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* Page found: Chebyshev rational functions (eq math.249810.2)

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Chebyshev rational functions Eq: math.249810.2

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R_{n+1}(x)=2\,\frac{x-1}{x+1}R_n(x)-R_{n-1}(x)\quad\mathrm{for\,n\ge 1}

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R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1}

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{\displaystyle R_{{n+1}}(x)=2\,{\frac{x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{{n-1}}(x)\quad{% \mathrm{for\,n\geq 1}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle R_{{n+1}}(x)=2\,{\frac{x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{{n-1}}(x)\quad{%&#10;\mathrm{for\,n\geq 1}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.30.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">R</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">+</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.30.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">x</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">
            <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">2</mn>
            </mpadded>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml">x</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.9.2.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">x</mi>
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                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">R</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">n</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">x</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">-</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">R</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml">-</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.17.1.3" xref="p1.1.m1.1.17.1.3.cmml">1</mn>
              </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.30.1a.cmml"> </mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.30.3" xref="p1.1.m1.1.30.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.30.3.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.1.cmml">
          <mpadded width="+1.7pt" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24a" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">for</mi>
          </mpadded>
          <mo id="p1.1.m1.1.30.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.3.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">n</mi>
        </mrow>
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        <mn id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">1</mn>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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                <divide id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.2.1">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.3.1">𝑥</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑅</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">𝑛</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑥</ci>
            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝑅</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.17.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.1">𝑛</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.3">1</cn>
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            <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">n</ci>
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        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle R_{{n+1}}(x)=2\,{\frac{x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{{n-1}}(x)\quad{%
\mathrm{for\,n\geq 1}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle R_{n+1}(x)=2\,{\frac {x-1}{x+1}}R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>R</mi>
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  </semantics>
</math>

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