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Display information for equation id:math.246446.24 on revision:246446

* Page found: Enumerative combinatorics (eq math.246446.24)

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Hash: beb59291fd264a82c99fad35db2e23fa

TeX (original user input):

\begin{align}
p_n & = [x^n] P(x) = [x^n] \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2} \\[6pt]
& = [x^n] \frac{1}{2} - [x^n] \frac{1}{2} \sqrt{1-4x} \\[6pt]
& = -\frac{1}{2} [x^n] \sum^{\infty}_{k=0} {\frac{1}{2} \choose k} (-4x)^k \\[6pt]
& = -\frac{1}{2} {\frac{1}{2} \choose n} (-4)^n \\[6pt]
& = \frac{1}{n} {2n-2 \choose n-1}
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}p_{n}&=[x^{n}]P(x)=[x^{n}]{\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2}}\\[6pt]&=[x^{n}]{\frac {1}{2}}-[x^{n}]{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4x}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}[x^{n}]\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose k}(-4x)^{k}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}} \choose n}(-4)^{n}\\[6pt]&={\frac {1}{n}}{2n-2 \choose n-1}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (40.751 KB / 4.383 KB) :

p n = [ x n ] P ( x ) = [ x n ] 1 - 1 - 4 x 2 = [ x n ] 1 2 - [ x n ] 1 2 1 - 4 x = - 1 2 [ x n ] k = 0 ( 1 2 k ) ( - 4 x ) k = - 1 2 ( 1 2 n ) ( - 4 ) n = 1 n ( 2 n - 2 n - 1 ) subscript 𝑝 𝑛 absent delimited-[] superscript 𝑥 𝑛 𝑃 𝑥 delimited-[] superscript 𝑥 𝑛 1 1 4 𝑥 2 missing-subexpression absent delimited-[] superscript 𝑥 𝑛 1 2 delimited-[] superscript 𝑥 𝑛 1 2 1 4 𝑥 missing-subexpression absent 1 2 delimited-[] superscript 𝑥 𝑛 superscript subscript 𝑘 0 binomial 1 2 𝑘 superscript 4 𝑥 𝑘 missing-subexpression absent 1 2 binomial 1 2 𝑛 superscript 4 𝑛 missing-subexpression absent 1 𝑛 binomial 2 𝑛 2 𝑛 1 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p_{n}&\displaystyle=[x^{n}]P(x)=[% x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\ &\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\ &\displaystyle=-{\frac{1}{2}}[x^{n}]\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{{\frac{1}{2}}% \choose k}(-4x)^{k}\\ &\displaystyle=-{\frac{1}{2}}{{\frac{1}{2}}\choose n}(-4)^{n}\\ &\displaystyle={\frac{1}{n}}{2n-2\choose n-1}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p_{n}&amp;\displaystyle=[x^{n}]P(x)=[%&#10;x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\&#10;&amp;\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\&#10;&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}[x^{n}]\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{{\frac{1}{2}}%&#10;\choose k}(-4x)^{k}\\&#10;&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}{{\frac{1}{2}}\choose n}(-4)^{n}\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{n}}{2n-2\choose n-1}\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">n</mi>
          </msub>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">[</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">x</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">]</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">P</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">x</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.1.cmml">[</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">x</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.1.cmml">]</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml"></mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml">-</mo>
                    <msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.1.cmml">1</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.2.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3.cmml">4</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1.cmml"></mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.4.cmml">x</mi>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">2</mn>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.1.cmml">[</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">x</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">n</mi>
                  </msup>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1.cmml"></mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.1.cmml">[</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">x</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">n</mi>
                  </msup>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml"></mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml"></mo>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.cmml">4</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1.cmml"></mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.1.cmml">[</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">x</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml">n</mi>
                  </msup>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml">
                    <munderover id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml"></mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1.cmml">k</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2.cmml">=</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3.cmml">0</mn>
                      </mrow>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml"></mi>
                    </munderover>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">(</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
                        <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2.cmml">1</mn>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3.cmml">2</mn>
                          </mfrac>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.cmml">k</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1.cmml"></mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">-</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">4</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1.cmml"></mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">x</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">k</mi>
                    </msup>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2.cmml">1</mn>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3.cmml">2</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml"></mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
                    <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2.cmml">1</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3.cmml">n</mi>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml"></mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">4</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml">n</mi>
                </msup>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1n" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">=</mo>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3.cmml">n</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">(</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
                  <mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1.cmml">2</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1.cmml"></mo>
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                      </mrow>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4.cmml">2</mn>
                    </mrow>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3.cmml">1</mn>
                    </mrow>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
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            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">absent</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">1</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">
                  <root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1">1</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3">4</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4">𝑥</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">
              <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2">1</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">delimited-[]</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝑥</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1">𝑛</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1">
                        <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3">0</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                    <infinity id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1"/>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5">binomial</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2">
                        <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2">1</cn>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3">2</cn>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3">𝑘</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1">
                          <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1"/>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">4</cn>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">𝑥</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1">𝑘</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11">
              <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2">1</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5">binomial</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2">1</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3">𝑛</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">4</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1">𝑛</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1m.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4">absent</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5">
              <times id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2">1</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5">binomial</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2">𝑛</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.1">𝑛</ci>
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x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\
&amp;\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\
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