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TeX (original user input):

(Df)(\mathbf{a},\mathbf{b}) =  \left[\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &
\cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{a},\mathbf{b})
\end{matrix}\right|\left.
\begin{matrix}
\frac{\partial f_1}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_m}{\partial y_1}(\mathbf{a},\mathbf{b}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m}(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
\end{matrix}\right] = [X|Y]


TeX (checked):

(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]


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MathML (45.866 KB / 4.283 KB) :

${\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{% \partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{\frac{% \partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{% \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}% \right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a% }},{\mathbf{b}})&\cdots&{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{% \mathbf{b}})\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&\cdots&{% \frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\ \end{matrix}}\right]=[X|Y]}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{%&#10;\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{%&#10;\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\&#10;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\&#10;{\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%&#10;\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}%&#10;\right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a%&#10;}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{%&#10;\mathbf{b}})\\&#10;\vdots&amp;\ddots&amp;\vdots\\&#10;{\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%&#10;\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\&#10;\end{matrix}}\right]=[X|Y]}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mrow id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.23.2.2.2.cmml">)</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝐚</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">,</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">𝐛</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.23.2.3.1.cmml">)</mo>
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3.cmml">𝐚</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml">,</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5.cmml">𝐛</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">|</mo>
<mtable columnspacing="5pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mtr id="p1.1.m1.1.15a" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15b" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1.cmml">1</mn>
</msub>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1.cmml">1</mn>
</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3.cmml">𝐚</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">,</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5.cmml">𝐛</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15c" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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</mtd>
<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15d" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.cmml">
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<msub id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4.cmml">
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</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.15e" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15f" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15h" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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<mtr id="p1.1.m1.1.15i" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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<mrow id="p1.1.m1.1.15.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.1.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.15.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.1.1.cmml">
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</msub>
</mrow>
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</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo id="p1.1.m1.1.15.3.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.1.7.cmml">⁢</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.15.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.1.5.cmml">𝐛</mi>
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<mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.15l" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">
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<mfrac id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.cmml">
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</mrow>
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<msub id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4.cmml">
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</msub>
</mrow>
</mfrac>
<mo id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.7" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.7.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
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</mrow>
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<divide id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.2.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.1.3.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2.1">⋯</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1">
<times id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1">
<divide id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.2.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.2">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.1.3.3.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.12b.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
<ci id="p1.1.m1.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.1.1">⋮</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.2.1">⋱</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2.3.1">⋮</ci>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.12c.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1">
<times id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1">
<divide id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.2">𝑓</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.2.3.1">𝑚</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.2">𝑥</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.1.3.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.1.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.2.1">⋯</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1">
<times id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1">
<divide id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.2.3.1">𝑚</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.2">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.1.3.3.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.3.3.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
<matrix id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<matrixrow id="p1.1.m1.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1">
<times id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1">
<divide id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.2.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.1.3.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.1.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.2.1">⋯</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1">
<times id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1">
<divide id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.2.3.1">1</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.2">𝑦</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.1.3.3.1">𝑚</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.1.3.1.5">𝐛</ci>
</interval>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.15b.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<ci id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1">⋮</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.2.1">⋱</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.3.1">⋮</ci>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.15c.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">
<apply id="p1.1.m1.1.15.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.1.1">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.2">𝑓</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.2.3.1">𝑚</ci>
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<apply id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3">
<partialdiff id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.4">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.1.3.2">𝑦</ci>
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<interval closure="open" id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.8">
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.3">𝐚</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.15.3.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.3.3.1.5">𝐛</ci>
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<eq id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
<share href="#p1.1.m1.1.23.3.cmml" id="p1.1.m1.1.23d.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
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<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.23.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">delimited-[]</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.23.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.4.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20">conditional</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑋</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑌</ci>
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</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle(Df)({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})=\left[{\begin{matrix}{\frac{%
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\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\end{matrix}}%
\right|\left.{\begin{matrix}{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a%
}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{%
\mathbf{b}})\\
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{\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})&amp;\cdots&amp;{%
\frac{\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}({\mathbf{a}},{\mathbf{b}})\\
\end{matrix}}\right]=[X|Y]}</annotation>
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MathML (14.058 KB / 914 B) :

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}">
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &amp;\ddots &amp;\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&amp;\cdots &amp;{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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In Mathematica:

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Implicit function theorem page

## Identifiers

• ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{1}}$
• ${\displaystyle x_{1}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{1}}$
• ${\displaystyle x_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{m}}$
• ${\displaystyle x_{1}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{m}}$
• ${\displaystyle x_{n}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{1}}$
• ${\displaystyle y_{1}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{1}}$
• ${\displaystyle y_{m}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{m}}$
• ${\displaystyle y_{1}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle f_{m}}$
• ${\displaystyle y_{m}}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$
• ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle Y}$

### MathML observations

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