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Dominated convergence theorem Eq: math.228958.6

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TeX (original user input):

    \left | \int_S{f\,d\mu} - \int_S{f_n\,d\mu} \right|=   \left| \int_S{(f-f_n)\,d\mu} \right|\le \int_S{|f-f_n|\,d\mu}.

TeX (checked):

\left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (14.124 KB / 1.81 KB) :

{\displaystyle\left|\int_{S}{f\,d\mu}-\int_{S}{f_{n}\,d\mu}\right|=\left|\int_% {S}{(f-f_{n})\,d\mu}\right|\leq\int_{S}{|f-f_{n}|\,d\mu}.}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\left|\int_{S}{f\,d\mu}-\int_{S}{f_{n}\,d\mu}\right|=\left|\int_%&#10;{S}{(f-f_{n})\,d\mu}\right|\leq\int_{S}{|f-f_{n}|\,d\mu}.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.2.cmml">
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        <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.1.1.cmml">|</mo>
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                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">∫</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">S</mi>
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                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">μ</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.2.2.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">S</mi>
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                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">μ</mi>
                </mrow>
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          <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.44.2.2.1.1.cmml">|</mo>
        </mrow>
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          <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.1.1.cmml">|</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.44.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.1.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">S</mi>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">f</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">-</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.44.2.3.2.2.2.2.1.cmml">
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                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">𝑑</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">μ</mi>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑆</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑓</ci>
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\left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.

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