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Display information for equation id:math.255296.40 on revision:255296

* Page found: Square root of 5 (eq math.255296.40)

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Hash: e6fc5b2ef383d5601320d211a99b857b

TeX (original user input):

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).

TeX (checked):

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (21.783 KB / 2.588 KB) :

1 1 + e - 2 π 1 + e - 4 π 1 + e - 6 π 1 + = ( 5 + 5 2 - 5 + 1 2 ) e 2 π / 5 = e 2 π / 5 ( φ 5 - φ ) . continued-fraction 1 1 continued-fraction superscript 𝑒 2 𝜋 1 continued-fraction superscript 𝑒 4 𝜋 1 continued-fraction superscript 𝑒 6 𝜋 1 5 5 2 5 1 2 superscript 𝑒 2 𝜋 5 superscript 𝑒 2 𝜋 5 𝜑 5 𝜑 {\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{% \cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{% \frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{% \sqrt{5}}}}-\varphi\right).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{%&#10;\cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{%&#10;\frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{%&#10;\sqrt{5}}}}-\varphi\right).}" display="inline">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">+</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.1.cmml">-</mo>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.1.3.cmml">/</mo>
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          </msup>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.12.1.3" xref="p1.1.m1.1.12.1.3.cmml">/</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.12.1.4" xref="p1.1.m1.1.12.1.4.cmml">5</mn>
            </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.14.2.3" xref="p1.1.m1.1.14.2.3.cmml"></mo>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.14.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.2.2.cmml">5</mn>
                  </msqrt>
                </mrow>
              </msqrt>
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              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">φ</mi>
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\frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{%
\sqrt{5}}}}-\varphi\right).}</annotation>
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SVG (21.862 KB / 5.641 KB) :

ContinuedFraction 1 Over 1 plus StartFraction e Superscript minus 2 times pi Baseline Over 1 plus StartFraction e Superscript minus 4 times pi Baseline Over 1 plus StartFraction e Superscript minus 6 times pi Baseline Over 1 plus down-right-diagonal-ellipsis equals left-parenthesis NestedStartRoot StartFraction 5 plus StartRoot 5 EndRoot Over 2 EndFraction NestedEndRoot minus StartFraction StartRoot 5 EndRoot plus 1 Over 2 EndFraction right-parenthesis times e Superscript 2 times pi slash 5 Baseline equals e Superscript 2 times pi slash 5 Baseline times left-parenthesis NestedStartRoot phi times StartRoot 5 EndRoot NestedEndRoot minus phi right-parenthesis period

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MathML (8.72 KB / 971 B) :

1 1 + e 2 π 1 + e 4 π 1 + e 6 π 1 + = ( 5 + 5 2 5 + 1 2 ) e 2 π / 5 = e 2 π / 5 ( φ 5 φ ) . {\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}">
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                              </mrow>
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                          </mrow>
                        </mstyle>
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                                        </mrow>
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