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* Page found: Gauss's lemma (Riemannian geometry) (eq math.259862.74)

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TeX (original user input):

\frac{\partial}{\partial t}\left\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle=\left\langle\underbrace{\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}, \frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle + \left\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle = \left\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\right\rangle=\frac12\frac{\partial }{\partial s}\left\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\right\rangle.


TeX (checked):

{\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .


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MathML (29.706 KB / 3.297 KB) :

${\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}\left\langle{\frac{\partial f}{% \partial t}},{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle=\left\langle% \underbrace{{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{% \frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle+\left\langle{\frac{\partial f}{% \partial t}},{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right% \rangle=\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{D}{\partial s}}{% \frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{% \partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{% \partial t}}\right\rangle.}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}\left\langle{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}},{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle=\left\langle%&#10;\underbrace{{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{%&#10;\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle+\left\langle{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}},{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right%&#10;\rangle=\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{D}{\partial s}}{%&#10;\frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{%&#10;\partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}}\right\rangle.}" display="inline">
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</mstyle>
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</mfrac>
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\frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{%
\partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{%
\partial t}}\right\rangle.}</annotation>
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${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}$
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}">
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Calculated based on the variables occurring on the entire Gauss's lemma (Riemannian geometry) page

## Identifiers

• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle s}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle t}$

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