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TeX (original user input):

\forall x \in A: \ \left|f(x) - \sum_{n=1}^{k} f_n(x)\right| = \left|\sum_{n=k+1}^{\infty} f_n(x)\right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} \left|f_n(x)\right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} M_n = \left|M - \sum_{n=1}^{k} M_n\right| < \varepsilon.


TeX (checked):

\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|<\varepsilon .


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${\displaystyle{\displaystyle\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)% \right|=\left|\sum_{n=k+1}^{\infty}f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}% \left|f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}M_{n}=\left|M-\sum_{n=1}^{k}M_{n% }\right|<\varepsilon.}}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum_{n=1}^{k}f_{n}(x)%&#10;\right|=\left|\sum_{n=k+1}^{\infty}f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}%&#10;\left|f_{n}(x)\right|\leq\sum_{n=k+1}^{\infty}M_{n}=\left|M-\sum_{n=1}^{k}M_{n%&#10;}\right|&lt;\varepsilon.}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.63" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∀</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∈</mo>
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<mo rspace="7.5pt" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">:</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">x</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.2.2.1.cmml">
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<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">n</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">1</mn>
</mrow>
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</munderover>
</mstyle>
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</msub>
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</mrow>
</mrow>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.25.1.2.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.25.1.6" xref="p1.1.m1.1.25.1.6.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.25.1.5" xref="p1.1.m1.1.25.1.5.cmml">1</mn>
</mrow>
</mrow>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">∞</mi>
</munderover>
</mstyle>
<mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">f</mi>
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</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">x</mi>
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</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.1.cmml">|</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">≤</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.1.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.35.1.3" xref="p1.1.m1.1.35.1.3.cmml">k</mi>
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<mn id="p1.1.m1.1.35.1.5" xref="p1.1.m1.1.35.1.5.cmml">1</mn>
</mrow>
</mrow>
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</munderover>
</mstyle>
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</msub>
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</mrow>
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<mo id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.4.2.1.1.cmml">|</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.5.1.cmml">
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</mrow>
</mrow>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.47.1.cmml">∞</mi>
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<mo id="p1.1.m1.1.50" xref="p1.1.m1.1.50.cmml">=</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.52" xref="p1.1.m1.1.52.cmml">M</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.53" xref="p1.1.m1.1.53.cmml">-</mo>
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<munderover id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.54" xref="p1.1.m1.1.54.cmml">∑</mo>
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<mn id="p1.1.m1.1.55.1.3" xref="p1.1.m1.1.55.1.3.cmml">1</mn>
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</mstyle>
<msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.6.2.1.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.57" xref="p1.1.m1.1.57.cmml">M</mi>
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<mi id="p1.1.m1.1.61" xref="p1.1.m1.1.61.cmml">ε</mi>
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${\displaystyle \forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|<\varepsilon .}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|&lt;\varepsilon .}">
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<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
<munderover>
<mo>&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>k</mi>
</mrow>
</munderover>
<msub>
<mi>M</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mo>&lt;</mo>
<mi>&#x03B5;<!-- ε --></mi>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in A:\ \left|f(x)-\sum _{n=1}^{k}f_{n}(x)\right|=\left|\sum _{n=k+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=k+1}^{\infty }M_{n}=\left|M-\sum _{n=1}^{k}M_{n}\right|&lt;\varepsilon .}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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In Mathematica:

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Calculated based on the variables occurring on the entire Weierstrass M-test page

## Identifiers

• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle f_{n}}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle f_{n}}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle f_{n}}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle M_{n}}$
• ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle M_{n}}$
• ${\displaystyle \varepsilon }$

### MathML observations

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