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Display information for equation id:math.261977.0 on revision:261977

* Page found: Askey–Gasper inequality (eq math.261977.0)

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\sum_{k=0}^n \frac{P_k^{(\alpha,\beta)}(x)}{P_k^{(\beta,\alpha)}(1)} \ge 0

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\sum _{k=0}^{n}{\frac {P_{k}^{(\alpha ,\beta )}(x)}{P_{k}^{(\beta ,\alpha )}(1)}}\geq 0

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MathML (7.682 KB / 1.271 KB) :

k = 0 n P k ( α , β ) ( x ) P k ( β , α ) ( 1 ) 0 superscript subscript 𝑘 0 𝑛 superscript subscript 𝑃 𝑘 𝛼 𝛽 𝑥 superscript subscript 𝑃 𝑘 𝛽 𝛼 1 0 {\displaystyle\sum_{{k=0}}^{n}{\frac{P_{k}^{{(\alpha,\beta)}}(x)}{P_{k}^{{(% \beta,\alpha)}}(1)}}\geq 0}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\sum_{{k=0}}^{n}{\frac{P_{k}^{{(\alpha,\beta)}}(x)}{P_{k}^{{(%&#10;\beta,\alpha)}}(1)}}\geq 0}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.1.cmml">
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            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"></mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">n</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.4a" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.2.1.cmml">k</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.6.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.2.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.6.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.4.cmml">β</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.6.cmml">)</mo>
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              </msubsup>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.4.2.5.cmml">x</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.4.3.8" xref="p1.1.m1.1.4.3.8.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml">P</mi>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.6.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.2.cmml">β</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.6.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.4.cmml">α</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.6.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </msubsup>
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                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">(</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.4.3.5" xref="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml">1</mn>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.3.6" xref="p1.1.m1.1.4.3.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.7.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1.1">subscript</csymbol>
              <sum id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
                <eq id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑘</ci>
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            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑛</ci>
          </apply>
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            <divide id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">
              <times id="p1.1.m1.1.4.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.7"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.8">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.2.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.8">superscript</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.1">𝑃</ci>
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                </apply>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.2">𝛼</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.2.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2.3.1.4">𝛽</ci>
                </interval>
              </apply>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3">
              <times id="p1.1.m1.1.4.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.7"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.4.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.4.3.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.4.3.8.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.8">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.1">𝑃</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.2.1">𝑘</ci>
                </apply>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.2">𝛽</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.3.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.3.1.4">𝛼</ci>
                </interval>
              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.4.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.3.5">1</cn>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">0</cn>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\sum_{{k=0}}^{n}{\frac{P_{k}^{{(\alpha,\beta)}}(x)}{P_{k}^{{(%
\beta,\alpha)}}(1)}}\geq 0}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (12.232 KB / 4.181 KB) :

sigma-summation Underscript k equals 0 Overscript n Endscripts StartFraction upper P Subscript k Superscript left-parenthesis alpha comma beta right-parenthesis Baseline times left-parenthesis x right-parenthesis Over upper P Subscript k Superscript left-parenthesis beta comma alpha right-parenthesis Baseline times left-parenthesis 1 right-parenthesis EndFraction greater-than-or-equal-to 0

MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools) rendering

MathML (0 B / 8 B) :

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SVG (0 B / 8 B) :


PNG (0 B / 8 B) :


Translations to Computer Algebra Systems

Translation to Maple

In Maple: sum((P(P[k])^(alpha , beta)*(x))/(P(P[k])^(beta , alpha)*(1)), k = 0..n)>= 0

Information about the conversion process:

\alpha: Could be the second Feigenbaum constant.

But this system don't know how to translate it as a constant. It was translated as a general letter.



Translation to Mathematica

In Mathematica: Sum[Divide[P(Subscript[P, k])^(\[Alpha], \[Beta])*(x),P(Subscript[P, k])^(\[Beta], \[Alpha])*(1)], {k, 0, n}]>= 0

Information about the conversion process:

\alpha: Could be the second Feigenbaum constant.

But this system don't know how to translate it as a constant. It was translated as a general letter.



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