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Display information for equation id:math.246446.24 on revision:246446

* Page found: Enumerative combinatorics (eq math.246446.24)

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Hash: beb59291fd264a82c99fad35db2e23fa

TeX (original user input):

\begin{align}
p_n & = [x^n] P(x) = [x^n] \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2} \\[6pt]
& = [x^n] \frac{1}{2} - [x^n] \frac{1}{2} \sqrt{1-4x} \\[6pt]
& = -\frac{1}{2} [x^n] \sum^{\infty}_{k=0} {\frac{1}{2} \choose k} (-4x)^k \\[6pt]
& = -\frac{1}{2} {\frac{1}{2} \choose n} (-4)^n \\[6pt]
& = \frac{1}{n} {2n-2 \choose n-1}
\end{align}


TeX (checked):

{\begin{aligned}p_{n}&=[x^{n}]P(x)=[x^{n}]{\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2}}\\[6pt]&=[x^{n}]{\frac {1}{2}}-[x^{n}]{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4x}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}[x^{n}]\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose k}(-4x)^{k}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}} \choose n}(-4)^{n}\\[6pt]&={\frac {1}{n}}{2n-2 \choose n-1}\end{aligned}}


### LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (40.751 KB / 4.383 KB) :

{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p_{n}&\displaystyle=[x^{n}]P(x)=[% x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\ &\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\ &\displaystyle=-{\frac{1}{2}}[x^{n}]\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{{\frac{1}{2}}% \choose k}(-4x)^{k}\\ &\displaystyle=-{\frac{1}{2}}{{\frac{1}{2}}\choose n}(-4)^{n}\\ &\displaystyle={\frac{1}{n}}{2n-2\choose n-1}\end{aligned}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p_{n}&amp;\displaystyle=[x^{n}]P(x)=[%&#10;x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\&#10;&amp;\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\&#10;&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}[x^{n}]\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{{\frac{1}{2}}%&#10;\choose k}(-4x)^{k}\\&#10;&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}{{\frac{1}{2}}\choose n}(-4)^{n}\\&#10;&amp;\displaystyle={\frac{1}{n}}{2n-2\choose n-1}\end{aligned}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
<mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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</msub>
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<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">[</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">x</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">n</mi>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">P</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">(</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">x</mi>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.1.cmml">[</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">x</mi>
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</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">⁢</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml">-</mo>
<msqrt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.1.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.2.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3.cmml">4</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.1.cmml">[</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">x</mi>
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</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1.cmml">⁢</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
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</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">-</mo>
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<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">n</mi>
</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.1.cmml">]</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">⁢</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">⁢</mo>
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.cmml">4</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1.cmml">⁢</mo>
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</mrow>
</mrow>
</msqrt>
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</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml">⁢</mo>
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</msup>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.1.cmml">]</mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml">⁢</mo>
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<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml">
<munderover id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml">
<mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">∑</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml">
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<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3.cmml">0</mn>
</mrow>
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">∞</mi>
</munderover>
</mstyle>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.cmml">k</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">4</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">x</mi>
</mrow>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">k</mi>
</msup>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">-</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2.cmml">1</mn>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3.cmml">2</mn>
</mfrac>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3.cmml">n</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml">)</mo>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml">⁢</mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">4</mn>
</mrow>
<mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml">)</mo>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml">n</mi>
</msup>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1n" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2.cmml">1</mn>
<mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3.cmml">n</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1.cmml">⁢</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
<mfrac linethickness="0pt" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1.cmml">⁢</mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2.cmml">n</mi>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4.cmml">2</mn>
</mrow>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2.cmml">-</mo>
<mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3.cmml">1</mn>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝑛</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝑃</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑥</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑥</ci>
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<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.3">4</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.2.4">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3">2</cn>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3">2</cn>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">delimited-[]</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
<divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">
<root id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.3">4</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.4">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">delimited-[]</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.2.2">superscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">𝑥</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3">
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.1">subscript</csymbol>
<sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1">𝑘</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3">0</cn>
</apply>
</apply>
<infinity id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1"/>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.5">binomial</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.1.3">2</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3">𝑘</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.3.2.2.2.2.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">4</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">𝑥</ci>
</apply>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1">𝑘</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11">
<minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3">
<divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.3">2</cn>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.5">binomial</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.2">1</cn>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.3">2</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2">superscript</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.2.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">4</cn>
</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1">𝑛</ci>
</apply>
</apply>
</apply>
</apply>
</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<cerror id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1m.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
</cerror>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
<eq id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1"/>
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4">absent</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5">
<times id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.1"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2">
<divide id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.2">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.3">𝑛</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.5">binomial</csymbol>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2">
<minus id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.3"/>
<apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5">
<times id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.2">𝑛</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.2.4">2</cn>
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<minus id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.2"/>
<ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.1">𝑛</ci>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.3.3.3">1</cn>
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</apply>
</apply>
</matrixrow>
</matrix>
</annotation-xml>
<annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle p_{n}&amp;\displaystyle=[x^{n}]P(x)=[%
x^{n}]{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2}}\\
&amp;\displaystyle=[x^{n}]{\frac{1}{2}}-[x^{n}]{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-4x}}\\
&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}[x^{n}]\sum_{{k=0}}^{{\infty}}{{\frac{1}{2}}%
\choose k}(-4x)^{k}\\
&amp;\displaystyle=-{\frac{1}{2}}{{\frac{1}{2}}\choose n}(-4)^{n}\\
&amp;\displaystyle={\frac{1}{n}}{2n-2\choose n-1}\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
[/itex]


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{\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=[x^{n}]P(x)=[x^{n}]{\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2}}\\[6pt]&=[x^{n}]{\frac {1}{2}}-[x^{n}]{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-4x}}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}[x^{n}]\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{2}} \choose k}(-4x)^{k}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}{{\frac {1}{2}} \choose n}(-4)^{n}\\[6pt]&={\frac {1}{n}}{2n-2 \choose n-1}\end{aligned}}}

## Translations to Computer Algebra Systems

### Translation to Maple

In Maple:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

### Translation to Mathematica

In Mathematica:

Empty expression tag - Reason: An unknown or missing element occurred

## Similar pages

Calculated based on the variables occurring on the entire Enumerative combinatorics page

## Identifiers

• ${\displaystyle p_{n}}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle n}$

### MathML observations

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