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Display information for equation id:math.255296.40 on revision:255296

* Page found: Square root of 5 (eq math.255296.40)

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Square root of 5 Eq: math.255296.40

Hash: e6fc5b2ef383d5601320d211a99b857b

TeX (original user input):

\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).

TeX (checked):

{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (21.783 KB / 2.588 KB) :

{\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{% \cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{% \frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{% \sqrt{5}}}}-\varphi\right).}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\cfrac{1}{1+{\cfrac{e^{{-2\pi}}}{1+{\cfrac{e^{{-4\pi}}}{1+{%&#10;\cfrac{e^{{-6\pi}}}{1+\ddots}}}}}}}}=\left({\sqrt{{\frac{5+{\sqrt{5}}}{2}}}}-{%&#10;\frac{{\sqrt{5}}+1}{2}}\right)e^{{2\pi/5}}=e^{{2\pi/5}}\left({\sqrt{\varphi{%&#10;\sqrt{5}}}}-\varphi\right).}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.2.cmml">
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            <mn id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn>
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              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">+</mo>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.4.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.2.cmml">2</mn>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.2.2.1.3.cmml">π</mi>
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                    </mrow>
                  </msup>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">1</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">+</mo>
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                              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.2.cmml">4</mn>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo>
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                          </mrow>
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                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.cmml">
                                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.4.cmml">
                                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.2.cmml">6</mn>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.3.3.3.3.3.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.4.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.2.1.cmml">5</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.4.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.1.2.2.cmml">+</mo>
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                    </msqrt>
                    <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.cmml">+</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.9.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.9.1.2.cmml">π</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.9.1.3.cmml">/</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.9.1.4" xref="p1.1.m1.1.9.1.4.cmml">5</mn>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.19.2.3" xref="p1.1.m1.1.19.2.3.cmml">
          <msup id="p1.1.m1.1.19.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.19.2.3.2.cmml">
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                <mn id="p1.1.m1.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.1.cmml">2</mn>
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            </mrow>
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                  </msqrt>
                </mrow>
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            </mrow>
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{\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).

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