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Display information for equation id:math.7085.6 on revision:7085

* Page found: Lagrange reversion theorem (eq math.7085.6)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: b124c7528cf7aa76ecd3fa2628fa7bc9

TeX (original user input): 

\begin{align}
g(v) & = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^n \left[ \frac{(y f(x))^n}{n!} g(x) (1-y f'(x))\right] \\[10pt]
& =\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^n \left[ 
 \frac{y^n f(x)^n g(x)}{n!} - \frac{y^{n+1}}{(n+1)!}\left\{ (g(x) f(x)^{n+1})' - g'(x) f(x)^{n+1}\right\} \right]
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (43.334 KB / 4.435 KB) :

g ⁢ ( v ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∂ ∂ ⁡ x ) n ⁢ [ ( y ⁢ f ⁢ ( x ) ) n n ! ⁢ g ⁢ ( x ) ⁢ ( 1 - y ⁢ f ′ ⁢ ( x ) ) ] = ∑ n = 0 ∞ ( ∂ ∂ ⁡ x ) n ⁢ [ y n ⁢ f ⁢ ( x ) n ⁢ g ⁢ ( x ) n ! - y n + 1 ( n + 1 ) ! ⁢ { ( g ⁢ ( x ) ⁢ f ⁢ ( x ) n + 1 ) ′ - g ′ ⁢ ( x ) ⁢ f ⁢ ( x ) n + 1 } ] 𝑔 𝑣 absent superscript subscript 𝑛 0 superscript 𝑥 𝑛 delimited-[] superscript 𝑦 𝑓 𝑥 𝑛 𝑛 𝑔 𝑥 1 𝑦 superscript 𝑓 ′ 𝑥 missing-subexpression absent superscript subscript 𝑛 0 superscript 𝑥 𝑛 delimited-[] superscript 𝑦 𝑛 𝑓 superscript 𝑥 𝑛 𝑔 𝑥 𝑛 superscript 𝑦 𝑛 1 𝑛 1 superscript 𝑔 𝑥 𝑓 superscript 𝑥 𝑛 1 ′ superscript 𝑔 ′ 𝑥 𝑓 superscript 𝑥 𝑛 1 {\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle g(v)&\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{% \infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac{(yf(x))^{n}}% {n!}}g(x)(1-yf^{\prime}(x))\right]\\ &\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{\infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)% ^{n}\left[{\frac{y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac{y^{{n+1}}}{(n+1)!}}\left\{(g(x% )f(x)^{{n+1}})^{\prime}-g^{\prime}(x)f(x)^{{n+1}}\right\}\right]\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle g(v)&amp;\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{%&#10;\infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac{(yf(x))^{n}}%&#10;{n!}}g(x)(1-yf^{\prime}(x))\right]\\&#10;&amp;\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{\infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)%&#10;^{n}\left[{\frac{y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac{y^{{n+1}}}{(n+1)!}}\left\{(g(x%&#10;)f(x)^{{n+1}})^{\prime}-g^{\prime}(x)f(x)^{{n+1}}\right\}\right]\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd columnalign="right" id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">g</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">∞</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">∂</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2.cmml">x</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.1.1.cmml">[</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml">y</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.cmml">f</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1.cmml">⁢</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">(</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.cmml">x</mi>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                            </mrow>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.8.1.cmml">n</mi>
                        </msup>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1.cmml">n</mi>
                          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml">!</mo>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">g</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">x</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">1</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">y</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">f</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">′</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.cmml">(</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">x</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.1.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.cmml">=</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3.cmml">0</mn>
                  </mrow>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">∞</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">∂</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2.cmml">x</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.1.1.cmml">[</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1.cmml">y</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.cmml">n</mi>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3.cmml">f</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.cmml">(</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.cmml">x</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1.cmml">n</mi>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.8.cmml">g</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12c" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">(</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.10.cmml">x</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1.cmml">n</mi>
                          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml">!</mo>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">y</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1.cmml">n</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2.cmml">+</mo>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.3.cmml">1</mn>
                            </mrow>
                          </msup>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.2.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.2.cmml">(</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.2.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml">n</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.cmml">+</mo>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4.cmml">1</mn>
                              </mrow>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.7.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.6.cmml">!</mo>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.1.cmml">{</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">g</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">(</mo>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">x</mi>
                                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                                </mrow>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">f</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.cmml">
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.cmml">
                                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.cmml">(</mo>
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">x</mi>
                                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.cmml">)</mo>
                                  </mrow>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml">n</mi>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2.cmml">+</mo>
                                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.3.cmml">1</mn>
                                  </mrow>
                                </msup>
                              </mrow>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.cmml">′</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">-</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.cmml">
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">g</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">′</mo>
                            </msup>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.cmml">
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                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">f</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">𝑛</ci>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">delimited-[]</csymbol>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">superscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10">
                          <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.10.2.1"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2">𝑦</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3">𝑓</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5">𝑥</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.8.1">𝑛</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">
                        <factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1">𝑛</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑔</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑥</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑦</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.3.2.1.2">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">𝑓</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">′</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝑥</ci>
                      </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39">absent</csymbol>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
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                    <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.1">𝑛</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.3">0</cn>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.2">superscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2">𝑥</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1">𝑛</ci>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">delimited-[]</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2">
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                      <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.12"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.13">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.1">𝑦</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.2.1">𝑛</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.3">𝑓</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.14">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.5">𝑥</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.7.1">𝑛</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.8">𝑔</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.10">𝑥</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3">
                        <factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.2"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.1">𝑛</ci>
                      </apply>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1">
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                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1">𝑦</ci>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1">
                            <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1">𝑛</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.3">1</cn>
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                        </apply>
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                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2">𝑛</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.4">1</cn>
                          </apply>
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                      <set id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2">
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1">superscript</csymbol>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.1"/>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">𝑔</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">𝑥</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">𝑓</ci>
                              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3">
                                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.1.2.2.3">superscript</csymbol>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝑥</ci>
                                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1">
                                  <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2"/>
                                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1">𝑛</ci>
                                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.3">1</cn>
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                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2">
                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.2">superscript</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27">𝑔</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1">′</ci>
                            </apply>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30">𝑥</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32">𝑓</ci>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.4">
                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.2.3.2.1.2.2.2.4">superscript</csymbol>
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                                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.3">1</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\begin{aligned} \displaystyle g(v)&amp;\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{%
\infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac{(yf(x))^{n}}%
{n!}}g(x)(1-yf^{\prime}(x))\right]\\
&amp;\displaystyle=\sum_{{n=0}}^{\infty}\left({\frac{\partial}{\partial x}}\right)%
^{n}\left[{\frac{y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac{y^{{n+1}}}{(n+1)!}}\left\{(g(x%
)f(x)^{{n+1}})^{\prime}-g^{\prime}(x)f(x)^{{n+1}}\right\}\right]\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (37.669 KB / 8.168 KB) :

StartLayout 1st Row 1st Column g times left-parenthesis v right-parenthesis 2nd Column equals sigma-summation Underscript n equals 0 Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis StartFraction partial-differential Over partial-differential x EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline times left-bracket StartFraction left-parenthesis y times f times left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis Superscript n Baseline Over n factorial EndFraction times g times left-parenthesis x right-parenthesis times left-parenthesis 1 minus y times f prime times left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis right-bracket 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column equals sigma-summation Underscript n equals 0 Overscript normal infinity Endscripts left-parenthesis StartFraction partial-differential Over partial-differential x EndFraction right-parenthesis Superscript n Baseline times left-bracket StartFraction y Superscript n Baseline times f times left-parenthesis x right-parenthesis Superscript n Baseline times g times left-parenthesis x right-parenthesis Over n factorial EndFraction minus StartFraction y Superscript n plus 1 Baseline Over left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis factorial EndFraction times left-brace left-parenthesis g times left-parenthesis x right-parenthesis times f times left-parenthesis x right-parenthesis Superscript n plus 1 Baseline right-parenthesis prime minus g prime times left-parenthesis x right-parenthesis times f times left-parenthesis x right-parenthesis Superscript n plus 1 Baseline right-brace right-bracket EndLayout

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MathML (9.294 KB / 989 B) :

g ( v ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∂ ∂ x ) n [ ( y f ( x ) ) n n ! g ( x ) ( 1 − y f ′ ( x ) ) ] = ∑ n = 0 ∞ ( ∂ ∂ x ) n [ y n f ( x ) n g ( x ) n ! − y n + 1 ( n + 1 ) ! { ( g ( x ) f ( x ) n + 1 ) ′ − g ′ ( x ) f ( x ) n + 1 } ] {\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&amp;=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&amp;=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}">
  <semantics>
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                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                    <mi>g</mi>
                    <mo stretchy="false">(</mo>
                    <mi>x</mi>
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                    <mn>1</mn>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                    <mi>y</mi>
                    <msup>
                      <mi>f</mi>
                      <mo>&#x2032;</mo>
                    </msup>
                    <mo stretchy="false">(</mo>
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                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo>]</mo>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
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                    <mi>n</mi>
                    <mo>=</mo>
                    <mn>0</mn>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi mathvariant="normal">&#x221E;<!-- ∞ --></mi>
                  </mrow>
                </munderover>
                <msup>
                  <mrow>
                    <mo>(</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mfrac>
                        <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                        <mrow>
                          <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                          <mi>x</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                    <mo>)</mo>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>n</mi>
                  </mrow>
                </msup>
                <mrow>
                  <mo>[</mo>
                  <mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mfrac>
                        <mrow>
                          <msup>
                            <mi>y</mi>
                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </msup>
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                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                            </mrow>
                          </msup>
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                        </mrow>
                        <mrow>
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                          <mo>!</mo>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mfrac>
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                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                    </mrow>
                    <mrow>
                      <mo>{</mo>
                      <mrow>
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                        </msup>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&amp;=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&amp;=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (20.773 KB / 6.568 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}g(v)&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {(yf(x))^{n}}{n!}}g(x)(1-yf'(x))\right]\\[10pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}\left[{\frac {y^{n}f(x)^{n}g(x)}{n!}}-{\frac {y^{n+1}}{(n+1)!}}\left\{(g(x)f(x)^{n+1})'-g'(x)f(x)^{n+1}\right\}\right]\end{aligned}}}

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