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Display information for equation id:math.230520.12 on revision:230520

* Page found: Weierstrass M-test (eq math.230520.12)

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Weierstrass M-test Eq: math.230520.12

Hash: dd7ab5adf7ee59394f4b843ad7bbf5d4

TeX (original user input):

\forall x \in A: \ \left|f(x) - \sum_{n=1}^{k} f_n(x)\right| = \left|\sum_{n=k+1}^{\infty} f_n(x)\right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} \left|f_n(x)\right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} M_n = \left|M - \sum_{n=1}^{k} M_n\right| < \varepsilon.

TeX (checked):

\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|<\varepsilon .

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (24.696 KB / 2.911 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)% \right|=\left|\sum_{n=k+1}^{\infty}f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}% \left|f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}M_{n}=\left|M-\sum_{n=1}^{k}M_{n% }\right|<\varepsilon.}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)%&#10;\right|=\left|\sum_{n=k+1}^{\infty}f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}%&#10;\left|f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}M_{n}=\left|M-\sum_{n=1}^{k}M_{n%&#10;}\right|&lt;\varepsilon.}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.63" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.63.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∀</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">x</mi>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∈</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">A</mi>
        </mrow>
        <mo rspace="7.5pt" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">:</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">f</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">x</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1.cmml">
                  <munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">∑</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">k</mi>
                  </munderover>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">f</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">n</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">x</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.1.cmml">|</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">=</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.25.1.6" xref="p1.1.m1.1.25.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.25.1.3.cmml">k</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.25.1.4" xref="p1.1.m1.1.25.1.4.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.25.1.5" xref="p1.1.m1.1.25.1.5.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">∞</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">f</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">n</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">x</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">≤</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1.cmml">
              <munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">∑</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.35.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.35.1.2" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.cmml">=</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.35.1.6" xref="p1.1.m1.1.35.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.35.1.3" xref="p1.1.m1.1.35.1.3.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.35.1.4" xref="p1.1.m1.1.35.1.4.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.35.1.5" xref="p1.1.m1.1.35.1.5.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.36.1.cmml">∞</mi>
              </munderover>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">f</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.39.1.cmml">n</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">x</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.1.1.cmml">|</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">≤</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1.cmml">
              <munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">∑</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.46.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.46.1.1" xref="p1.1.m1.1.46.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.46.1.2" xref="p1.1.m1.1.46.1.2.cmml">=</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.46.1.6" xref="p1.1.m1.1.46.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.46.1.3" xref="p1.1.m1.1.46.1.3.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.46.1.4" xref="p1.1.m1.1.46.1.4.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.46.1.5" xref="p1.1.m1.1.46.1.5.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.47.1.cmml">∞</mi>
              </munderover>
            </mstyle>
            <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.48" xref="p1.1.m1.1.48.cmml">M</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.49.1" xref="p1.1.m1.1.49.1.cmml">n</mi>
            </msub>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.50" xref="p1.1.m1.1.50.cmml">=</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.51" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.1.1.cmml">|</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.52" xref="p1.1.m1.1.52.cmml">M</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.53" xref="p1.1.m1.1.53.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1.cmml">
                  <munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.54" xref="p1.1.m1.1.54.cmml">∑</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.55.1" xref="p1.1.m1.1.55.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.55.1.1" xref="p1.1.m1.1.55.1.1.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.55.1.2" xref="p1.1.m1.1.55.1.2.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.55.1.3" xref="p1.1.m1.1.55.1.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.56.1" xref="p1.1.m1.1.56.1.cmml">k</mi>
                  </munderover>
                </mstyle>
                <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.57" xref="p1.1.m1.1.57.cmml">M</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.58.1" xref="p1.1.m1.1.58.1.cmml">n</mi>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.59" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
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          <mi id="p1.1.m1.1.61" xref="p1.1.m1.1.61.cmml">ε</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.62" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">.</mo>
    </mrow>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑓</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑥</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.1">𝑛</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1.3">1</cn>
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                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1">𝑘</ci>
                  </apply>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝑓</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">𝑛</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑥</ci>
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                      <eq id="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1.2"/>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1">𝑛</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">𝑥</ci>
                </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.39.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.1">𝑛</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.41">𝑥</ci>
                </apply>
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          <apply id="p1.1.m1.1.63.2.2e.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.2">
            <leq id="p1.1.m1.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.44"/>
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              <apply id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2">
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\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|<\varepsilon .

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                <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
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          <mo>|</mo>
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            <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
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  </semantics>
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