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Display information for equation id:math.233485.26 on revision:233485

* Page found: Neyman–Pearson lemma (eq math.233485.26)

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Hash: 4f17c72956ce177af4b6c89c786d9e04

TeX (original user input):

\Lambda(\mathbf{x}) = \frac{L\left(\sigma_0^2;\mathbf{x}\right)}{L\left(\sigma_1^2;\mathbf{x}\right)} = 
\left(\frac{\sigma_0^2}{\sigma_1^2}\right)^{-n/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\sigma_0^{-2}-\sigma_1^{-2})\sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu\right)^2\right\}.

TeX (checked):

\Lambda (\mathbf {x} )={\frac {L\left(\sigma _{0}^{2};\mathbf {x} \right)}{L\left(\sigma _{1}^{2};\mathbf {x} \right)}}=\left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right)^{-n/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}(\sigma _{0}^{-2}-\sigma _{1}^{-2})\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\right\}.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (20.621 KB / 2.589 KB) :

Λ ( 𝐱 ) = L ( σ 0 2 ; 𝐱 ) L ( σ 1 2 ; 𝐱 ) = ( σ 0 2 σ 1 2 ) - n / 2 exp { - 1 2 ( σ 0 - 2 - σ 1 - 2 ) i = 1 n ( x i - μ ) 2 } . normal-Λ 𝐱 L superscript subscript σ 0 2 𝐱 L superscript subscript σ 1 2 𝐱 superscript superscript subscript σ 0 2 superscript subscript σ 1 2 n 2 1 2 superscript subscript σ 0 2 superscript subscript σ 1 2 superscript subscript i 1 n superscript subscript x i μ 2 {\displaystyle\Lambda({\mathbf{x}})={\frac{L\left(\sigma_{0}^{2};{\mathbf{x}}% \right)}{L\left(\sigma_{1}^{2};{\mathbf{x}}\right)}}=\left({\frac{\sigma_{0}^{% 2}}{\sigma_{1}^{2}}}\right)^{{-n/2}}\exp\left\{-{\frac{1}{2}}(\sigma_{0}^{{-2}% }-\sigma_{1}^{{-2}})\sum_{{i=1}}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right\}.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\Lambda({\mathbf{x}})={\frac{L\left(\sigma_{0}^{2};{\mathbf{x}}%&#10;\right)}{L\left(\sigma_{1}^{2};{\mathbf{x}}\right)}}=\left({\frac{\sigma_{0}^{%&#10;2}}{\sigma_{1}^{2}}}\right)^{{-n/2}}\exp\left\{-{\frac{1}{2}}(\sigma_{0}^{{-2}%&#10;}-\sigma_{1}^{{-2}})\sum_{{i=1}}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}\right\}.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.37a" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.37.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Λ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.37.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.37.2.2">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">𝐱</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml">L</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.2.9" xref="p1.1.m1.1.6.2.9.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.10" xref="p1.1.m1.1.6.2.10.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2">(</mo>
                <msubsup id="p1.1.m1.1.6.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.10.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">σ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.1.cmml">0</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml">2</mn>
                </msubsup>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.2.6">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.6.2.7" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.cmml">𝐱</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.2.8">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">L</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.3.9" xref="p1.1.m1.1.6.3.9.cmml"></mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.2">(</mo>
                <msubsup id="p1.1.m1.1.6.3.10.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.10.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.3.cmml">σ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.4.1.cmml">1</mn>
                  <mn id="p1.1.m1.1.6.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.5.1.cmml">2</mn>
                </msubsup>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.6">;</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.6.3.7" xref="p1.1.m1.1.6.3.7.cmml">𝐱</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.6.3.8">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.37.3" xref="p1.1.m1.1.37.3.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.37.3.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.8">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml">σ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.1.cmml">0</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.1.cmml">2</mn>
                  </msubsup>
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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                    <mn id="p1.1.m1.1.9.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.1.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.9.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.1.cmml">2</mn>
                  </msubsup>
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              </mstyle>
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            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">/</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml">2</mn>
              </mrow>
            </mrow>
          </msup>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.1.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">-</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2.cmml">
                      <msubsup id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">σ</mi>
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">-</mo>
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                        </mrow>
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml">-</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.23.1.2" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.cmml">2</mn>
                        </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.1.cmml"></mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.1.cmml">
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                          <mi id="p1.1.m1.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.1.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.26.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.1.2.cmml">=</mo>
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                      </munderover>
                    </mstyle>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.28">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.3.2.2.2.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.37.3.3.2.1.1.3.2.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">x</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">i</mi>
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