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* Page found: Riemann–Stieltjes integral (eq math.228573.15)

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\sup \sum_i \|g(t_i)-g(t_{i+1})\|_X < \infty

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\sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}<\infty

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sup ⁡ ∑ i ∥ g ⁢ ( t i ) - g ⁢ ( t i + 1 ) ∥ X < ∞ supremum subscript 𝑖 subscript norm 𝑔 subscript 𝑡 𝑖 𝑔 subscript 𝑡 𝑖 1 𝑋 {\displaystyle\sup\sum_{i}\|g(t_{i})-g(t_{{i+1}})\|_{X}<\infty} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\sup\sum_{i}\|g(t_{i})-g(t_{{i+1}})\|_{X}&lt;\infty}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
        <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">sup</mo>
        <mo id="p1.1.m1.1.20.1a" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.20.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">i</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <msub id="p1.1.m1.1.20.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">g</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">t</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">g</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">t</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">+</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.1.1.cmml">∥</mo>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">X</mi>
          </msub>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">&lt;</mo>
      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">∞</mi>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">
        <lt id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/>
        <apply id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">supremum</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1">
            <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.1">subscript</csymbol>
              <sum id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑖</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2">subscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">norm</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑔</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑡</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑔</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑡</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">𝑖</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.3">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">𝑋</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <infinity id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19"/>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\sup\sum_{i}\|g(t_{i})-g(t_{{i+1}})\|_{X}&lt;\infty}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (11.998 KB / 4.374 KB) :

sup sigma-summation Underscript i Endscripts parallel-to g times left-parenthesis t Subscript i Baseline right-parenthesis minus g times left-parenthesis t Subscript i plus 1 Baseline right-parenthesis parallel-to Subscript upper X Baseline less-than normal infinity

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MathML (1.468 KB / 477 B) :

sup ∑ i ‖ g ( t i ) − g ( t i + 1 ) ‖ X < ∞ {\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}<\infty } 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}&lt;\infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo>
        <munder>
          <mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          </mrow>
        </munder>
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        <mi>g</mi>
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        <mo stretchy="false">)</mo>
        <msub>
          <mo fence="false" stretchy="false">&#x2016;<!-- ‖ --></mo>
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            <mi>X</mi>
          </mrow>
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        <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}&lt;\infty }</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (9.356 KB / 4.019 KB) :

{\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\|_{X}<\infty }

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