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* Page found: Gauss's lemma (Riemannian geometry) (eq math.259862.19)

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Gauss's lemma (Riemannian geometry) Eq: math.259862.19

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TeX (original user input):

T_0\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}  \Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p(vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\gamma(1,p,vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}= \gamma'(t,p,v)\Big\vert_{t=0}=v.

TeX (checked):

T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (23.455 KB / 2.825 KB) :

{\displaystyle T_{0}\exp_{p}(v)={\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}% \exp_{p}\circ\alpha(t){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{\mathrm{d}}}{{% \mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\exp_{p}(vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{% \mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\gamma(1,p,vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}% }=\gamma^{\prime}(t,p,v){\Big{|}}_{{t=0}}=v.}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle T_{0}\exp_{p}(v)={\frac{{\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}%&#10;\exp_{p}\circ\alpha(t){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{\mathrm{d}}}{{%&#10;\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\exp_{p}(vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}}={\frac{{%&#10;\mathrm{d}}}{{\mathrm{d}}t}}{\Bigl{(}}\gamma(1,p,vt){\Bigr{)}}{\Big{|}}_{{t=0}%&#10;}=\gamma^{\prime}(t,p,v){\Big{|}}_{{t=0}}=v.}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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              <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">exp</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">p</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">p</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">∘</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">α</mi>
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                <mo maxsize="160%" minsize="160%" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.63.2.3.2.2.2.2.cmml">)</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.20.1.3" xref="p1.1.m1.1.20.1.3.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </msub>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.63.2.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.63.2.4.1.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.63.2.5.2.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
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              <msup id="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.6.2.2.2.cmml">
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            </mrow>
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          </mrow>
        </msub>
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T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}">
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  </semantics>
</math>

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$p$

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$\mathrm {d}$

$\mathrm {d}$

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$t$

$t$

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$\mathrm {d}$

$t$

$p$

$v$

$t$

$t$

$\mathrm {d}$

$\mathrm {d}$

$t$

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$p$

$v$

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$t$

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