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TeX (original user input):

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).


TeX (checked):

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).


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${\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{% \cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{% \frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{% \sqrt{5}}}}-\varphi\right).}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{%&#10;\cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{%&#10;\frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{%&#10;\sqrt{5}}}}-\varphi\right).}" display="inline">
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<minus id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.1"/>
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<times id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.4.1"/>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.1">1</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.3.3">⋱</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.2.3.2">5</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1.1">2</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.19.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.2.3.2">superscript</csymbol>
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<times id="p1.1.m1.1.12.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.5.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.1">2</cn>
<ci id="p1.1.m1.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.2">𝜋</ci>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1.4">5</cn>
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${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}">
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Calculated based on the variables occurring on the entire Square root of 5 page

## Identifiers

• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle \varphi }$
• ${\displaystyle \varphi }$

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