Jump to navigation Jump to search

General

Display information for equation id:math.240443.23 on revision:240443

* Page found: Jeffreys prior (eq math.240443.23)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: cbf0d871a5d1ecafabfffa2f1bb8762b

TeX (original user input): 

\begin{align}p(\sigma) & \propto \sqrt{I(\sigma)}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[ \left( \frac{d}{d\sigma} \log f(x|\sigma) \right)^2\right]}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[ \left( \frac{(x - \mu)^2-\sigma^2}{\sigma^3} \right)^2 \right]} \\
& = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x|\sigma)\left(\frac{(x-\mu)^2-\sigma^2}{\sigma^3}\right)^2 dx}
= \sqrt{\frac{2}{\sigma^2}}
\propto \frac{1}{\sigma}.
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (35.196 KB / 4.019 KB) :

p ⁢ ( σ ) ∝ I ⁢ ( σ ) = E ⁡ [ ( d d ⁢ σ ⁢ log ⁡ f ⁢ ( x | σ ) ) 2 ] = E ⁡ [ ( ( x - μ ) 2 - σ 2 σ 3 ) 2 ] = ∫ - ∞ + ∞ f ⁢ ( x | σ ) ⁢ ( ( x - μ ) 2 - σ 2 σ 3 ) 2 ⁢ 𝑑 x = 2 σ 2 ∝ 1 σ . 𝑝 𝜎 proportional-to absent 𝐼 𝜎 E superscript 𝑑 𝑑 𝜎 𝑓 conditional 𝑥 𝜎 2 E superscript superscript 𝑥 𝜇 2 superscript 𝜎 2 superscript 𝜎 3 2 missing-subexpression absent superscript subscript 𝑓 conditional 𝑥 𝜎 superscript superscript 𝑥 𝜇 2 superscript 𝜎 2 superscript 𝜎 3 2 differential-d 𝑥 2 superscript 𝜎 2 proportional-to 1 𝜎 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p(\sigma)&\displaystyle\propto{% \sqrt{I(\sigma)}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{d}{d\sigma}}\log f% (x|\sigma)\right)^{2}\right]}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{(x-% \mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\ &\displaystyle={\sqrt{\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}f(x|\sigma)\left({\frac{(x-% \mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt{{\frac{2}{\sigma^{2}}}% }}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p(\sigma)&amp;\displaystyle\propto{%&#10;\sqrt{I(\sigma)}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{d}{d\sigma}}\log&#10;f%&#10;(x|\sigma)\right)^{2}\right]}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{(x-%&#10;\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&#10;&amp;\displaystyle={\sqrt{\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}f(x|\sigma)\left({\frac{(x-%&#10;\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt{{\frac{2}{\sigma^{2}}}%&#10;}}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">∝</mo>
            <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">I</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">σ</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </msqrt>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">
                <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml">E</mi>
                </mpadded>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">[</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2.cmml">d</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1.cmml">d</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2.cmml">σ</mi>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml">log</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7.cmml">f</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.cmml">x</mi>
                            <mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10.cmml">|</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">σ</mi>
                          </mrow>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">]</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </msqrt>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">=</mo>
            <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">
                <mpadded width="-1.7pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml">E</mi>
                </mpadded>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">[</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">(</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.cmml">
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.cmml">
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">(</mo>
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2.cmml">x</mi>
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3.cmml">-</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4.cmml">μ</mi>
                                </mrow>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7.cmml">-</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8.cmml">σ</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1.cmml">σ</mi>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1.cmml">3</mn>
                          </msup>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">]</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </msqrt>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
              <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.cmml">
                    <msubsup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">∫</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2.cmml">∞</mi>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.1.cmml">+</mo>
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2.cmml">∞</mi>
                      </mrow>
                    </msubsup>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">f</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.cmml">x</mi>
                        <mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.cmml">|</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8.cmml">σ</mi>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">(</mo>
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.cmml">
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.cmml">
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">(</mo>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2.cmml">x</mi>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3.cmml">-</mo>
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4.cmml">μ</mi>
                                  </mrow>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">)</mo>
                                </mrow>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7.cmml">-</mo>
                              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8.cmml">σ</mi>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1.cmml">σ</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1.cmml">3</mn>
                            </msup>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4.cmml">
                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14.cmml">𝑑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msqrt>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
              <msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2.cmml">2</mn>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1.cmml">σ</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </msqrt>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">∝</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">σ</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">.</mo>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">
            <times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">proportional-to</csymbol>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">
                <root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1">𝐼</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3">𝜎</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">
                <root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1">E</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5">
                        <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2">𝑑</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3">
                          <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1">𝑑</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2">𝜎</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2">
                        <log id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7">𝑓</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3">
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10">conditional</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9">𝑥</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11">𝜎</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1">E</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.2">
                      <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.2"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10">superscript</csymbol>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2">
                            <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2">𝑥</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4">𝜇</ci>
                          </apply>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1">2</cn>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8">𝜎</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1">2</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1">𝜎</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1">3</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                <root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">subscript</csymbol>
                      <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.1"/>
                        <infinity id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.1.2"/>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.1"/>
                      <infinity id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2"/>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4">𝑓</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7">conditional</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6">𝑥</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8">𝜎</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.2">
                        <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.2"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10">superscript</csymbol>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2">
                              <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3"/>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2">𝑥</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4">𝜇</ci>
                            </apply>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1">2</cn>
                          </apply>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8">𝜎</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1">2</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1">𝜎</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1">3</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1">2</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14">differential-d</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">
                <root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2">2</cn>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1">𝜎</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">proportional-to</csymbol>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3">𝜎</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p(\sigma)&amp;\displaystyle\propto{%
\sqrt{I(\sigma)}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{d}{d\sigma}}\log
f%
(x|\sigma)\right)^{2}\right]}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{(x-%
\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\
&amp;\displaystyle={\sqrt{\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}f(x|\sigma)\left({\frac{(x-%
\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt{{\frac{2}{\sigma^{2}}}%
}}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (35.952 KB / 9.339 KB) :

StartLayout 1st Row 1st Column p times left-parenthesis sigma right-parenthesis 2nd Column proportional-to StartRoot upper I times left-parenthesis sigma right-parenthesis EndRoot equals StartRoot normal upper E left-bracket left-parenthesis StartFraction d Over d times sigma EndFraction times log f times left-parenthesis x vertical-bar sigma right-parenthesis right-parenthesis squared right-bracket EndRoot equals StartRoot normal upper E left-bracket left-parenthesis StartFraction left-parenthesis x minus mu right-parenthesis squared minus sigma squared Over sigma cubed EndFraction right-parenthesis squared right-bracket EndRoot 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column equals StartRoot integral Subscript negative normal infinity Superscript plus normal infinity Baseline f times left-parenthesis x vertical-bar sigma right-parenthesis times left-parenthesis StartFraction left-parenthesis x minus mu right-parenthesis squared minus sigma squared Over sigma cubed EndFraction right-parenthesis squared times italic d x EndRoot equals StartRoot StartFraction 2 Over sigma squared EndFraction EndRoot proportional-to StartFraction 1 Over sigma EndFraction period EndLayout

SVG (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (9.319 KB / 1.119 KB) :

p ( σ ) ∝ I ( σ ) = E [ ( d d σ log ⁡ f ( x | σ ) ) 2 ] = E [ ( ( x − μ ) 2 − σ 2 σ 3 ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ f ( x | σ ) ( ( x − μ ) 2 − σ 2 σ 3 ) 2 d x = 2 σ 2 ∝ 1 σ . {\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&amp;\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&amp;={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
            <mtr>
              <mtd>
                <mi>p</mi>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>&#x221D;<!-- ∝ --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <mi>I</mi>
                    <mo stretchy="false">(</mo>
                    <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <mi mathvariant="normal">E</mi>
                    <mspace width="negativethinmathspace" />
                    <mrow>
                      <mo>[</mo>
                      <msup>
                        <mrow>
                          <mo>(</mo>
                          <mrow>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <mfrac>
                                <mi>d</mi>
                                <mrow>
                                  <mi>d</mi>
                                  <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                                </mrow>
                              </mfrac>
                            </mrow>
                            <mi>log</mi>
                            <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
                            <mi>f</mi>
                            <mo stretchy="false">(</mo>
                            <mi>x</mi>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                              <mo stretchy="false">|</mo>
                            </mrow>
                            <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                            <mo stretchy="false">)</mo>
                          </mrow>
                          <mo>)</mo>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo>]</mo>
                    </mrow>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <mi mathvariant="normal">E</mi>
                    <mspace width="negativethinmathspace" />
                    <mrow>
                      <mo>[</mo>
                      <msup>
                        <mrow>
                          <mo>(</mo>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mfrac>
                              <mrow>
                                <mo stretchy="false">(</mo>
                                <mi>x</mi>
                                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                                <mi>&#x03BC;<!-- μ --></mi>
                                <msup>
                                  <mo stretchy="false">)</mo>
                                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                    <mn>2</mn>
                                  </mrow>
                                </msup>
                                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                                <msup>
                                  <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                    <mn>2</mn>
                                  </mrow>
                                </msup>
                              </mrow>
                              <msup>
                                <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mn>3</mn>
                                </mrow>
                              </msup>
                            </mfrac>
                          </mrow>
                          <mo>)</mo>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo>]</mo>
                    </mrow>
                  </msqrt>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <msubsup>
                      <mo>&#x222B;<!-- ∫ --></mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                        <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mo>+</mo>
                        <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
                      </mrow>
                    </msubsup>
                    <mi>f</mi>
                    <mo stretchy="false">(</mo>
                    <mi>x</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mo stretchy="false">|</mo>
                    </mrow>
                    <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <msup>
                      <mrow>
                        <mo>(</mo>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mfrac>
                            <mrow>
                              <mo stretchy="false">(</mo>
                              <mi>x</mi>
                              <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                              <mi>&#x03BC;<!-- μ --></mi>
                              <msup>
                                <mo stretchy="false">)</mo>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mn>2</mn>
                                </mrow>
                              </msup>
                              <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                              <msup>
                                <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                  <mn>2</mn>
                                </mrow>
                              </msup>
                            </mrow>
                            <msup>
                              <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                                <mn>3</mn>
                              </mrow>
                            </msup>
                          </mfrac>
                        </mrow>
                        <mo>)</mo>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mn>2</mn>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mi>d</mi>
                    <mi>x</mi>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <mfrac>
                      <mn>2</mn>
                      <msup>
                        <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
                      </msup>
                    </mfrac>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mo>&#x221D;<!-- ∝ --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
                    <mi>&#x03C3;<!-- σ --></mi>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>.</mo>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&amp;\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&amp;={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (22.443 KB / 7.652 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}

Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Jeffreys prior page

Identifiers

MathML observations

0results

0results

no statistics present please run the maintenance script ExtractFeatures.php

0 results

0 results

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/wiki/Special:FormulaInfo"