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Display information for equation id:math.259862.74 on revision:259862

* Page found: Gauss's lemma (Riemannian geometry) (eq math.259862.74)

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Hash: d4332941ce597f285df1b749a1bd9ad9

TeX (original user input):

\frac{\partial}{\partial t}\left\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle=\left\langle\underbrace{\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}, \frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle + \left\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}\right\rangle = \left\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\right\rangle=\frac12\frac{\partial }{\partial s}\left\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\right\rangle.

TeX (checked):

{\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (29.706 KB / 3.297 KB) :

t f t , f s = D t f t = 0 , f s + f t , D t f s = f t , D s f t = 1 2 s f t , f t . 𝑡 𝑓 𝑡 𝑓 𝑠 subscript 𝐷 𝑡 𝑓 𝑡 absent 0 𝑓 𝑠 𝑓 𝑡 𝐷 𝑡 𝑓 𝑠 𝑓 𝑡 𝐷 𝑠 𝑓 𝑡 1 2 𝑠 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 {\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}\left\langle{\frac{\partial f}{% \partial t}},{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle=\left\langle% \underbrace{{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{% \frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle+\left\langle{\frac{\partial f}{% \partial t}},{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right% \rangle=\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{D}{\partial s}}{% \frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{% \partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{% \partial t}}\right\rangle.}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}}\left\langle{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}},{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle=\left\langle%&#10;\underbrace{{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{%&#10;\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle+\left\langle{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}},{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right%&#10;\rangle=\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{D}{\partial s}}{%&#10;\frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{%&#10;\partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{%&#10;\partial t}}\right\rangle.}" display="inline">
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                </mrow>
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\partial t}},{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle=\left\langle%
\underbrace{{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial t}}}_{{=0}},{%
\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle+\left\langle{\frac{\partial f}{%
\partial t}},{\frac{D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right%
\rangle=\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{D}{\partial s}}{%
\frac{\partial f}{\partial t}}\right\rangle={\frac{1}{2}}{\frac{\partial}{%
\partial s}}\left\langle{\frac{\partial f}{\partial t}},{\frac{\partial f}{%
\partial t}}\right\rangle.}</annotation>
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StartFraction partial differential Over partial differential t EndFraction left angle bracket StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction comma StartFraction partial differential f Over partial differential s EndFraction right angle bracket equals left angle bracket ModifyingBelow StartFraction upper D Over partial differential t EndFraction StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction With bottom brace Underscript equals 0 Endscripts comma StartFraction partial differential f Over partial differential s EndFraction right angle bracket plus left angle bracket StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction comma StartFraction upper D Over partial differential t EndFraction StartFraction partial differential f Over partial differential s EndFraction right angle bracket equals left angle bracket StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction comma StartFraction upper D Over partial differential s EndFraction StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction right angle bracket equals one half StartFraction partial differential Over partial differential s EndFraction left angle bracket StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction comma StartFraction partial differential f Over partial differential t EndFraction right angle bracket period

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t f t , f s = D t f t = 0 , f s + f t , D t f s = f t , D s f t = 1 2 s f t , f t . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}">
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SVG (16.623 KB / 4.227 KB) :

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}

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