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Display information for equation id:math.228561.3 on revision:228561

* Page found: Differentiable function (eq math.228561.3)

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Hash: 0bb159a92f286e8221a43577b6d207f2

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\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = \mathbf{0}.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (11.242 KB / 1.606 KB) :

lim 𝐡 𝟎 𝐟 ( 𝐱 𝟎 + 𝐡 ) - 𝐟 ( 𝐱 𝟎 ) - 𝐉 ( 𝐡 ) 𝐑 n 𝐡 𝐑 m = 𝟎 . subscript 𝐡 0 subscript norm 𝐟 subscript 𝐱 0 𝐡 𝐟 subscript 𝐱 0 𝐉 𝐡 superscript 𝐑 𝑛 subscript norm 𝐡 superscript 𝐑 𝑚 0 {\displaystyle{\displaystyle\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{\|\mathbf{f}(% \mathbf{x_{0}}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{x_{0}})-\mathbf{J}\mathbf{(h)}\|% _{\mathbf{R}^{n}}}{\|\mathbf{h}\|_{\mathbf{R}^{m}}}=\mathbf{0}.}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{\|\mathbf{f}(%&#10;\mathbf{x_{0}}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{x_{0}})-\mathbf{J}\mathbf{(h)}\|%&#10;_{\mathbf{R}^{n}}}{\|\mathbf{h}\|_{\mathbf{R}^{m}}}=\mathbf{0}.}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.7.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">𝐡</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">𝟎</mn>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.7.2.1a" xref="p1.1.m1.1.7.2.1.cmml"></mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.1.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.cmml">𝐟</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.3.2.4.cmml">𝐱</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.5.1.cmml">𝟎</mn>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.3.2.6.cmml">+</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.3.2.7.cmml">𝐡</mi>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.cmml">)</mo>
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                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.3.2.10.cmml">𝐟</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.11" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.3.2.12" xref="p1.1.m1.1.3.2.12.cmml">𝐱</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.3.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.13.1.cmml">𝟎</mn>
                        </msub>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.14" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.3.2.9a" xref="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.3.2.16" xref="p1.1.m1.1.3.2.16.cmml">𝐉</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.1.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.17" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.3.2.18" xref="p1.1.m1.1.3.2.18.cmml">𝐡</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.2.19" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.3.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.3.2.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.21.1.1.cmml">𝐑</mi>
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                </msup>
              </msub>
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                </msup>
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        <mn id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">𝟎</mn>
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            <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2"></ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝐡</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.3.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.9"/>
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                    <times id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.1"/>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.23.2.1.2.2.1">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.3.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.10">𝐟</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.3.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.16">𝐉</ci>
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limit Underscript bold h right-arrow bold 0 Endscripts StartFraction parallel-to bold f times left-parenthesis bold x bold 0 plus bold h right-parenthesis minus bold f times left-parenthesis bold x bold 0 right-parenthesis minus bold upper J times left-parenthesis bold h right-parenthesis parallel-to Subscript bold upper R Sub Superscript n Subscript Baseline Over parallel-to bold h parallel-to Subscript bold upper R Sub Superscript m Subscript Baseline EndFraction equals bold 0 period

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lim h 0 f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) J ( h ) R n h R m = 0 . {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=\mathbf {0} .}
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  </semantics>
</math>

SVG (11.696 KB / 4.435 KB) :

{\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=\mathbf {0} .}

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