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TeX (original user input):

\lim_{h \to 0} \varphi(h) = 0 \qquad \text{and} \qquad f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \varphi(h)h

TeX (checked):

\lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h

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MathML (9.448 KB / 1.493 KB) :

lim h 0 φ ( h ) = 0    and    f ( a + h ) = f ( a ) + f ( a ) h + φ ( h ) h formulae-sequence subscript 0 𝜑 0 and 𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 superscript 𝑓 𝑎 𝜑 {\displaystyle\lim_{{h\to 0}}\varphi(h)=0\qquad{\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+% f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle\lim_{{h\to 0}}\varphi(h)=0\qquad{\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+%&#10;f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml">
          <munder id="p1.1.m1.1.38.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">h</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml"></mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
          </munder>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">h</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.38.2.1.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">=</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">0</mn>
          <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.38.2.2.1.cmml">  </mo>
          <mtext id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10a.cmml">and</mtext>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.38.1a.cmml">  </mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">f</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.1.cmml"></mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">+</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">h</mi>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">f</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">a</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">f</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.25.1.cmml"></mo>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">a</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1.cmml"></mo>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.23a" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">+</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1.cmml"></mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">h</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1.cmml"></mo>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">
        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.38.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">formulae-sequence</csymbol>
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            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝜑</ci>
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          <list id="p1.1.m1.1.38.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.2.2">
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">0</cn>
            <ci id="p1.1.m1.1.10a.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
              <mtext id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">and</mtext>
            </ci>
          </list>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.38.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3">
          <eq id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.38.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1">
            <times id="p1.1.m1.1.38.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.1"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">𝑓</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.38.3.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.1.2">
              <plus id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑎</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"></ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.38.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2">
            <plus id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.38.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1">
              <times id="p1.1.m1.1.38.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑓</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑎</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2">
              <times id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">𝑓</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.25.1"></ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝑎</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29"></ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3">
              <times id="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.3.2.3.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.31">𝜑</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.33"></ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35"></ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle\lim_{{h\to 0}}\varphi(h)=0\qquad{\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+%
f^{\prime}(a)h+\varphi(h)h}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (14.999 KB / 4.582 KB) :

limit Underscript h right-arrow 0 Endscripts phi times left-parenthesis h right-parenthesis equals 0 and italic f times left-parenthesis a plus h right-parenthesis equals f times left-parenthesis a right-parenthesis plus f prime times left-parenthesis a right-parenthesis times h plus phi times left-parenthesis h right-parenthesis times h

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MathML (1.667 KB / 510 B) :

lim h 0 φ ( h ) = 0 and f ( a + h ) = f ( a ) + f ( a ) h + φ ( h ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>h</mi>
            <mo stretchy="false">&#x2192;<!-- → --></mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mi>&#x03C6;<!-- φ --></mi>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (10.834 KB / 4.123 KB) :

{\displaystyle \lim _{h\to 0}\varphi (h)=0\qquad {\text{and}}\qquad f(a+h)=f(a)+f'(a)h+\varphi (h)h}

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