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\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right) = \binom{n+d-1}{d} = \binom{d+(n-1)}{n-1}
= \frac{(d+1)\times(d+2)\times\cdots\times(d+n-1)}{1\times2\times\cdots\times(n-1)} = \frac{1}{(n-1)!}(d+1)^{\overline{n-1}}.


TeX (checked):

\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.


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${\displaystyle\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right)={\binom{n+d-1}{d}}={\binom{d+(% n-1)}{n-1}}={\frac{(d+1)\times(d+2)\times\cdots\times(d+n-1)}{1\times 2\times% \cdots\times(n-1)}}={\frac{1}{(n-1)!}}(d+1)^{{{\overline{n-1}}}}.}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right)={\binom{n+d-1}{d}}={\binom{d+(%&#10;n-1)}{n-1}}={\frac{(d+1)\times(d+2)\times\cdots\times(d+n-1)}{1\times 2\times%&#10;\cdots\times(n-1)}}={\frac{1}{(n-1)!}}(d+1)^{{{\overline{n-1}}}}.}" display="inline">
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<plus id="p1.1.m1.1.11.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.11.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.1.1">𝑑</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2.1.6">1</cn>
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<minus id="p1.1.m1.1.11.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.3.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.11.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.3.1.1">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.3.1.3">1</cn>
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</apply>
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<ci id="p1.1.m1.1.13.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.13">⋯</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.13.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.16">𝑑</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.2.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.20">1</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.1">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.3">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.13.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.5">⋯</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.13.3.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.12">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.3.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.3.10">1</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.23.2g.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
<eq id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
<share href="#p1.1.m1.1.13.cmml" id="p1.1.m1.1.23.2h.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
<apply id="p1.1.m1.1.23.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2.3">
<times id="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<divide id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3">
<factorial id="p1.1.m1.1.15.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.6"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.7">
<minus id="p1.1.m1.1.15.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.2">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.4">1</cn>
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</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.23.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.23.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.23.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.2.2">
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">1</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1">
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<minus id="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.21.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.1">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.1.1.2.3">1</cn>
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</apply>
</apply>
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</apply>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\left(\!\!{n\choose d}\!\!\right)={\binom{n+d-1}{d}}={\binom{d+(%
n-1)}{n-1}}={\frac{(d+1)\times(d+2)\times\cdots\times(d+n-1)}{1\times 2\times%
\cdots\times(n-1)}}={\frac{1}{(n-1)!}}(d+1)^{{{\overline{n-1}}}}.}</annotation>
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${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {(d+1)\times (d+2)\times \cdots \times (d+n-1)}{1\times 2\times \cdots \times (n-1)}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{\overline {n-1}}.}$

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Cannot translate operation \times - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Cannot translate operation \times - Reason: An unknown or missing element occurred

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Calculated based on the variables occurring on the entire Monomial page

## Identifiers

• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle n}$

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