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Display information for equation id:math.259862.19 on revision:259862

* Page found: Gauss's lemma (Riemannian geometry) (eq math.259862.19)

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TeX (original user input):

T_0\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}  \Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p(vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\gamma(1,p,vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}= \gamma'(t,p,v)\Big\vert_{t=0}=v.

TeX (checked):

T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (23.455 KB / 2.825 KB) :

T 0 exp p ( v ) = d d t ( exp p α ( t ) ) | t = 0 = d d t ( exp p ( v t ) ) | t = 0 = d d t ( γ ( 1 , p , v t ) ) | t = 0 = γ ( t , p , v ) | t = 0 = v . subscript 𝑇 0 subscript 𝑝 𝑣 evaluated-at d d 𝑡 subscript 𝑝 𝛼 𝑡 𝑡 0 evaluated-at d d 𝑡 subscript 𝑝 𝑣 𝑡 𝑡 0 evaluated-at d d 𝑡 𝛾 1 𝑝 𝑣 𝑡 𝑡 0 evaluated-at superscript 𝛾 𝑡 𝑝 𝑣 𝑡 0 𝑣 {\displaystyle T_{0}\exp_{p}(v)={\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}% \exp_{p}\circ\alpha(t){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{\mathrm{d}}}{{% \mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\exp_{p}(vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{% \mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\gamma(1,p,vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}% }=\gamma^{\prime}(t,p,v){\Big{|}}_{{t=0}}=v.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle T_{0}\exp_{p}(v)={\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}%&#10;\exp_{p}\circ\alpha(t){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{\mathrm{d}}}{{%&#10;\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\exp_{p}(vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{%&#10;\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\gamma(1,p,vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}%&#10;}=\gamma^{\prime}(t,p,v){\Big{|}}_{{t=0}}=v.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.63" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">
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          <msub id="p1.1.m1.1.63.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">T</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">0</mn>
          </msub>
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              <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">exp</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">p</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">v</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.63.2.2.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
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                  </mrow>
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                <mo maxsize="160%" minsize="160%" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.63.2.3.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">exp</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">p</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml"></mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">α</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.63.2.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.3.2.2.2.2.1.cmml"></mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">t</mi>
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                  </mrow>
                </mrow>
                <mo maxsize="160%" minsize="160%" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.63.2.3.2.2.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo fence="true" maxsize="160%" minsize="160%" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.63.2.3.1.1.cmml">|</mo>
          </mrow>
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          </mrow>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.22a" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.1.cmml">
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                    <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">exp</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">p</mi>
                  </msub>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.4.2.2.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">v</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">t</mi>
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            <mo id="p1.1.m1.1.32.1.2" xref="p1.1.m1.1.32.1.2.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.32.1.3" xref="p1.1.m1.1.32.1.3.cmml">0</mn>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.cmml">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">γ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1.cmml"></mo>
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            </mrow>
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        </msub>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">d</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.34.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.2">𝑡</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2">
                <times id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.36">𝛾</ci>
                <vector id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2">
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.40">𝑝</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.42.cmml" xref="p1.1.m1.1.42">𝑣</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43">𝑡</ci>
                  </apply>
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            </apply>
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              <eq id="p1.1.m1.1.47.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.47.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.47.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.47.1.1">𝑡</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.47.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.47.1.3">0</cn>
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          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.63.2g.cmml" xref="p1.1.m1.1.63">
          <eq id="p1.1.m1.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.48"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.63.2.5.cmml" id="p1.1.m1.1.63.2h.cmml" xref="p1.1.m1.1.63"/>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.63.2.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58">evaluated-at</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.49.cmml" xref="p1.1.m1.1.49">𝛾</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.50.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.50.1"></ci>
              </apply>
              <vector id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.3">
                <ci id="p1.1.m1.1.52.cmml" xref="p1.1.m1.1.52">𝑡</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.54.cmml" xref="p1.1.m1.1.54">𝑝</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.56.cmml" xref="p1.1.m1.1.56">𝑣</ci>
              </vector>
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              <ci id="p1.1.m1.1.59.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.59.1.1">𝑡</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.59.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.59.1.3">0</cn>
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        <apply id="p1.1.m1.1.63.2i.cmml" xref="p1.1.m1.1.63">
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          <ci id="p1.1.m1.1.61.cmml" xref="p1.1.m1.1.61">𝑣</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle T_{0}\exp_{p}(v)={\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}%
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\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\exp_{p}(vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{%
\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\gamma(1,p,vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}%
}=\gamma^{\prime}(t,p,v){\Big{|}}_{{t=0}}=v.}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (24.859 KB / 6.097 KB) :

upper T 0 times exp Subscript p Baseline left-parenthesis v right-parenthesis equals StartFraction normal d Over normal d times t EndFraction times left-parenthesis exp Subscript p Baseline ring alpha times left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis vertical-bar Subscript t equals 0 Baseline equals StartFraction normal d Over normal d times t EndFraction times left-parenthesis exp Subscript p Baseline left-parenthesis v times t right-parenthesis right-parenthesis vertical-bar Subscript t equals 0 Baseline equals StartFraction normal d Over normal d times t EndFraction times left-parenthesis gamma times left-parenthesis 1 comma p comma v times t right-parenthesis right-parenthesis vertical-bar Subscript t equals 0 Baseline equals gamma prime times left-parenthesis t comma p comma v right-parenthesis vertical-bar Subscript t equals 0 Baseline equals v period

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MathML (6.001 KB / 719 B) :

T 0 exp p ( v ) = d d t ( exp p α ( t ) ) | t = 0 = d d t ( exp p ( v t ) ) | t = 0 = d d t ( γ ( 1 , p , v t ) ) | t = 0 = γ ( t , p , v ) | t = 0 = v . {\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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          </mfrac>
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</math>

SVG (15.947 KB / 5.096 KB) :

{\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}

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