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In [[mathematics]], '''Horner's method''' (also known as '''Horner scheme''' in the UK or '''Horner's rule''' in the U.S.<ref name="Cormen et al.">{{cite book|last=Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein|title=Introduction to Algorithms|edition=3rd|year=2009|publisher=MIT Press|pages=41, 900, 990}}</ref><ref name="HornerRule">{{cite web|title=Wolfram MathWorld: Horner's Rule|url=http://mathworld.wolfram.com/HornersRule.html}}</ref>) is either of two things: (i) an [[algorithm]] for calculating [[polynomial]]s, which consists of transforming the [[Monomial basis|monomial form]] into a computationally efficient form;<ref name="HornerRule" /> or (ii) a method for approximating the roots of a polynomial.<ref name="HornerMethod">{{cite web|title=Wolfram MathWorld: Horner's Method|url=http://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html}}</ref> The latter is also known as '''Ruffini–Horner's method'''.<ref>{{cite web|title=French Wikipedia: Méthode de Ruffini-Horner|url=http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Ruffini-Horner}}</ref>
== Nike Air Jordan Damen 'Nach meiner Lieferung ==


These methods are named after the British mathematician [[William George Horner]], although they were known before him by [[Paolo Ruffini]]<ref name="Cajori">[[Florian Cajori]], [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183421253 Horner's method of approximation anticipated by Ruffini], Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 17, No. 9, pp. 409&ndash;414, 1911 (read before the Southwestern Section of the American Mathematical Society on November 26, 1910).</ref> and, six hundred years earlier, by the Chinese mathematician [[Qin Jiushao]].<ref>''It is obvious that this procedure is a Chinese invention'', Ulrich Librecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Chapter 13, '' Equations of Higher Degree'', p178 Dover, ISBN 0-486-44619-0</ref>
Können Sie sich vorstellen, wenn einer Ihrer Töchter hatte der Gleichheit und der andere nicht? Das ist die Realität für jede Familie mit einem Kind Homosexuell. Gamchha maine bhi Pehna tha, Tanz nahi kiya tha, haath hila Diya tha bas ', sagt er .. Er ist derzeit damit [http://www.direct-courier-duesseldorf.de/Pictures/Solicitations/cache.asp Nike Air Jordan Damen] beschäftigt Dreharbeiten für Farah [http://www.tuckerstsd.com/header/banner.html Gucci Gürtel] Khans Tees Maar Khan. Seine Argumente zerren an deinem Herzen, aber nicht zu schüren den Geist. <br><br>Sie sind berechtigt, für maximal eine Minute zwischen exercises.Total Trainingszeit für 1 Woche (pro Tag) zu stoppen: 45 Minuten. 'Ich habe gelernt, dass davon, dass mit dem BEP wir haben großen Shows wie dem Superbowl, wo wir hätten gehen sehen die Anfangsphase oder die Weltmeisterschaft, so kann ich [http://www.raymondkarate.com/photogallery/include/router.php Hollister Sale] zu jedem einzelnen persönlich zu gehen und danken ihnen für die Herstellung der Bühne und macht meine Leistung viel besser ', sagt er ... <br><br>Forensic Nurse Prüfer, die für die Verwaltung alle erwachsenen Rape Kits und viele jugendliche diejenigen verantwortlich ist. Wir haben auch nicht bekommen ein Foto mit unserem Artikel in Text verknüpft verbunden bilden nur auf sonderbare Nachrichten (oben) und die Bücher Abschnitt (in der Mitte) ... <br><br>Aber die Debatte über die PED-Nutzer, die zwar gelegentlich unerträglich, ist keine schlechte Sache für die Halle oder für [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] Baseball. Das, warum ich schrieb meine e Buch .. Aber ich hier aufhören, weil ich nicht ein Buch zu schreiben. Lass dich richtig behandelt, so schnell wie möglich, denn je länger Sie warten, desto mehr Symptome auftreten. <br><br>Make-up entfernen, immer aus dem Gesicht, bevor Sie schlafen und halten Sie Ihre Haare sauber zu gehen, um die Menge an Öl, die auf Ihrem Gesicht bekommt beseitigen. Erstellen Sie diese Routine und richten Sie Ihren Platz für eine Hausaufgabenzeit, die lohnende und lehr. <br><br>Check für fehlerhafte Verdrahtung oder tot Switches. Indien, hatte selbst dann reichte starken diplomatischen Protesten, aber China war weiterhin Hubschrauberlandeplätze und andere dauerhafte Strukturen in der Region zu bauen, um seine troops.With nachhaltig die damalige chinesische Führer Deng Xiaoping droht sogar nach Indien im Jahr 1962 eine Lektion erteilen, verwandt mit dem ein , Armeechef Gen K Sundarji hatte Klima hob eine Infanteriebrigade unter Operation Falcon zu Zimithang der Nähe Sumdorong Chu.India hatte auch durchgeführt, eine große Armee IAF Übung im Nordosten Anfang 1987, so wie die beiden Seiten verstärkte Truppenstärke in der Region.. <br><br>'Nach meiner Lieferung, wenn mein Mann war im Zimmer wollte ich auf die Toilette zu gehen und um Hilfe gerufen. Erwachsene 25 und älter hatten mindestens einen Bachelor-Abschluss.' Für Rahmen, erst 1998 war diese Zahl unter 25 Prozent .. Seine Eltern wurden getrennt, wechselte er Städte, nicht bei Freunden und musste Richtung im Leben zu finden. Ich benutze Mint, den Überblick über meine persönlichen Finanzen zu halten.<ul>
 
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  <li>[http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?53905.html http://yijiansong.u092.iiddcc.com/news/html/?53905.html]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17099403 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article66#forum17099403]</li>
 
  <li>[http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10 http://devils.euweb.cz/index.php?site=news_comments&newsID=10]</li>
 
  <li>[http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/ http://verdamilio.net/tonio/spip.php?article1739/]</li>
 
</ul>


==Description of the algorithm==
== Louis Vuitton Taschen Midlife markiert den Punkt ==
Given the polynomial


:<math>p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n,</math>
Physique Es muss vor ausgelöst werden und frei von Wesen. 1, wenn die Arbeit Einschränkungen werden in der Europäischen Union für Migranten aus Rumänien und Bulgarien zwei der neuesten Mitglieder der Handelsblock der gehoben werden. Im Jahr 1999 war ich auf dem Höhepunkt meiner Karriere und wurde mit jeder Filmemacher im Land zu arbeiten, wenn unwissentlich äfft Mr. Bachchan, beschloss ich, diese TV-Tycoon zu werden und investiert all mein Geld und Geld geliehen, um [http://www.von-pferden-lernen.ch/lightbox/css/crypt.asp Louis Vuitton Taschen] TV-Serien zu machen.. <br><br>Das ist die menschliche Natur. Sie müssen Kreativität, Beredsamkeit und Kompetenz verlangen, und sie müssen den Mythos von Markt dash .. Ihren Namen. In unserer Situation wurden wir für drei Spots lizenziert, und wir hatten zwei Einzelbetten und ein Pack n Play einrichten. <br><br>Finden Sie heraus, alles, was Sie brauchen, k. Durch eine Fehlgeburt oder Fetozid), die genug entwickelt ist, um Dehnung der Zervix für die Extraktion erfordern. Während die Nettoauswirkung der Rallye ist manchmal umstritten, viele haben Gefühle wie die von der Regierung von Peru, die der Rally eine 'nationale Interesse' und der argentinische Minister [http://www.voegeli-beck.ch/images/content/event.asp Beats By Dre Schweiz] für Tourismus, der die Rallye als 'die größte Promotion-Tool für den Tourismus in gemeinsamen erklärt Argentinien-Geschichte. '.. <br><br>Midlife markiert den Punkt, an dem die meisten Menschen verstehen, ihre Jugend ist zu Ende und eine neue gezogen, reifere Phase hat begonnen .. Seien Sie bereit, das Gespräch zu einem Ende von ihm zu informieren (auch höflich) nennen, dass er nicht fangen Sie zu einem sehr guten Zeit, aber vielleicht die beiden von Ihnen aufholen können ein anderes Mal.. <br><br>Manche Stars tragen Lycra oder Metallic Zentai zusammen mit anderer Kleidung als Mode-Display. Haben Sie Geduld, und geben Sie nicht in die von ihm .. Inshore ein 1/0 bis 3/0 ist in Ordnung. 'Die Reduktion der menschlichen Intelligenz [http://www.forumlebensfreude.ch/images/carousel/text.asp Nike Free Schweiz] (wenn es eine Reduktion) würde zu der Zeit begonnen haben, dass genetische Selektion wurde entspannter,' Dr. <br><br>Das Problem ist, gibt es keine Möglichkeit, den Unterschied zwischen drei Familienmitglieder oder 3 Freunden, die die Kosten für das Spiel aufgeteilt entschieden erzählen. Verbraucher haben konditioniert [http://www.von-pferden-lernen.ch/lightbox/css/crypt.asp Louis Vuitton Online Shop] worden, Angebote für alles und jedes jetzt erwarten. <br><br>Es ist, wo Sie die ungeschminkte Zeichen in einem Mann, der Wahrheit der ihn sah. Sparen Sie Geld auf Ihr neues Auto kaufen. Das große Zeitalter der globalen wirtschaftlichen Expansion des späten 19. Und frühen 20. Der Sets: 3 von 15 je 25 Wiederholungen Nach einem halben Stunde Cardio, runter auf die abs. Die Testergebnisse waren schlecht, und der Tumor war bösartig.<ul>
 
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  <li>[http://www.cnrta.org/forum.php?mod=viewthread&tid=477388 http://www.cnrta.org/forum.php?mod=viewthread&tid=477388]</li>
 
</ul>


where <math>a_0, \ldots, a_n</math> are real numbers, we wish to evaluate the polynomial at a specific value of <math>x</math>, say <math>x_0</math>.
== Ralph Lauren Pullover  und die Bösen ==


To accomplish this, we define a new sequence of constants as follows:
Es war ein großer Baseball-Wochenende hier bei CactusFish Hauptquartier. Beide Kinder sind in der Mitte der jeweiligen [http://www.martialartsconvention.com/count-down/js/misc/router.asp Ralph Lauren Pullover] Jahreszeiten, die beide Spiele für Samstag geplant. Corey stellt fest: "Machen Sie es einfach für Arbeitgeber, die Sie auf LinkedIn und r in Datenbanken zu finden, indem Sie durchsuchbare Schlüsselwörter und Phrasen auf Ihrem r die Begriffe Ihre Arbeitgeber sind am ehesten zu suchen, zum Beispiel, Corey schlägt vor:." Use 'MBA' statt 'Master of Business Administration "oder" PMP "anstelle von (oder zusätzlich zu)" Project Management Professional "." Forschung die besten Bedingungen, indem Sie eine Reihe von Stellenbeschreibungen und durch Lesen von Online-Publikationen sorgfältig auf Ihre Branche und Zielgesellschaften. InPerson Forschung können auch große Einblicke in die wichtigsten Fragen, mit denen Ihre Branche und die Schlüsselwörter Arbeitgeber verwenden, um diese Bedenken zu beschreiben.. <br><br>Der 2013 Volvo S60 hat geringfügig höher als die Sicherheits Partituren CC, aber die CC hat eine etwas bessere Zuverlässigkeit Rating. Bei vergleichbaren Kraftstoffverbrauch Schätzungen und Antriebsvarianten erhält der S60 auch Lob von Testfahrer für seine leistungsstarken Turbo-Motor, sowie die gehobene Innenausstattung. <br><br>Auf der Webseite werden die meisten SEO-Experten sagen, dass der Inhalt ist König. Kostenlose ArticlesHowever, ist der eigentliche Schlüssel frischen Inhalt. Whooooaarrrr! Mit dem Klopfen, und den Dreharbeiten, und der Brechstange, und die fliegenden Summen Dinge, und die Bösen, und die Monster, und die Kisten, und Wasser und der Klage, und die Taschenlampe, andallofit! Ich habe es ein paar gute Stunden die andere Nacht, dauerte eine Weile zu installieren, da sie erzählte mir, auf neuere Grafiktreiber herunterladen und dann dauerte es etwa 25 Minuten, um sich selbst zu entschlüsseln. Ich hatte keine Ahnung, was am Anfang zu tun. <br><br>Hier [http://www.utahtaekwondo.com/photogallery/include/content.php Beats Wireless] erhalten umfassende Informationen zu den unzähligen Spa Lebensstile mit Ayurveda, der indischen [http://www.mcm-milano.ch/images/people/Claudia/user.php Nike Air Jordan Schweiz] magischen Schnuller. Diese Seite kapselt alle die neueste Mode in der Praxis im Herzen der indischen Unterhaltungsprogramm. Box gewidmet sein wird, bleiben Sie auf immer aber. Ich begann Programmierung Bitcoin API in Sachen E-Commerce-Anwendung, und interessierte sich für die Neuheit an dieser Stelle. <br><br>Tablet PCs haben, ändern sich die Lebensstil Tabs haben eine größere Rolle in den Schwellen die Wendung in der aktuellen Szenario. PC-Tabletten haben ihre [http://www.usksmartialarts.com/header/backup.php Nike Roshe] Anwendung in unserem täglichen Leben bekommen haben und ihre Position in der Elektronik-Markt gehalten.<ul>
 
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  <li>[http://zirconcode.com/forum/viewtopic.php?f=7&t=296581 http://zirconcode.com/forum/viewtopic.php?f=7&t=296581]</li>
 
  <li>[http://tztea.com.cn/news/html/?189153.html http://tztea.com.cn/news/html/?189153.html]</li>
 
  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
</ul>


:<math>\begin{align}
== Nike Free Schweiz Eine Menge Spaß ==
b_n & := a_n \\
b_{n-1} & := a_{n-1} + b_n x_0 \\
& {}\  \  \vdots \\
b_0 & := a_0 + b_1 x_0.
\end{align}</math>


Then <math>b_0</math> is the value of <math>p(x_0)</math>.
Nationen träumte von der Weltraumforschung in den 1940er Jahren, und wenn das Traum wurde wahr mit V2-Rakete [http://www.forumlebensfreude.ch/images/carousel/text.asp Nike Free Schweiz] in Deutschland, träumte davon, ein Spaziergang auf dem Mond Menschen. Alt, aber ich habe bereits auf die Festplatte zu ersetzen. Beachten Sie, dass, wenn Sie während eines Fluges Insulin injizieren müssen, achten Sie darauf, um Luft in die Flasche Insulin injizieren. Wussten Sie, dass viele Prominente sind douchebags? Natürlich taten. <br><br>Ich habe die meisten die gleichen Tests durchgeführt (eine Menge Blutwerte), dass alle kommt negativen hatte. Zum Beispiel, wenn Sie normalerweise tun, Besorgungen Alltag nicht zu weit von zu Hause aus, die Umstellung auf ein Fahrrad statt das Auto zu benützen, um von Ort zu Ort zu bekommen.. <br><br>Nein, ich würde dieses Unternehmen einem Freund empfehlen [http://www.akfathens.com/photogallery/galleries/database.php Hollister Köln] Pros Die Leute, die ich mit waren immer in der Lage, Projekte zu erledigen, egal wie lächerlich oder unbedeutend, dass Projekt war. Mit ihm kam der Linksys Smart Wi Fi USB Wireless Adapter, die ich bin auch mit, weil meine alten Adapter scheint nicht zu 5GHz-Kompatibilität haben.. <br><br>Warum würden Sie zuzufügen, dass auf niemanden träumen?. Die zentrale Lage, von der Fragezeichen in der Mitte der Karte angezeigt wurde später als die Perle identifiziert. Sie sollten in der Lage, Ihnen Garantien anbieten zu können. FVck alle anderen bin ich mr wichtig. <br><br>Ich sollte hinzufügen, dass ich trinke viel Kaffee und haben einen sehr unregelmäßigen [http://www.sc08-schiefbahn.de/Pictures/newsletter/database.asp Jeremy Scott Wings] Schlafrhythmus; seit einiger Zeit dachte ich, das war die Ursache für meine Symptome. Da alle diese Gebiete in der Nähe zu einem anderen sind, besteht die Gefahr von E. <br><br>To 'Hass' muss 'sorgfältig beigebracht ', um Jugendliche, oder sehen, dass es zu Hause oder in der Schule. Food Network doesn wirklich, wenn Sie kochen können. Eine professionelle Stuntfahrer. Zum Kochen bringen bei starker Hitze, dann Hitze reduzieren, um mittel gering, Deckel, und köcheln lassen, bis die Kartoffeln weich sind und die Kabeljau Flocken leicht mit einer Gabel, ca. <br><br>Und das ist gut .. Heck, Nick Fury Änderung von einem weißen Mann zu einem schwarzen Mann zum [http://www.blackbeltkaratecenter.com/header/backup.html Louis Vuitton Tasche] gefeierten bewegen, wenn die Menschen aufgehört, darüber zu klagen.. Laufe der Zeit, IBD oder Morbus Crohn zu entwickeln. Keene sprach ein paar Tage nach sitzen in auf dem Biden Task Force. <br><br>Eine Menge Spaß, mit allen, die Sozial ein Basketball-Fan, der uns liebt, zu sehen, zu spielen und liebt mich spielen zu sehen ist. In Indien die meisten Menschen wie Bestickte Kleidung. Er ist das Hauptthema von verschiedenen Filmen, TV-Shows, Biographien und Werke der Fiktion. Necklacing in Afrika seit den 80er Jahren verwendet worden, um ein Beispiel zu geben ..<ul>
 
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  <li>[http://www.importia.com/index.php/forum/newtopic http://www.importia.com/index.php/forum/newtopic]</li>
 
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  <li>[http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13 http://www.sebalo.info/spip/spip.php?article13]</li>
 
</ul>


To see why this works, note that the polynomial can be written in the form
== Nike Free 3.0 Das bedeutet ==


:<math>p(x) = a_0 + x(a_1 + x(a_2 + \cdots + x(a_{n-1} + a_n x)\cdots)). \, </math>
Eine [http://www.wkausa.com/header/footer.php Nike Free 3.0] der besten "Lasten" zu tragen ist der eigene Körper weight.There 's nicht genug Platz hier, um die Übungen, die alle Ihre Muskelgruppen beschreiben würde. Ihr Kernstück ist der Gürtel von Muskeln, um Ihr Mittelteil umschließt. Verfasst am 25. November 2011 um 10:48 AMWelcome auf die Windows 7 Enterprise 90 Tage-Testversion. <br><br>Ja, die Auflösung von 1024x768 ein Thema für PC-Display Verwendung, obwohl die Menschen nutzen sie [http://www.akfathens.com/header/session.php Abercrombie Hamburg] dafür. Allerdings ist es nicht anders als andere 42 "-Plasmen. Sinus-Skaten Schlaf Diashow Post Schnee Song Seele Rede Geist st. Vancouver Vancouver Sonne Ventilator Entlüftungs VGH Video Videos VIFF vimeo Stimm Maske Freiwilligen Wand der Liebe Rollstuhl, wenn ich zu Fuß whistler Flügel arbeiten Wrack schriftlich yay! youtube.. <br><br>Das bedeutet, dass Sie nicht brauchen, um jeden Job, den Sie je hatten sind oder die Teilzeit-Arbeit, die Sie am Anfang Ihrer regulären Job im letzten Jahr, oder sogar Ihren Abschluss in einem irrelevanten Bereich, wenn Sie nicht wollen. Sie erhalten zu entscheiden, was Sie tun, und don enthalten. <br><br>Ashlee tanzen begann im Alter von 4 und wurde im Alter von 11, die jüngste Person, die jemals um akzeptiert zu werden in der School [http://www.rs-hochdahl.de/Includes/define.asp Air Max Herren] of American Ballet zugelassen. Mit ihren Eltern, Joe und Tina und große Schwester Jessica, und fing an, professionell zu tanzen, Fügen Jessica auf der Straße als Backup-Tänzer. <br><br>Nun, vielleicht Co-Star wäre ein besseres Wort sein, weil der Weihnachtsmann ist der eigentliche Star dieses Video. Dank der Magie der Technik auf, können Sie jetzt fangen Weihnachtsmann auf Video direkt in Ihrem eigenen Haus. Ich sah seinen geschickten Präzision bereitet die Soundeffekte Objekt, sei es Schuhe, Münzen, Glasscherben oder Aufnahme Nadel. Er kam wie gerufen mit Schwung noch nie stattBühnenPräsenz von den Schauspielern am Mikrofon. <br><br>Ihre eigenen künstlerischen Ausdruck. Während der Durchführung Hollister frankreich, sang sie. Aber wundern Sie sich nicht, wenn Sie eine TSA-Agent, der Sie daran hindert, die Ausübung Tools des Handwerks zu begegnen. Um unangenehme Szenario Sicherheit zu vermeiden, [http://www.unifiedmartialart.com/news/define.html Nike Heels] wappnen Sie sich mit einem lessthreatening Satz von Nadeln, wie ein Paar Rundstricknadeln aus Holz oder Kunststoff. <br><br>Die Website-Rezensionen DVD-Laufwerke, wie sie verfügbar sind. Bewertungen sind objektiver als die meisten, und die Prüfung ist eine umfassende und hervorragend dokumentiert. Eine Gruppe von innerstädtischen High-School-Studenten, zogen sie sich in Standard-HipHop Mode. Ich hatte erwartet, in ihren Augen jetzt im Stadt-, Vorort und sogar ländlichen Gemeinden, die blasierten Blick von DH Lawrence, was vor langer Zeit genannt siehe den Zynismus so in Mode "knowitall Zustand des Geistes." .<ul>
 
  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
  <li>[http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=591425 http://pandprealtors.com/index.php?page=item&id=591425]</li>
 
  <li>[http://hbancai.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=37742&fromuid=4078 http://hbancai.com/forum/forum.php?mod=viewthread&tid=37742&fromuid=4078]</li>
 
  <li>[http://www.sygjzx.com/blog/user1/rwqnhvor/archives/2014/13825.html http://www.sygjzx.com/blog/user1/rwqnhvor/archives/2014/13825.html]</li>
 
  <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article13211/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article13211/]</li>
 
</ul>


Thus, by iteratively substituting the <math>b_i</math> into the expression,
== Abercrombie Frankfurt so ist es etwas zu beachten ==
: <math>
\begin{align}
p(x_0) & = a_0 + x_0(a_1 + x_0(a_2 + \cdots + x_0(a_{n-1} + b_n x_0)\cdots)) \\
& = a_0 + x_0(a_1 + x_0(a_2 + \cdots + x_0(b_{n-1})\cdots)) \\
& {} \ \ \vdots \\
& = a_0 + x_0(b_1) \\
& = b_0.
\end{align}
</math>


==Examples==
August, 1987. Die Buchstaben, Papiere und Fotografien, die Schuppen neues Licht auf Mahatma [http://www.raymondkarate.com/header/define.html Abercrombie Frankfurt] Gandhi und seine Zeit in Südafrika sind auf dem Display in den [http://www.bombsquadmma.com/photogallery/include/achieve.php Hogan Stiefel] National Archives in New Delhi, nachdem sie in London versteigert wurden ... Rickrolling begann im Jahr 2007 als eine in Witz auf den Seiten alles geht von 4chan und wurde ein Internet-Phänomen. Als typisch für Mozilla ist, wird das Team ganz so verteilt, zusammenkommen, von Angesicht zu Angesicht, ist erfrischend. <br><br>Ich dachte, sie könnte über gegangen, aber ich wusste, dass ich immer noch entweder couldn. Ich habe auch einen nicht kompatibel Tages Schutz-Treiber, Express Gate und ein Programm namens Treiber sweeper.I befasste sich auch mit der Box meine Gigabyte Chasis Fall kam und es sagt, 550W, obwohl auf der Rückseite des Gehäuses Netzteil gibt es eine kleine rote Box deinstalliert 230W sagen, ich weiß nicht, was man zu believe.I ist versucht, die Dateien, die Sie angefordert machen, aber es sagt [http://www.kt-net.at/links/search.html Nike Air Max 1] immer 'Warten auf System-Info' am Ende des Prozesses und nicht sich selbst zu schließen, so kann ich es nicht :/.. <br><br>Ich habe in der Vergangenheit habe ich musste mein Herz so stark ansteigen, dass ich ständig müde gefunden, und ich am Ende betrügt meine Ernährung, so dass ich mehr tun, Cardio, dafür zu machen, also muss ich mehr Kalorien zu essen und zu der Teufelskreis geht weiter .. Auch nordkoreanische Kriegsdrohungen, nachdem ein Team von internationalen Ermittlern schob es für den Schiffbruch Cheonan wenig tat, um junge Erwachsene hier kümmern.. <br><br>Als Nebeneffekt, produzieren Sie Code, das funktioniert (und wenn Sie gut darin, läuft auch effizient). Auf die Gefahr von Fuß eine sehr feine Linie hier, wie so viele Aspekte der Mantle diese sind nicht Fragen, die wir haben die Antwort heute. In der neuesten Staffel der Show, beteiligt ganze Episoden Verkauf Ihrer Marke, [http://www.haendundherz.ch/lightbox/images/error.asp Michael Kors Outlet Schweiz] Handwerk einen Artikel in den Tank-Stil Führungskräfte aufschlagen, und selbst die Versteigerung selbst und Ihr Gericht zu einem Raum voller Menschen. Wenn Sie noch nie Artikel-Marketing (auch als BUM-Marketing genannt) verwendet haben, um Ihre Websites zu fördern, empfehle ich Sie mit dieser Methode einfach zu verwenden, ab heute starten ... <br><br>Gespräch mit einem professionellen Berater können Sie sparen eine Menge Zeit, Geld und Stress in die Renovierung eines neuen oder aktuellen Büroflächen, so ist es etwas zu beachten, wenn die Zeit kommt, um den Planungsprozess zu starten .. Ich weiß, dass der Glaube ein Funktion des Gehirns, die von jedem Glaubenssystem oder Religion, die jeder einzelne fühlt sich persönlich wohl mit tief in sich selbst motiviert werden ...<ul>
Evaluate
 
:<math>f(x)=2x^3-6x^2+2x-1\,</math> for <math>x=3.\;</math>
  <li>[http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/ http://www.film-video-dvd-production.com/spip.php?article6/]</li>
 
  <li>[http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=266338 http://slapfish.co.uk/forum/viewtopic.php?f=1&t=266338]</li>
 
  <li>[http://hemanjosko.in/activity/p/157574/ http://hemanjosko.in/activity/p/157574/]</li>
 
  <li>[http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/ http://www.middleeasttransparent.com/spip.php?article9467&lang=ar&id_forum=10581/]</li>
 
  <li>[http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/ http://ks35439.kimsufi.com/spip.php?article450/]</li>
 
</ul>


We use  [[synthetic division]] as follows:
== Nike Air Max 90 Hyperfuse Der Musik-Spiegel ==


  x₀│  x³    x²    x¹    x⁰
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  3 │  2    −6    2    −1
 
    │        6    0    6   
  <li>[http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-873456.aspx http://www.aiyingfang.cn/bbs/showtopic-873456.aspx]</li>
    └────────────────────────
 
        2    0    2    5
  <li>[http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=17134 http://www.seabear.com.hk/forum/read.php?tid=17134]</li>
 
 
The entries in the third row are the sum of those in the first two. Each entry in the second row is the product of the ''x''-value (3 in this example) with the third-row entry immediately to the left. The entries in the first row are the coefficients of the polynomial to be evaluated. Then the remainder of <math>f(x)</math> on division by <math>x-3</math> is 5.
  <li>[http://www.emil86.fr/spip.php?article1/ http://www.emil86.fr/spip.php?article1/]</li>
 
 
But by the remainder theorem, we know that the remainder is <math>f(3) </math>. Thus <math>f(3) = 5</math>
  <li>[http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2439304 http://ldsbee.com/index.php?page=item&id=2439304]</li>
 
    
In this example, if <math>a_3 = 2, a_2 = -6, a_1 = 2, a_0 = -1</math> we can see that <math>b_3 = 2, b_2 = 0, b_1 = 2, b_0 = 5 </math>, the entries in the third row. So, synthetic division is based on Horner's method.
  <li>[http://115.28.106.0/forum.php?mod=viewthread&tid=2648&fromuid=773 http://115.28.106.0/forum.php?mod=viewthread&tid=2648&fromuid=773]</li>
 
 
As a consequence of the [[polynomial remainder theorem]], the entries in the third row are the coefficients of the second-degree polynomial, the quotient of <math>f(x)</math> on division by <math> x-3 </math>.
</ul>
The remainder is 5. This makes Horner's method useful for [[polynomial long division]].
 
Divide <math>x^3-6x^2+11x-6\,</math> by <math>x-2\,</math>:
 
  2 │  1    -6    11    -6
    │        2    -8    6   
    └────────────────────────
        1    -4    3    0
 
The quotient is <math>x^2-4x+3\,</math>.
 
Let <math>f_1(x)=4x^4-6x^3+3x-5\,</math> and <math>f_2(x)=2x-1\,</math>. Divide <math>f_1(x)\,</math> by <math>f_2\,(x)</math> using Horner's method.
 
  2 │  4    -6    0    3  │  -5
────┼──────────────────────┼───────
  1 │        2  -2  -1  │    1
    │                      │ 
    └──────────────────────┼───────
        2    -2    -1  1  │  -4
 
The third row is the sum of the first two rows, divided by 2. Each entry in the second row is the product of 1 with the third-row entry to the left. The answer is
 
:<math>\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=2x^3-2x^2-x+1-\frac{4}{2x-1}.</math>
 
===Floating point multiplication and division===
{{main|multiplication algorithm#Shift and add}}
 
Horner's method is a fast, code-efficient method for multiplication and division of binary numbers on a [[microcontroller]] with no [[binary multiplier|hardware multiplier]]. One of the binary numbers to be multiplied is represented as a trivial polynomial, where, (using the above notation):  a<sub>i</sub> = 1, and x = 2. Then, x (or x to some power) is repeatedly factored out.  In this [[binary numeral system]] (base 2), x = 2, so powers of 2 are repeatedly factored out.
 
====Example====
For example, to find the product of two numbers, (0.15625) and ''m'':
 
:<math>
\begin{align}
( 0.15625) m & = (0.00101_b) m = ( 2^{-3} + 2^{-5}) m = (2^{-3})m + (2^{-5})m \\[4pt]
& = 2^{-3} (m + (2^{-2})m) = 2^{-3} (m + 2^{-2} (m)).
\end{align}
</math>
 
====Method====
To find the product of two binary numbers, d and m:
*1. A register holding the intermediate result is initialized to d.
*2. Begin with the least significant (rightmost) non-zero bit in m.
**2b. Count (to the left) the number of bit positions to the next most significant non-zero bit.  If there are no more-significant bits, then take the value of the current bit position.
**2c. Using that value, perform a right-shift operation by that number of bits on the register holding the intermediate result
*3. If all the non-zero bits were counted, then the intermediate result register now holds the final result.  Otherwise, add d to the intermediate result, and continue in step #2 with the next most significant bit in m.
 
====Derivation====
In general, for a binary number with bit values: (<math> d_3 d_2 d_1 d_0 </math>) the product is:
:<math> (d_3 2^3 + d_2 2^2 + d_1 2^1 + d_0 2^0)m = d_3 2^3 m + d_2 2^2 m + d_1 2^1 m + d_0 2^0 m </math>
At this stage in the algorithm, it is required that terms with zero-valued coefficients are dropped, so that only binary coefficients equal to one are counted, thus the problem of multiplication or [[division by zero]] is not an issue, despite this implication in the factored equation:
 
:<math> = d_0(m + 2 \frac{d_1}{d_0} (m + 2 \frac{d_2}{d_1} (m + 2 \frac{d_3}{d_2} (m)))). </math>
 
The denominators all equal one (or the term is absent), so this reduces to:
:<math> = d_0(m + 2 {d_1} (m + 2 {d_2} (m + 2 {d_3} (m)))),</math>
or equivalently (as consistent with the "method" described above):
:<math> = d_3(m + 2^{-1} {d_2} (m + 2^{-1}{d_1} (m + {d_0} (m)))). </math>
 
In binary (base 2) math, multiplication by a power of 2 is merely a [[arithmetic shift|register shift]] operation. Thus, multiplying by 2 is calculated in base-2 by an [[arithmetic shift]]. The factor (2<sup>−1</sup>) is a right [[arithmetic shift]], a (0) results in no operation (since 2<sup>0</sup> = 1, is the multiplicative [[identity element]]), and a (2<sup>1</sup>) results in a left arithmetic shift.
The multiplication product can now be quickly calculated using only arithmetic shift operations, addition and subtraction.
 
The method is particularly fast on processors supporting a single-instruction shift-and-addition-accumulate. Compared to a C floating-point library, Horner's method sacrifices some accuracy, however it is nominally 13 times faster (16 times faster when the "[[canonical signed digit]]" (CSD) form is used), and uses only 20% of the code space.<ref>Kripasagar, March 2008, "Efficient Micro Mathematics", Circuit Cellar, issue 212, p. 62.</ref>
 
=== Polynomial root finding ===
Using Horner's method in combination with [[Newton's method]], it is possible to approximate the real roots of a polynomial. The algorithm works as follows. Given a polynomial <math>p_n(x)</math> of degree <math>n</math> with zeros <math> z_n < z_{n-1} < \cdots < z_1 </math>, make some initial guess <math> x_0 </math> such that <math> x_0 > z_1 </math>. Now iterate the following two steps:
 
1. Using [[Newton's method]], find the largest zero <math>z_1</math> of <math>p_n(x)</math> using the guess <math>x_0</math>.
 
2. Using Horner's method, divide out <math>(x-z_1)</math> to obtain <math>p_{n-1}</math>. Return to step 1 but use the polynomial <math>p_{n-1}</math> and the initial guess <math>z_1</math>.
 
These two steps are repeated until all real zeros are found for the polynomial. If the approximated zeros are not precise enough, the obtained values can be used as initial guesses for Newton's method but using the full polynomial rather than the reduced polynomials.<ref>Kress, Rainer, "Numerical Analysis", Springer, 1991, p.112.</ref>
 
==== Example ====
 
[[File:HornerandNewton.gif|thumb|right|500px|Polynomial root finding using Horner's method]]
 
Consider the polynomial,
 
: <math>
p_6(x) = (x-3)(x+3)(x+5)(x+8)(x-2)(x-7)
</math>
 
which can be expanded to
 
: <math>
p_6(x) = x^6 + 4x^5 - 72x^4 -214x^3 + 1127x^2 + 1602x -5040.
</math>
 
From the above we know that the largest root of this polynomial is 7 so we are able to make an initial guess of 8. Using Newton's method the first zero of 7 is found as shown in black in the figure to the right. Next <math>p(x)</math> is divided by <math>(x-7)</math> to obtain
 
: <math>
p_5(x) = x^5 + 11x^4 + 5x^3 - 179x^2 - 126x + 720 \,
</math>
 
which is drawn in red in the figure to the right. Newton's method is used to find the largest zero of this polynomial with an initial guess of 7. The largest zero of this polynomial which corresponds to the second largest zero of the original polynomial is found at 3 and is circled in red. The degree 5 polynomial is now divided by <math>(x-3)</math> to obtain
 
: <math>
p_4(x) = x^4 + 14x^3 + 47x^2 - 38x - 240 \,
</math>
 
which is shown in yellow. The zero for this polynomial is found at 2 again using Newton's method and is circled in yellow. Horner's method is now used to obtain
 
: <math>
p_3(x) = x^3 + 16x^2 + 79x + 120 \,
</math>
 
which is shown in green and found to have a zero at&nbsp;&minus;3. This polynomial is further reduced to
 
: <math>
p_2(x) = x^2 + 13x + 40 \,
</math>
 
which is shown in blue and yields a zero of&nbsp;&minus;5. The final root of the original polynomial may be found by either using the final zero as an initial guess for Newton's method, or by reducing <math>p_2(x)</math> and solving the linear equation. As can be seen, the expected roots of &minus;8, &minus;5, &minus;3, 2, 3, and 7 were found.
 
==== Octave implementation ====
The following [[GNU Octave|Octave]] code was used in the example above to implement Horner's method.
 
<source lang="octave">
function [y b] = horner(a,x)
  % Input a is the polynomial coefficient vector, x the value to be evaluated at.
  % The output y is the evaluated polynomial and b the divided coefficient vector.
  b(1) = a(1);
  for i = 2:length(a)
    b(i) = a(i)+x*b(i-1);
  end
  y = b(length(a));
  b = b(1:length(b)-1);
end
</source>
 
==== Python implementation ====
 
The following [[Python (programming language)|Python]] code implements Horner's method.
 
<source lang="python">
def horner(x, *polynomial):
    """A function that implements the Horner Scheme for evaluating a
    polynomial of coefficients *polynomial in x."""
    result = 0
    for coefficient in polynomial:
        result = result * x + coefficient
    return result
</source>
 
==Application==
Horner's method can be used to convert between different positional [[numeral system]]s – in which case ''x'' is the base of the number system, and the ''a''<sub>''i''</sub> coefficients are the digits of the base-''x'' representation of a given number – and can also be used if ''x'' is a [[matrix (math)|matrix]], in which case the gain in computational efficiency is even greater. In fact, when ''x'' is a matrix, further acceleration is possible which exploits the structure of [[matrix multiplication]], and only <math>\sqrt{n}</math> instead of ''n'' multiplies are needed (at the expense of requiring more storage) using the 1973 method of Paterson and Stockmeyer.<ref>Higham, Nicholas. (2002). ''Accuracy and Stability of Numerical Algorithms''. Philadelphia: SIAM. ISBN 0-89871-521-0. Section 5.4.</ref>
 
==Efficiency==
Evaluation using the monomial form of a degree-''n'' polynomial requires at most ''n'' additions and (''n''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''n'')/2 multiplications, if powers are calculated by repeated multiplication and each monomial is evaluated individually. (This can be reduced to ''n'' additions and 2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 multiplications by evaluating the powers of ''x'' iteratively.)  If numerical data are represented in terms of digits (or bits), then the naive algorithm also entails storing approximately 2''n'' times the number of bits of ''x'' (the evaluated polynomial has approximate magnitude ''x''<sup>''n''</sup>, and one must also store ''x''<sup>''n''</sup> itself).  By contrast, Horner's method requires only ''n'' additions and ''n'' multiplications, and its storage requirements are only ''n'' times the number of bits of ''x''. Alternatively, Horner's method can be computed with ''n'' [[fused multiply–add]]s.  Horner's method can also be extended to evaluate the first ''k'' derivatives of the polynomial with ''kn'' additions and multiplications.<ref>{{cite web|url=http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=364063.364089|title=Algorithm 337: calculation of a polynomial and its derivative values by Horner scheme|author=W. Pankiewicz}}</ref>
 
Horner's method is optimal, in the sense that any algorithm to evaluate an arbitrary polynomial must use at least as many operations. [[Alexander Ostrowski]] proved in 1954 that the number of additions required is minimal.<ref>Ostrowski, A. M. (1954). "On two problems in abstract algebra connected with Horner's rule", Studies in Math. Mech., pp. 40-48. New York: Academic Press.</ref> [[Victor Pan]] proved in 1966 that the number of multiplications is minimal.<ref>Pan, Y. Ja. (1966). "On means of calculating values of polynomials'', Russian Math. Surveys" '''21''', pp. 105-136.</ref> However, when ''x'' is a matrix, Horner's method is not optimal.
 
This assumes that the polynomial is evaluated in monomial form and no [[preconditioning]] of the representation is allowed, which makes sense if the polynomial is evaluated only once. However, if preconditioning is allowed and the polynomial is to be evaluated many times, then faster algorithms are possible. They involve a transformation of the representation of the polynomial. In general, a degree-''n'' polynomial can be evaluated using only <math>{\scriptstyle{\left\lfloor n/2 \right\rfloor + 2}}</math> multiplications and ''n'' additions (see [[Donald Knuth|Knuth]]: ''[[The Art of Computer Programming]]'', Vol.2).
 
==History==
[[File:Qingjiushaoquad1.GIF|thumb|right|200px|Qin Jiushao algorithm for solving quadratic polymial equation<math>-x^4+763200x^2-40642560000=0</math><br>result:x=840<ref>Urich Libbrecht Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, p181&ndash;191, Dover ISBN 0-486-44619-0</ref>]]
Horner's paper entitled "[http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Horner1819PhilTransRoySocLon.pdf A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation]", was read before the Royal Society of London, at its meeting on on July 1, 1819, with [[Davies Gilbert]], Vice-President and Treasurer, in the chair; this was the final [http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015014105277?urlappend=%3Bseq=158 meeting] of the session before the Society adjorned for its Summer recess. When a sequel was read before the Society in 1823, it was again at the final meeting of the session. On both occasions, papers by [[James Ivory (mathematician)|James Ivory]], FRS, were also read. In 1819, it was Horner's paper that got through to publication in the "Philosophical Transactions".<ref name="Horner">{{cite journal
|last = William George Horner
|title = A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation
|journal = Philosophical Transactions
|date=July 1819
|pages = pp.&nbsp;308&ndash;335
|publisher = Royal Society of London
}}</ref><ref>{{cite journal
|title=JSTOR archive of the Royal Society of London
|jstor=107508
}}</ref> later in the year, Ivory's paper falling by the way, despite Ivory being a Fellow; in 1823, when a total of ten papers were read, fortunes as regards publication, were reversed. But Gilbert, who had strong connections with the West of England and may have had social contact with Horner, resident as Horner was in Bristol and Bath, published his own [http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Gilbert1823QJSLA.pdf survey] of Horner-type methods earlier in 1823.
 
Horner's paper in Part II of ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'' for 1819 was warmly and expansively welcomed by a [http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Horner1820MonthlyRev91-4.pdf reviewer] in the issue of ''The Monthly Review: or, Literary Journal'' for April, 1820; in comparison, a technical paper by [[Charles Babbage]] is dismissed curtly in this review. However, the reviewer noted that another, similar method had also recently been promoted by the architect and mathematical expositor, Peter Nicholson. This theme is developed in a further [http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Horner1820MonthlyRev93-12.pdf review] of some of Nicholson's books in the issue of ''The Monthly Review'' for December, 1820, which in turn ends with notice of the appearance of a booklet by Theophilus Holdred, from whom Nicholson acknowledges he obtained the gist of his approach in the first place, although claiming to have improved upon it. The sequence of reviews is concluded in the issue of ''The Monthly Review'' for September, 1821, with the [http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Horner1821MonthlyRev96-9.pdf reviewer] reasserting both Horner's priority and the primacy of his method, judiciously observing that had Holdred published forty years earlier, his contribution could more easily be recognized. The reviewer is exceptionally well-informed, even having sighted Horner's preparatory correspondence with [[Peter Barlow (mathematician)|Peter Barlow]] in 1818, seeking work of [[François Budan de Boislaurent|Budan]]. The Bodlean Library, Oxford has the Editor's annotated copy of ''The Monthly Review'' from which it is clear that the most active reviewer in mathematics in 1814 and 1815 (the last years for which this information has been published) was none other than Peter Barlow,one of the foremost specialists on approximation theory of the period, suggesting that it was Barlow, who wrote this sequence of reviews. As it also happened, Henry Atkinson, of Newcastle, devised a similar approximation scheme in 1809; he had consulted his fellow [[Geordie]], [[Charles Hutton]], another specialist and a senior colleague of Barlow at the Royal Military Academy, Woolwich, only to be advised that, while his work was publishable, it was unlikely to have much impact. J. R. Young, writing in the mid-1830s, concluded that Holdred's first method replicated Atkinson's while his improved method was only added to Holdred's booklet some months after its first appearance in 1820, when Horner's paper was already in circulation.
 
The feature of Horner's writing that most distinguishes it from his English contemporaries is the way he draws on the Continental literature, notably the work of [[Louis François Antoine Arbogast|Arbogast]]. The advocacy, as well as the detraction, of Horner's Method has this as an unspoken subtext. Quite how he gained that familiarity has not been determined. Horner is known to have made a close reading of John Bonneycastle's book on algebra. Bonneycastle recognizes that Arbogast has the general, combinatorial expression for the reversion of series, a project going back at least to Newton. But Bonneycastle's main purpose in mentioning Arbogast is not to praise him, but to observe that Arbogast's notation is incompatible with the approach he adopts. The gap in Horner's reading was the work of [[Paolo Ruffini]], except that, as far as awareness of Ruffini goes, citations of Ruffini's work by authors, including medical authors, in ''Philosophical Transactions'' speak volumes: there are none - Ruffini's [http://hdl.handle.net/2027/njp.32101013501372?urlappend=%3Bseq=695 name] only appears in 1814, recording a work he donated to the Royal Society. Ruffini might have done better if his work had appeared in French, as had [[Malfatti's problem|Malfatti's Problem]] in the reformulation of [[Gergonne|Joseph Diaz Gergonne]], or had he written in French, as had [[:it:Antonio Cagnoli|Antonio Cagnoli]], a source quoted by Bonneycastle on series reversion (today, Cagnoli is in the Italian Wikipedia, as shown, but has yet to make it into either French or English).
 
Fuller<ref>Fuller A. T. :Horner versus Holdred: An Episode in the History of Root Computation, Historia Mathematica 26 (1999), 29–51</ref> develops the thesis that Horner's method was never published by Horner until after it was published by Holdred. But this is at variance with the contemporary reception of the works of both Horner and Holdred, as indicated in the previous paragraph, besides the numerous internal flaws in Fuller's paper, flaws that are so strange as to raise doubt as to Fuller's purpose (see the [[Talk:Horner%27s_method#Is_Fuller.27s_article_a_hoax.3F|Talk]] page). Fuller also takes aim at [[Augustus De Morgan]]. Precocious though Augustus de Morgan was, he was not the reviewer for ''The Monthly Review'', while several others - [[Thomas Stephens Davies]], J. R. Young, Stephen Fenwick, T. T. Wilkinson - wrote Horner firmly into their records, not least Horner himself, as he published extensively up until the year of his death in 1837. His paper in 1819 was one that would have been difficult to miss. In contrast, the only other mathematical sighting of Holdred is a single named contribution to ''The Gentleman's Mathematical Companion'', an answer to a problem.
 
It is questionable to what extent it was De Morgan's advocacy of Horner's priority in discovery<ref name="Cajori" /><ref name="St Andrews" /> that led to "Horner's method" being so called in textbooks, but it is true that those suggesting this tend themselves to know of Horner largely through intermediaries, of whom De Morgan made himself a prime example. However, this method ''qua'' method was known long before Horner. In reverse chronological order, Horner's method was already known to:
 
* [[Paolo Ruffini]] in 1809 (see [[Ruffini's rule]])<ref name="Cajori" /><ref name="St Andrews">{{MacTutor Biography|id=Horner}}</ref>
* [[Isaac Newton]] in 1669 (but precise reference needed)
* the [[Chinese mathematics|Chinese mathematician]] [[Zhu Shijie]] in the 14th century<ref name="St Andrews" />
* the [[Chinese mathematics|Chinese mathematician]] [[Qin Jiushao]] in his ''[[Mathematical Treatise in Nine Sections]]'' in the 13th century
* the [[Persian people|Persian]] [[Islamic mathematics|mathematician]] [[Sharaf al-Dīn al-Tūsī]] in the 12th century<ref>J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2), p. 304&ndash;309.</ref>
* the Chinese mathematician [[Jia Xian]] in the 11th century ([[Song Dynasty]])
* ''[[The Nine Chapters on the Mathematical Art]]'', a Chinese work of the [[Han Dynasty]] (202 BC &ndash; 220 AD) edited by [[Liu Hui]] (fl. 3rd century).<ref>Temple, Robert. (1986). ''The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention''. With a forward by Joseph Needham. New York: Simon and Schuster, Inc. ISBN 0-671-62028-2. Page 142.</ref>
 
However, this observation on its own masks significant differences in conception and also, as noted with Ruffini's work, issues of accessibility.
 
[[Qin Jiushao]], in his ''Shu Shu Jiu Zhang'' (''[[Mathematical Treatise in Nine Sections]]''; 1247), presents a portfolio of methods of Horner-type for solving polynomial equations, which was based on earlier works of the 11th century Song dynasty mathematician [[Jia Xian]]; for example, one method is specifically suited to bi-qintics, of which Qin gives an instance, in keeping with the then Chinese custom of case studies. The first person writing in English to note the connection with Horner's method was [[Alexander Wylie (missionary)|Alexander Wylie]], writing in ''The North China Herald'' in 1852; perhaps conflating and misconstruing different Chinese phrases, Wylie calls the method ''Harmoniously Alternating Evolution'' (which does not agree with his Chinese, ''linglong kaifang'', not that at that date he uses [[pinyin]]), working the case of one of Qin's quartics and giving, for comparison, the working with Horner's method. [[Yoshio Mikami]] in ''Development of Mathematics in China and Japan'' published in Leipzig in 1913, gave a detailed description of Qin's method, using the quartic illustrated to the above right in a worked example; he wrote: "who can deny the fact of Horner's illustrious process being used in China at least nearly six long centuries earlier than in Europe ... We of course don't intend in any way to ascribe Horner's invention to a Chinese origin, but the lapse of time sufficiently makes it not altogether impossible that the Europeans could have known of the Chinese method in a direct or indirect way.".<ref>Yoshio Mikami, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Chapter 11, Chin Chiu Shao, p77 Chelsea Publishing Co</ref> However, as Mikami is also aware, it was ''not altogether impossible'' that a related work, ''Si Yuan Yu Jian'' (''Jade Mirror of the Four Unknowns; 1303)'' by [[Zhu Shijie]] might make the shorter journey across to Japan, but seemingly it never did, although another work of Zhu, ''Suan Xue Qi Meng'', had a seminal influence on the development of traditional mathematics in the Edo period, starting in the mid-1600s. [[Ulrich Libbrecht]] (at the time teaching in school, but subsequently a professor of comparative philosophy) gave a detailed description in his doctoral thesis of Qin's method, he concluded: ''It is obvious that this procedure is a Chinese invention....the method was not known in India''. He said, Fibonacci probably learned of it from Arabs, who perhaps borrowed from the Chinese.<ref>Ulrich Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Chapter 13, Numerial Equations of Higher Degree, p208 Dover, ISBN 0-486-44619-0</ref> Here, the problems is that there is no more evidence for this speculation than there is of the method being known in India. Of course, the extraction of square and cube roots along similar lines is already discussed by [[Liu Hui]] in connection with Problems IV.16 and 22 in ''Jiu Zhang Suan Shu'', while [[Wang Xiaotong]] in the 7th century supposes his readers can solve cubics by an approximation method he does not specify.
 
==See also==
*[[Clenshaw algorithm]] to evaluate polynomials in [[Chebyshev form]]
*[[De Boor's algorithm]] to evaluate [[spline curve|splines]] in [[B-spline]] form
*[[De Casteljau's algorithm]] to evaluate polynomials in [[Bézier form]]
*[[Estrin's scheme]] to facilitate parallelization on modern computer architectures
*[[Lill's method]] to approximate roots graphically
*[[Ruffini's rule]] to divide a polynomial by a binomial of the form x − r
 
==References==
{{reflist}}
 
===Bibliography===
* {{cite journal
|last = Horner
|first = William George
|title = [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?u=1&num=308&seq=13&view=image&size=100&id=mdp.39015034564461 A new method of solving numerical equations of all orders, by continuous approximation]
|journal = Philosophical Transactions
|date=July 1819
|pages = pp.&nbsp;308&ndash;335
|publisher = Royal Society of London
}} Directly available online via the link, but also reprinted with appraisal in D.E.Smith: ''A Source Book in Mathematics'', McGraw-Hill, 1929; Dover reprint, 2 vols 1959
* {{cite book
|last = Spiegel
|first = Murray R.
|title = Schaum's Outline of Theory and Problems of College Algebra
|year = 1956
|publisher = McGraw-Hill Book Company
}}
* {{cite book
|last = Knuth
|first = Donald
|title = The Art of Computer Programming
|volume = Vol. 2: Seminumerical Algorithms
|edition = 3rd
|year = 1997
|publisher = Addison-Wesley
|isbn = 0-201-89684-2
|pages = 486&ndash;488 in section 4.6.4
}}
* {{Cite journal
   | last = Kripasagar
  | first =  Venkat
  | title = Efficient Micro Mathematics &ndash; Multiplication and Division Techniques for MCUs
  | journal = Circuit Cellar magazine
  | issue = 212
  | page = p.&nbsp;60
  | date = March 2008
}}
* {{cite book
|last = Mikami
|first = Yoshio
|title = [http://archive.org/details/treatiseindynami033561mbp The Development of Mathematics in China and Japan]
|chapter = [http://archive.org/stream/treatiseindynami033561mbp#page/n77/mode/2up 11]
|edition = 1st
|year = 1913
|publisher = Chelsea Publishing Co reprint
|isbn =
|pages = [http://archive.org/stream/treatiseindynami033561mbp#page/n89/mode/2up 74–77]
}} Yes, really! It looks as though the link is taking you to a completely different work, but you end up at Mikami's book, as you find on checking the specified pages.
 
* {{cite book
|last = Ulrich
|first = Librecht
|title = Chinese Mathematics in the Thirteenth Century
|chapter = 13
|edition = 2nd
|year = 2005
|publisher = Dover
|isbn = 0-486-44619-0
|pages = 175–211
}}
 
* {{cite book
|last = Wylie
|first = Alexander
|title = [http://archive.org/details/chineseresearche00wyliuoft Chinese Researches]
|year = 1897
|publisher = Printed in Shanghai
}}, ''[http://archive.org/stream/chineseresearche00wyliuoft#page/158/mode/2up Jottings on the Science of Chinese Arithmetic]'' (reprinted from issues of ''The North China Herald'' (1852).
*T. Holdred (1820), [http://turing.une.edu.au/~ernie/Horner/Holdred1820.pdf A New Method of Solving Equations with Ease and Expedition; by which the True Value of the Unknown Quantity is Found Without Previous Reduction. With a Supplement, Containing Two Other Methods of Solving Equations, Derived from the Same Principle] Richard Watts. Sold by Davis and Dickson, mathematical and philosophical booksellers, 17, St. Martin's-le-Grand; and by the author, 2, Denzel Street, Clare-Market, 56pp..
 
==External links==
* {{springer|title=Horner scheme|id=p/h048030}}
* {{MathWorld|urlname=HornersMethod|title=Horner's method}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/HornerMod.html Module for Horner's Method by John H. Mathews]
* Qiu Jin-Shao, [http://turing.une.edu.au/~ernie/Chinese/SSJZ.pdf Shu Shu Jiu Zhang] (Cong Shu Ji Cheng ed.)
 
{{DEFAULTSORT:Horner Scheme}}
[[Category:Algebra]]
[[Category:Polynomials]]
[[Category:Numerical analysis]]

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