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TeX (original user input):

\lim_{\bold{h} \to 0} \Phi(\bold{h}) = 0 \qquad \text{and} \qquad f(\bold{a}+\bold{h}) = f(\bold{a}) + M(\bold{h}) + \Phi(\bold{h}) \cdot \Vert\bold{h}\Vert

TeX (checked):

\lim _{{\mathbf {h}}\to 0}\Phi ({\mathbf {h}})=0\qquad {\text{and}}\qquad f({\mathbf {a}}+{\mathbf {h}})=f({\mathbf {a}})+M({\mathbf {h}})+\Phi ({\mathbf {h}})\cdot \Vert {\mathbf {h}}\Vert

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MathML (9.751 KB / 1.546 KB) :

lim 𝐡 0 Φ ( 𝐡 ) = 0    and    f ( 𝐚 + 𝐡 ) = f ( 𝐚 ) + M ( 𝐡 ) + Φ ( 𝐡 ) 𝐡 formulae-sequence subscript 𝐡 0 Φ 𝐡 0 and 𝑓 𝐚 𝐡 𝑓 𝐚 𝑀 𝐡 Φ 𝐡 norm 𝐡 {\displaystyle\lim_{{{\mathbf{h}}\to 0}}\Phi({\mathbf{h}})=0\qquad{\text{and}}% \qquad f({\mathbf{a}}+{\mathbf{h}})=f({\mathbf{a}})+M({\mathbf{h}})+\Phi({% \mathbf{h}})\cdot\|{\mathbf{h}}\|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{{\mathbf{h}}\to 0}}\Phi({\mathbf{h}})=0\qquad{\text{and}}%&#10;\qquad f({\mathbf{a}}+{\mathbf{h}})=f({\mathbf{a}})+M({\mathbf{h}})+\Phi({%&#10;\mathbf{h}})\cdot\|{\mathbf{h}}\|}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.39.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.39.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.39.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">𝐡</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.39.2.1a" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.cmml">
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">Φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.39.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.39.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">𝐡</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.39.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.2.2.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">0</mn>
          <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.39.2.2.1.cmml">  </mo>
          <mtext id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10a.cmml">and</mtext>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.39.1a.cmml">  </mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.39.3" xref="p1.1.m1.1.39.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">f</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.39.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">𝐚</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">+</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">𝐡</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">f</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.39.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">𝐚</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">M</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.39.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">𝐡</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.23a" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">Φ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.1.cmml"></mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">𝐡</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.2.1.1.cmml"></mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">𝐡</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.2.1.1.cmml"></mo>
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            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.39.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.2.1.2.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">Φ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">𝐡</ci>
            </apply>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">0</cn>
            <ci id="p1.1.m1.1.10a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
              <mtext id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">and</mtext>
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          </list>
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            <times id="p1.1.m1.1.39.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑓</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.39.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.1.2">
              <plus id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝐚</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝐡</ci>
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              <times id="p1.1.m1.1.39.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑓</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝐚</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.39.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.39.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.2.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑀</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">𝐡</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3">
              <ci id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"></ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1">
                <times id="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.39.3.2.3.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">Φ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">𝐡</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">𝐡</ci>
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        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\lim_{{{\mathbf{h}}\to 0}}\Phi({\mathbf{h}})=0\qquad{\text{and}}%
\qquad f({\mathbf{a}}+{\mathbf{h}})=f({\mathbf{a}})+M({\mathbf{h}})+\Phi({%
\mathbf{h}})\cdot\|{\mathbf{h}}\|}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (16.298 KB / 5.184 KB) :

limit Underscript bold h right-arrow 0 Endscripts normal upper Phi times left-parenthesis bold h right-parenthesis equals 0 and italic f times left-parenthesis bold a plus bold h right-parenthesis equals f times left-parenthesis bold a right-parenthesis plus upper M times left-parenthesis bold h right-parenthesis plus normal upper Phi times left-parenthesis bold h right-parenthesis dot parallel-to bold h parallel-to

SVG with PNG fallback (MathML can be enabled via browser plugin) rendering

MathML (3.11 KB / 597 B) :

lim h 0 Φ ( h ) = 0 and f ( a + h ) = f ( a ) + M ( h ) + Φ ( h ) h {\displaystyle \lim _{{\mathbf {h} }\to 0}\Phi ({\mathbf {h} })=0\qquad {\text{and}}\qquad f({\mathbf {a} }+{\mathbf {h} })=f({\mathbf {a} })+M({\mathbf {h} })+\Phi ({\mathbf {h} })\cdot \Vert {\mathbf {h} }\Vert }
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SVG (12.105 KB / 4.713 KB) :

{\displaystyle \lim _{{\mathbf {h} }\to 0}\Phi ({\mathbf {h} })=0\qquad {\text{and}}\qquad f({\mathbf {a} }+{\mathbf {h} })=f({\mathbf {a} })+M({\mathbf {h} })+\Phi ({\mathbf {h} })\cdot \Vert {\mathbf {h} }\Vert }

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