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Display information for equation id:math.233485.19 on revision:233485

* Page found: Neyman–Pearson lemma (eq math.233485.19)

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Hash: aed955d0a153685b950f21c27b83cdfb

TeX (original user input):

 = \frac{1}{\eta}P(R_{NP}^c \cap R_A, \theta_0) = \frac{1}{\eta}\int_{R_{NP}^c \cap R_A} L(\theta_{0}|x)\,dx \geq \int_{R_{NP}^c\cap R_A} L(\theta_{1}|x)dx  = P(R_{NP}^c \cap R_A, \theta_1).

TeX (checked):

={\frac {1}{\eta }}P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{0})={\frac {1}{\eta }}\int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}L(\theta _{0}|x)\,dx\geq \int _{R_{NP}^{c}\cap R_{A}}L(\theta _{1}|x)dx=P(R_{NP}^{c}\cap R_{A},\theta _{1}).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (24.081 KB / 3.042 KB) :

= 1 η P ( R N P c R A , θ 0 ) = 1 η R N P c R A L ( θ 0 | x ) 𝑑 x R N P c R A L ( θ 1 | x ) 𝑑 x = P ( R N P c R A , θ 1 ) . absent 1 𝜂 𝑃 superscript subscript 𝑅 𝑁 𝑃 𝑐 subscript 𝑅 𝐴 subscript 𝜃 0 1 𝜂 subscript superscript subscript 𝑅 𝑁 𝑃 𝑐 subscript 𝑅 𝐴 𝐿 conditional subscript 𝜃 0 𝑥 differential-d 𝑥 subscript superscript subscript 𝑅 𝑁 𝑃 𝑐 subscript 𝑅 𝐴 𝐿 conditional subscript 𝜃 1 𝑥 differential-d 𝑥 𝑃 superscript subscript 𝑅 𝑁 𝑃 𝑐 subscript 𝑅 𝐴 subscript 𝜃 1 {\displaystyle={\frac{1}{\eta}}P(R_{{NP}}^{c}\cap R_{A},\theta_{0})={\frac{1}{% \eta}}\int_{{R_{{NP}}^{c}\cap R_{A}}}L(\theta_{{0}}|x)\,dx\geq\int_{{R_{{NP}}^% {c}\cap R_{A}}}L(\theta_{{1}}|x)dx=P(R_{{NP}}^{c}\cap R_{A},\theta_{1}).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle={\frac{1}{\eta}}P(R_{{NP}}^{c}\cap R_{A},\theta_{0})={\frac{1}{%&#10;\eta}}\int_{{R_{{NP}}^{c}\cap R_{A}}}L(\theta_{{0}}|x)\,dx\geq\int_{{R_{{NP}}^%&#10;{c}\cap R_{A}}}L(\theta_{{1}}|x)dx=P(R_{{NP}}^{c}\cap R_{A},\theta_{1}).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
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              <mn id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">1</mn>
              <mi id="p1.1.m1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.2.3.cmml">η</mi>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.55.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.1.cmml"></mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">P</mi>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.1.cmml">(</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">R</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">N</mi>
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                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">c</mi>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">1</mn>
              <mi id="p1.1.m1.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">η</mi>
            </mfrac>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.55.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.1.cmml">N</mi>
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                    </mrow>
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                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">𝑑</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.55.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.55.2.5.1a" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.1.cmml">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.55.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.cmml">
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                <mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">|</mo>
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              </mrow>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.55.2.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.1.cmml"></mo>
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              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">𝑑</mo>
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            </mrow>
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          <mi id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.42.cmml">P</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.55.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.55.2.6.2" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.1.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">R</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.45.1" xref="p1.1.m1.1.45.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.45.1.1" xref="p1.1.m1.1.45.1.1.cmml">N</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.45.1.3" xref="p1.1.m1.1.45.1.3.cmml"></mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.45.1.2" xref="p1.1.m1.1.45.1.2.cmml">P</mi>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.46.1.cmml">c</mi>
              </msubsup>
              <mo id="p1.1.m1.1.47" xref="p1.1.m1.1.47.cmml"></mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.48" xref="p1.1.m1.1.48.cmml">R</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.49.1" xref="p1.1.m1.1.49.1.cmml">A</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.50" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.1.cmml">,</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.55.2.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.51" xref="p1.1.m1.1.51.cmml">θ</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.52.1.cmml">1</mn>
            </msub>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.53" xref="p1.1.m1.1.55.2.6.2.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.54" xref="p1.1.m1.1.55.2.cmml">.</mo>
    </mrow>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.55.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.2">absent</csymbol>
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              <divide id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">1</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.3">𝜂</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑃</ci>
            <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2">
                <intersect id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝑅</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.1">𝑁</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1.2">𝑃</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">𝑐</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝑅</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">𝐴</ci>
                </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.3.2.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝜃</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.1">0</cn>
              </apply>
            </interval>
          </apply>
        </apply>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">1</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3">𝜂</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2">
              <apply id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.17"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">
                  <intersect id="p1.1.m1.1.18.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.4"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.18.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.7">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.7">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.18.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.7">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.7">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.1">𝑅</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.3"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.1">𝑁</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.18.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.2">𝑃</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.3.1">𝑐</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.18.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.8">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.8">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.5">𝑅</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.6.1">𝐴</ci>
                  </apply>
                </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝐿</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">conditional</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝜃</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">0</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑥</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.4.2.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">differential-d</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑥</ci>
                </apply>
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          </apply>
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          <geq id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.55.2.4.cmml" id="p1.1.m1.1.55.2f.cmml" xref="p1.1.m1.1.55"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.55.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.1">subscript</csymbol>
              <int id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1">
                <intersect id="p1.1.m1.1.31.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.31.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.7">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.7">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.31.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.7">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.31.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.7">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.1">𝑅</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.31.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.2.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.31.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.2.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.31.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.2.1.1">𝑁</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.31.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.2.1.2">𝑃</ci>
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                  </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.31.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.5">𝑅</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.31.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.31.1.6.1">𝐴</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">𝐿</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36">conditional</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.2.2.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">𝜃</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1">1</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">𝑥</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.55.2.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.55.2.5.2.3">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.39">differential-d</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.40">𝑥</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.44">𝑅</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.45.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.45.1.1">𝑁</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.46.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.1">𝑐</ci>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.52.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.52.1">1</cn>
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