k\neq 0,n-1\end{cases}\\ &\displaystyle\simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle\forall n\in\mathbb{Z%&#10;}^{+},H_{\mathrm{dR}}^{k}(\mathbf{R}^{n}\setminus\{\vec{0}\})&amp;\displaystyle%&#10;\simeq\begin{cases}\mathbf{R}&amp;\mbox{if }k=0,n-1\\&#10;0&amp;\mbox{if }k\neq 0,n-1\end{cases}\\&#10;&amp;\displaystyle\simeq H_{\mathrm{dR}}^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.1.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">ℤ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml">+</mo>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.1.cmml">,</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.cmml">
                <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">H</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.1.cmml">dR</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.1.cmml">k</mi>
                </msubsup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.cmml">𝐑</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.1.cmml">n</mi>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.13.cmml">∖</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.2.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.2.1.cmml">{</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.2.cmml">0</mn>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.1.cmml">→</mo>
                      </mover>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.2.1.cmml">}</mo>
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                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
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            </mrow>
          </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">≃</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml">{</mo>
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                  </mtd>
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                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.3.cmml">=</mo>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.4.cmml">0</mn>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.6.cmml">n</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.7.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.8.cmml">1</mn>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mtd>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.9.cmml">
                        <mtext id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.1a.cmml">if </mtext>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.9.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.2.cmml">k</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.3.cmml">≠</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.10.1.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.4.cmml">0</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.10.1.cmml">,</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.10.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.6.cmml">n</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.7.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.8.cmml">1</mn>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">≃</mo>
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              </msubsup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">(</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">S</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.19.3.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7">𝐻</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11">𝐑</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.1">→</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.2">0</cn>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">similar-to-or-equals</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.1">
                    <mtext id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.1">if </mtext>
                  </ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.2">𝑘</ci>
                </apply>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.4">0</cn>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.6">𝑛</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.1.8">1</cn>
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                    <mtext id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.1">if </mtext>
                  </ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.2">𝑘</ci>
                </apply>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.8">1</cn>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">similar-to-or-equals</csymbol>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">
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                </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑆</ci>
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StartLayout 1st Row 1st Column for-all n element-of double-struck upper Z Superscript plus Baseline comma upper H Subscript d upper R Superscript k Baseline times left-parenthesis bold upper R Superscript n Baseline minus left-brace ModifyingAbove 0 With right-arrow right-brace right-parenthesis 2nd Column asymptotically-equals StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column bold upper R 2nd Column if times k equals 0 comma n minus 1 2nd Row 1st Column 0 2nd Column if times k not-equals 0 comma n minus 1 EndLayout 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column asymptotically-equals upper H Subscript d upper R Superscript k Baseline times left-parenthesis upper S Superscript n minus 1 Baseline right-parenthesis EndLayout

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∀ n ∈ Z + , H d R k ( R n ∖ { 0 → } ) ≃ { R if  k = 0 , n − 1 0 if  k ≠ 0 , n − 1 ≃ H d R k ( S n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbf {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}} 
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                <mo class="MJX-variant">&#x2216;<!-- ∖ --></mo>
                <mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
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                  </mrow>
                </mrow>
                <mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>&#x2243;<!-- ≃ --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mrow>
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                    <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false">
                      <mtr>
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                            <mi mathvariant="bold">R</mi>
                          </mrow>
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SVG (17.264 KB / 6.742 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+},H_{\mathrm {dR} }^{k}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{{\vec {0}}\})&\simeq {\begin{cases}\mathbf {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}\\&\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n-1})\end{aligned}}}

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