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TeX (original user input):

\begin{align}p(\sigma) & \propto \sqrt{I(\sigma)}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[ \left( \frac{d}{d\sigma} \log f(x|\sigma) \right)^2\right]}
= \sqrt{\operatorname{E}\!\left[ \left( \frac{(x - \mu)^2-\sigma^2}{\sigma^3} \right)^2 \right]} \\
& = \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x|\sigma)\left(\frac{(x-\mu)^2-\sigma^2}{\sigma^3}\right)^2 dx}
= \sqrt{\frac{2}{\sigma^2}}
\propto \frac{1}{\sigma}.
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}

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MathML (35.196 KB / 4.019 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p(\sigma)&\displaystyle\propto{% \sqrt{I(\sigma)}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{d}{d\sigma}}\log f% (x|\sigma)\right)^{2}\right]}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{(x-% \mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\ &\displaystyle={\sqrt{\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}f(x|\sigma)\left({\frac{(x-% \mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt{{\frac{2}{\sigma^{2}}}% }}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p(\sigma)&amp;\displaystyle\propto{%&#10;\sqrt{I(\sigma)}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{d}{d\sigma}}\log&#10;f%&#10;(x|\sigma)\right)^{2}\right]}}={\sqrt{\operatorname{E}\!\left[\left({\frac{(x-%&#10;\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&#10;&amp;\displaystyle={\sqrt{\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}f(x|\sigma)\left({\frac{(x-%&#10;\mu)^{2}-\sigma^{2}}{\sigma^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt{{\frac{2}{\sigma^{2}}}%&#10;}}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}}" display="inline">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">σ</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml"></mo>
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml">I</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml">σ</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">[</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2.cmml">d</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1.cmml">d</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2.cmml">σ</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2.cmml">
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</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">(</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">σ</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml">]</mo>
</mrow>
</mrow>
</msqrt>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">
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<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7.cmml">-</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.cmml">
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</msup>
</mrow>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1.cmml">3</mn>
</msup>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml">]</mo>
</mrow>
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</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">
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<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.1.2.cmml"></mi>
</mrow>
</msubsup>
</mstyle>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.cmml">x</mi>
<mo lspace="2.5pt" rspace="2.5pt" stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.7.cmml">|</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.8.cmml">σ</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml"></mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.cmml">
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.2.cmml">x</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.3.cmml">-</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.4.cmml">μ</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.10.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.6.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.7.cmml">-</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.11.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8.cmml">σ</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1.cmml">2</mn>
</msup>
</mrow>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1.cmml">σ</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1.cmml">3</mn>
</msup>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4.cmml">
<mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14.cmml">𝑑</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2.cmml">2</mn>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1.cmml">σ</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1.cmml">2</mn>
</msup>
</mfrac>
</mstyle>
</msqrt>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml"></mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">1</mn>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">σ</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">.</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
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<times id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝜎</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">proportional-to</csymbol>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">
<root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.5"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.1">𝐼</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.3">𝜎</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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<root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17">
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1">E</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.2">𝑑</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.1">𝑑</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5.3.2">𝜎</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.2">
<log id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7">𝑓</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.17.1.2.2.3">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10">conditional</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11">𝜎</ci>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.14.1">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
<share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
<root id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10">
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1">E</ci>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.10.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.10.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.3"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.2">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.4">𝜇</ci>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.6.1">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.11">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.8">𝜎</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.2.9.1">2</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.1">𝜎</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.5.3.2.1">3</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.7.1">2</cn>
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<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">superscript</csymbol>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.16">subscript</csymbol>
<int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1"/>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.6">𝑥</ci>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.3">superscript</csymbol>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.8">𝜎</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.2.9.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.1">𝜎</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.11.3.2.1">3</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.13.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.17.4">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.14">differential-d</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.15">𝑥</ci>
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<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
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<root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.2">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.1">𝜎</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.1.3.2.1">2</cn>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">proportional-to</csymbol>
<share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3">𝜎</ci>
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}}\propto{\frac{1}{\sigma}}.\end{aligned}}}</annotation>
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{\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma )&amp;\propto {\sqrt {I(\sigma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\sigma }}\log f(x|\sigma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}\right]}}\\&amp;={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x|\sigma )\left({\frac {(x-\mu )^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{3}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {\frac {2}{\sigma ^{2}}}}\propto {\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}">
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[/itex]

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In Mathematica:

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Jeffreys prior page

## Identifiers

• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle I}$
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