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* Page found: Implicit function theorem (eq math.232331.13)

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TeX (original user input): 

(Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) =  \left[\begin{matrix}
 \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &
    \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
 \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix} 
 \frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
 \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\end{matrix}\right] = [X|Y]

TeX (checked): 

(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (45.866 KB / 4.283 KB) :

( D ⁢ f ) ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) = [ ∂ ⁡ f 1 ∂ ⁡ x 1 ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋯ ∂ ⁡ f 1 ∂ ⁡ x n ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ ⁡ f m ∂ ⁡ x 1 ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋯ ∂ ⁡ f m ∂ ⁡ x n ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) | ∂ ⁡ f 1 ∂ ⁡ y 1 ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋯ ∂ ⁡ f 1 ∂ ⁡ y m ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ ⁡ f m ∂ ⁡ y 1 ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ⋯ ∂ ⁡ f m ∂ ⁡ y m ⁢ ( 𝐚 , 𝐛 ) ] = [ X | Y ] 𝐷 𝑓 𝐚 𝐛 delimited-[] conditional subscript 𝑓 1 subscript 𝑥 1 𝐚 𝐛 ⋯ subscript 𝑓 1 subscript 𝑥 𝑛 𝐚 𝐛 ⋮ ⋱ ⋮ subscript 𝑓 𝑚 subscript 𝑥 1 𝐚 𝐛 ⋯ subscript 𝑓 𝑚 subscript 𝑥 𝑛 𝐚 𝐛 subscript 𝑓 1 subscript 𝑦 1 𝐚 𝐛 ⋯ subscript 𝑓 1 subscript 𝑦 𝑚 𝐚 𝐛 ⋮ ⋱ ⋮ subscript 𝑓 𝑚 subscript 𝑦 1 𝐚 𝐛 ⋯ subscript 𝑓 𝑚 subscript 𝑦 𝑚 𝐚 𝐛 delimited-[] conditional 𝑋 𝑌 {\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{% \partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{\frac{% \partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{% \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}% \right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a% }},{\mathbf{b}})&\cdots&{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{% \mathbf{b}})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{% \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\ \end{matrix}}\right]=[X|Y]} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{%&#10;\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{%&#10;\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\&#10;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\&#10;{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%&#10;\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}%&#10;\right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a%&#10;}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{%&#10;\mathbf{b}})\\&#10;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\&#10;{\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%&#10;\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\&#10;\end{matrix}}\right]=[X|Y]}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.2.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.2.2.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.23.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">D</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.2.3" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝐚</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">𝐛</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">)</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2.cmml">f</mi>
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                    </mrow>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.7.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3.cmml">𝐚</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.8.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5.cmml">𝐛</mi>
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            </mtr>
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              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.12g" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2.cmml">f</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1.cmml">m</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2.cmml">x</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1.cmml">1</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.7.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3.cmml">𝐚</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.5.cmml">𝐛</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mtd>
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.12k" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.12.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1.cmml">⋯</mi>
              </mtd>
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.12l" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2.cmml">f</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.3.1.cmml">m</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2.cmml">x</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1.cmml">n</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.7.cmml">⁢</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3.cmml">𝐚</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5.cmml">𝐛</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
          <mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">|</mo>
          <mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15b" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1.cmml">1</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1.cmml">1</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">(</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5.cmml">𝐛</mi>
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                  </mrow>
                </mrow>
              </mtd>
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15c" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.15.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml">⋯</mi>
              </mtd>
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15d" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.2.cmml">f</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.3.1.cmml">1</mn>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.2.cmml">y</mi>
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                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                  <mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7.cmml">⁢</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.8.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.3.cmml">𝐚</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.5.cmml">𝐛</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.8.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr id="p1.1.m1.1.15e" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
              <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15f" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.15.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml">⋮</mi>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.3.1">1</cn>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.2">𝑥</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.3.1">𝑛</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3">𝐚</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5">𝐛</ci>
                    </interval>
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                </matrixrow>
                <matrixrow id="p1.1.m1.1.12b.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1">⋮</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1">⋱</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.1">⋮</ci>
                </matrixrow>
                <matrixrow id="p1.1.m1.1.12c.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2">𝑓</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1">𝑚</ci>
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                      </apply>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2">𝑥</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1">1</cn>
                        </apply>
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                    <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8">
                      <ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3">𝐚</ci>
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                    </interval>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1">⋯</ci>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2">𝑥</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1">𝑛</ci>
                        </apply>
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                    <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8">
                      <ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3">𝐚</ci>
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                    </interval>
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                </matrixrow>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci>
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1">1</cn>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3">𝐚</ci>
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                    <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.8">
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                    </interval>
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                </matrixrow>
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          <eq id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.23.3.cmml" id="p1.1.m1.1.23d.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.23.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">delimited-[]</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑋</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{%
\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{%
\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\
\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\
{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}%
\right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a%
}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{%
\mathbf{b}})\\
\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\
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\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\
\end{matrix}}\right]=[X|Y]}</annotation>
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SVG (39.107 KB / 7.637 KB) :

left-parenthesis upper D times f right-parenthesis times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis equals left-bracket StartLayout 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential f 1 Over partial-differential x 1 EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Column midline-horizontal-ellipsis 3rd Column StartFraction partial-differential f 1 Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column down-right-diagonal-ellipsis 3rd Column vertical-ellipsis 3rd Row 1st Column StartFraction partial-differential f Subscript m Baseline Over partial-differential x 1 EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Column midline-horizontal-ellipsis 3rd Column StartFraction partial-differential f Subscript m Baseline Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis EndLayout vertical-bar StartLayout 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential f 1 Over partial-differential y 1 EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Column midline-horizontal-ellipsis 3rd Column StartFraction partial-differential f 1 Over partial-differential y Subscript m Baseline EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column down-right-diagonal-ellipsis 3rd Column vertical-ellipsis 3rd Row 1st Column StartFraction partial-differential f Subscript m Baseline Over partial-differential y 1 EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis 2nd Column midline-horizontal-ellipsis 3rd Column StartFraction partial-differential f Subscript m Baseline Over partial-differential y Subscript m Baseline EndFraction times left-parenthesis bold a comma bold b right-parenthesis EndLayout right-bracket equals left-bracket upper X vertical-bar upper Y right-bracket

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MathML (14.058 KB / 914 B) :

( D f ) ( a , b ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) | ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ] = [ X | Y ] {\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>D</mi>
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          <mi mathvariant="bold">a</mi>
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        <mo>,</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="bold">b</mi>
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            <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
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                      </mrow>
                    </mfrac>
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                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
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                      <mrow>
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                    <mfrac>
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                      </mrow>
                      <mrow>
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                      </mrow>
                    </mfrac>
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                      </mrow>
                    </mfrac>
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                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
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                      </mrow>
                      <mrow>
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                      </mrow>
                    </mfrac>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}</annotation>
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SVG (22.988 KB / 6.031 KB) :

{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}

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