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* Page found: Fundamental increment lemma (eq math.270549.2)

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Fundamental increment lemma Eq: math.270549.2

Hash: f7712735913910f78d19e806b86a9db9

TeX (original user input):

\lim_{h \to 0} \varphi(h) = 0 \qquad \text{and} \qquad f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \varphi(h)h

TeX (checked):

\lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (9.448 KB / 1.493 KB) :

{\displaystyle\lim_{{h\to 0}}\varphi(h)=0\qquad{\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+% f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{h\to 0}}\varphi(h)=0\qquad{\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+%&#10;f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">h</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">→</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">h</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">0</mn>
          <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.1.cmml">  </mo>
          <mtext id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10a.cmml">and</mtext>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.38.1a.cmml">  </mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">f</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">+</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">h</mi>
            </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">f</mi>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">(</mo>
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            </mrow>
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            <msup id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">f</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml">′</mo>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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            </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">φ</mi>
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              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">(</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1.cmml">⁢</mo>
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    </mrow>
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            </apply>
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            <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑓</ci>
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              <plus id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑎</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2">superscript</csymbol>
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f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}</annotation>
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</math>

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MathML (1.667 KB / 510 B) :

\lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
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        <mspace width="2em" />
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          <mtext>and</mtext>
        </mrow>
        <mspace width="2em" />
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
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        </msup>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}</annotation>
  </semantics>
</math>

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$\varphi$

$h$

$f$

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$h$

$f$

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$\varphi$

$h$

$h$

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