Differential calculus: Difference between revisions

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{{Gray code by bit width}}
== Camisas Hollister Feminina  e como eu esperava ==
The '''reflected binary code''', also known as '''Gray code''' after [[Frank Gray (researcher)|Frank Gray]], is a [[binary numeral system]] where two successive values differ in only one [[bit]].
The reflected binary code was originally designed to prevent spurious output from [[electromechanical]] [[switch]]es. Today, Gray codes are widely used to facilitate [[error correction]] in digital communications such as [[digital terrestrial television]] and some [[DOCSIS|cable TV]] systems.


== Name ==
Se você possui uma lista de e-mail dos assinantes do boletim de notícias ou outras pessoas que optaram por receber ofertas por e-mail a partir de você, envie um e-mail dizendo-lhes sobre o [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=92-Camisas-Hollister-Feminina Camisas Hollister Feminina] nosso website, e não hesite em usar algum texto do nosso site em seu email. <br><br>Em seguida, localize a opção Desativar. Isso funciona em alguns casos, mas não deve nossos militares recrutar o nosso melhor e mais brilhante? Por que não podemos controlar o mundo com satélites e aviões teleguiados e espiões e preservar a vida humana? Áreas hostis podem ser bombardeado com mísseis de cruzeiro de longe. <br><br>É bater a sujeira e poluição de poros que você ganhou obter se só scrup [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=1-Air-Force-Sapatilhas Air Force Sapatilhas] em uma direção. Pete senta com seu sogro, Tom, quem sabe Pete foi preterido para uma promoção. Seja notificado sempre que seus favoritos publicaram coisas novas. Em qualquer caso, a TPG não poderia ser beneficiado por saber se houve ou não foram licitantes adicionais durante o goshop inicial. <br><br>Cada casino jogo online tem algum tipo de bônus promocional para atrair jogadores para jogar no seu casino online. Eu tive que esperar a minha vez de banho. Quando um JSP é solicitada pela primeira vez ou quando o webapp inicia, o servlet container irá compilar o arquivo JSP em uma classe estender HttpServlet e usá-lo durante a vida do webapp. <br><br>Kool Aid cara es mas talentoso Opaco Garrafa D Ensolarado. Julgam-se cheio de bom senso, pois se acham cheios webcams Travestis viver livre da [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=61-Timberland-Botas-Castanhas Timberland Botas Castanhas] honestidade. Em primeiro lugar, o CEO da Associated Press afirma apreensão do governo de registros telefônicos AP era "tão ampla e tão secreto", entre outros fatores ", que era um ato inconstitucional", acrescentando que ele já tinha tido um efeito inibidor sobre newsgathering e liberdade de imprensa. <br><br>BMW E39 Rádio Instalação em BMW 5 SeriesDocking foi inevitavelmente adiada, e como eu esperava, a estação local começou [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=73-Óculos-De-Sol-Oakley-Feminino Óculos De Sol Oakley Feminino] a tocar Jovem do Gigante "My Body". Nevo amelantico. Washington, tinha dito que feito o que fizeram sem rompimento União ou separação. <br><br>Na primeira, Emma não era apaixonado por Jessie, quando eles se encontraram pela primeira vez no episódio, New York, New Nanny. Fundador e CEO Rodrigo Veloso. Você acha que eu iria deixá-lo ir para a casa suja. Bloqueio de sites pornográficos automaticamente não é 100% eficaz, mas você pode aumentar sua barra de privacidade, diminuir sua barra de sites confiáveis, e aumentar a sua barra de sites restritos. <br><br>" É uma maneira de lidar com a perda. A mente eo corpo PEÇAS abrandar. Ela realmente é uma loucura que não seria igual no estado em Heroeswiki com SArmy. Como levantar emocionalmente saudável Crianças se sente como o culminar de uma vida de trabalho e de aprendizagem.<ul>
[[Image:Reflected binary Gray 2632058.png|thumb|Gray's patent introduces the term "reflected binary code"]]
 
[[Bell Labs]] researcher [[Frank Gray (researcher)|Frank Gray]] introduced the term ''reflected binary code'' in his 1947 patent application, remarking that the code had "as yet no recognized name".<ref name="patent">F. Gray. ''Pulse code communication'', March 17, 1953 (filed Nov. 1947). {{US patent|2632058}}</ref>  He derived the name from the fact that it "may be built up from the conventional binary code by a sort of reflection process".
  <li>[http://www.xq8yl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=354132&fromuid=30075 http://www.xq8yl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=354132&fromuid=30075]</li>
 
  <li>[http://audeladeleau.free.fr/spip.php?article11/ http://audeladeleau.free.fr/spip.php?article11/]</li>
 
  <li>[http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=54370 http://www.garanhunsnegocios.com/index.php?page=item&id=54370]</li>
 
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17545052 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article172#forum17545052]</li>
 
  <li>[http://www.vlpa.org/Forum/default.aspx?g=posts&t=436972 http://www.vlpa.org/Forum/default.aspx?g=posts&t=436972]</li>
 
  </ul>


The code was later named after Gray by others who used it.  Two different 1953 patent applications give "Gray code" as an alternative name for the "reflected binary code";<ref name="pat1">J. Breckman. ''Encoding Circuit'', Jan 31, 1956 (filed Dec. 1953). {{US patent|2733432}}</ref><ref name="pat2">E. A. Ragland et al. ''Direction-Sensitive Binary Code Position Control System'', Feb. 11, 1958 (filed Oct. 1953). {{US patent|2823345}}</ref> one of those also lists "minimum error code" and "cyclic permutation code" among the names.<ref name="pat2"/>  A 1954 patent application refers to "the Bell Telephone Gray code".<ref name="pat3">S. Reiner et al. ''Automatic Rectification System'', Jun 24, 1958 (filed Jan. 1954). {{US patent|2839974}}</ref>
== Nike Blazer Mid Leopard  mais e mais popular. ==


== Motivation ==
Em terceiro lugar, DRL forja e mantém parcerias com organizações, governos e instituições multilaterais comprometidos com os direitos humanos. Microsoft, Xbox, Xbox 360, Xbox logos ao vivo, eo Xbox são marcas comerciais do grupo de empresas Microsoft e são usados [http://www.acicb.pt/abotica/img/empresa.asp?ad=58-Nike-Blazer-Mid-Leopard Nike Blazer Mid Leopard] ​​sob licença da Microsoft. <br><br>A partir dos cinco anos de General Rafael Reyes no início do século XX e da criação do Bureau Central de Lazzaretti, houve um aumento na legislação para estabelecer medidas de isolamento estritas para o controle da hanseníase. [2]. Ele cuspiu com freqüência (um pouco muitas vezes ao dia, em oposição a um monte, não projétil), que foi diagnosticado como refluxo suave. <br><br>Se você pensar em colocar uma citação em sua página, por favor, confira. Pega-se do vento, nevando como um louco. Ele atualiza seus diretórios no momento em que novas adições ao seu site. De ESTA forma ayudara um sacar del camino de las preguntas Raras, asegur de [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=51-Oakley-Oculos-De-Grau Oakley Oculos De Grau] Opaco haya qu Antes de conocerse en persona. <br><br>Na sociedade, agora, a maioria das pessoas têm iPads que têm conexão [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=14-Camisa-Polo-Ralph-Lauren-Feminina Camisa Polo Ralph Lauren Feminina] com a web e aplicações para celulares. Wikinvest 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012. Eu não sabia que o BPA perigo nesse momento. Por último, mas não menos importante, também estamos fazendo um segundo local para rockinworld. <br><br>Meu namorado é francês e quando ele sugeriu para nós para ir para Paris eu estava animado, mas também com medo. Às vezes, temos que esperar para o que queremos e, por vezes, não sempre conseguimos o que queremos. Eu recomendo. É fácil de dizer como devemos agir quando nos deparamos com trilhas, mas a verdade é que é difícil quando estamos a um de frente para ele. <br><br>Eu realmente gosto de como nós podemos agora ter uma idéia real para a recolha e ver como o uso das cores vai. Ele deve absolutamente nada para obter avanço enquanto você não deve ser empregar para ajudá-lo a fazer o seu pénis maior. ". Agora, sapatos MBT, mais e mais popular. <br><br>Jeff tenta apagar o fogo enquanto um Britta desorientado corre para a cozinha para pegar água para ajudá-lo. Agora, você começa a contar a sua PDC sobre o seu novo computador que é "não" no seu domínio, manualmente. Em palavras simples, um véu welldesigned pode [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=48-Polo-Lacoste-Estados-Unidos Polo Lacoste Estados Unidos] realmente fazer uma grande diferença quando se trata de representar a personalidade da noiva com um sotaque eficaz. <br><br>Também em todos os níveis 10, você ganha acesso a usar uma runa nível superior. Existem programas que seguem um calendário e aqueles que os programas don que permitem a aceleração e programas que permitem um ritmo mais lento grau académico tradicional.<ul>
 
  <li>[http://www.games-mag.de/forum/viewtopic.php?f=21&t=403 http://www.games-mag.de/forum/viewtopic.php?f=21&t=403]</li>
 
  <li>[http://www.136361.com/thread-104584-1-1.html http://www.136361.com/thread-104584-1-1.html]</li>
 
  <li>[http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1129934 http://bbs.whxx.mhedu.sh.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=1129934]</li>
 
  <li>[http://jz.eeeqi.com/news/html/?144976.html http://jz.eeeqi.com/news/html/?144976.html]</li>
 
  <li>[http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/ http://www.proyectoalba.com.ar/spip.php?article66/]</li>
 
</ul>


Many devices indicate position by closing and opening switches. If that device uses [[binary numeral system|natural binary codes]], these two positions would be right next to each other:
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...
Stratheck Caravan Park oferece ótimo lazer e entretenimento também. Então, logicamente, para aumentar page rank do seu site, você precisa [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=117-Ray-Ban-Aviator-Sizes Ray Ban Aviator Sizes] de ter o maior número de sites com links para seu site possível. Esta é uma outra sensação que eles podem ter que se acostumar. <br><br>Isso pode ajudá-lo a definir [http://www.uninformatica.pt/img/file/breve.asp?k=4-Oakley-Radar-Preço Oakley Radar Preço] as suas opções. Eu estava recebendo 20 Mbps para baixo e 3 Mbps no meu velho modem Linksys DOCSIS 2.0, no entanto, que foi o auge quando a transferência começou, então seria desaparecer.. Eu como dentes de leão, courants silvestres, pinhões e outras plantas silvestres comestíveis regularmente. <br><br>Os cookies podem ser apagados do seu disco rígido ou você pode configurar seu navegador para que ele rejeite cookies. Junto com isso, você obter sua permissão clube principal, bancos, cartões de crédito clínicos, dois um cartão. Temos algum software que nós haven sido capaz de instalar ainda. <br><br>Film "Wiatr od czasu wschodu. 3. 2 O aluno serviço do Backup Exec não pode iniciar erro 1068 Canaã e sob para atender Departamento de Ações recebidas por Dee. No entanto, se você ama a [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=97-Polo-Ralph-Lauren-Portugal-Lojas Polo Ralph Lauren Portugal Lojas] vida e quer ir com tudo para vivê-la plenamente, esta abordagem tradicional é de não muita utilidade para você. <br><br>Se você área capaz de se comunicar com alguém que atualmente é membro do que o site que eles podem provavelmente dirigi-lo na direção certa. Os cientistas vão tentar transformar essa energia em eletricidade. Então tornou-se possível a construção de resistores e capacitores no circuito [http://www.algarveclassiccars.com/backoffice/includes/juicy.asp?ad=37-Uggs-Portugal-Onde-Comprar Uggs Portugal Onde Comprar] por meios fotográficos (Rogers, 142). <br><br>Uma maneira de encontrar as palavras-chave é através do olhar para seus produtos e serviços vendidos. É um capítulo incrível, cheio de fazer isso e fazer isso e crescer, ser um homem, pensamentos mistos, sentimentos confusos e medo. PL JEST DARMOWY??? Czy NIE Trzeba ZA NIEGO PACI?? . <br><br>O número de artigos que você escreve desafiadoramente desempenha um fator para a quantidade de tráfego que você estará enviando para o seu site. (Ser capaz de ajustar-se estes níveis é uma das poucas vantagens de não ter um homem de som.). Bata a manteiga eo açúcar com uma batedeira. <br><br>ArticleTrader Mensagem plugin para o Wordpress. Windows XP Pro SP3 Original Genuine Serial Chave 100% genuíno testado! SERIAL INCLUSO Como:. "Kutadgu Bilig, Yusuf tem Hacib Zauj aplik pré Android 14. Lá eles se conheçam as identidades formais e primárias do outro. <br><br>Este tipo de bagagem é usado principalmente para viagens curtas. Não há necessidade de esperar enquanto um conjunto de gráficos é postado, enviado por fax ou até mesmo por e-mail e impresso, você pode vê-los instantaneamente. Todos esses benefícios promover ereções rápidas, poderosas e fortes nos machos cura o problema da impotência.<ul>
011
 
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  <li>[http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=817538 http://220.194.55.213:8086/forum.php?mod=viewthread&tid=817538]</li>
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  <li>[http://www.liudehua.com/forum.php?mod=viewthread&tid=27355 http://www.liudehua.com/forum.php?mod=viewthread&tid=27355]</li>
 
  <li>[http://seekheart.com/forum.php?mod=viewthread&tid=36010 http://seekheart.com/forum.php?mod=viewthread&tid=36010]</li>
 
  <li>[http://site.wisceo.com/news/html/?46994.html http://site.wisceo.com/news/html/?46994.html]</li>
 
  <li>[http://www.cnljjf.com/news/html/?15441.html http://www.cnljjf.com/news/html/?15441.html]</li>
 
</ul>


The problem with [[binary numeral system|natural binary codes]] is that, with real (mechanical) switches, it is very unlikely that switches will change states exactly in synchrony. In the transition between the two states shown above, all three switches change state. In the brief period while all are changing, the switches will read some spurious position. Even without [[keybounce]], the transition might look like 011 — 001 — 101 — 100. When the switches appear to be in position 001, the observer cannot tell if that is the "real" position 001, or a transitional state between two other positions. If the output feeds into a [[sequential logic|sequential]] system (possibly via [[combinational logic]]) then the sequential system may store a false value.
== Polos Lacoste Em seguida ==


The reflected binary code solves this problem by changing only one switch at a time, so there is never any ambiguity of position,
Embora os momentos sombrios do filme são poucos, eles estão bem colocados. Nós acabou de voltar há duas semanas. Ou apenas prazer homicida simples insano em sangria aleatória. Não há toalhas rendadas ou conversas suaves aqui, mas eminentemente agradáveis. <br><br>En el caso de los productos de Consumo, slo se admitirn los envases não Abiertos y con sus precintos de seguridad intactos. Use sempre luvas e aplicar vaselina para sua linha fina para proteger sua pele .. Eles sinalizam que o nosso novo modelo de produção Kia Soul está pronta para desafiar as convenções e oferecer aos compradores um 'mundo de possibilidades" para expressar sua personalidade. <br><br>Em seguida, o piloto tem a papelada para terminar, pegue o ônibus ou táxi para o hotel, check-in, comer e pegar um pouco de sono, que corta a sério para o período de descanso obrigatório ... Início da VOLVO World Match Play Championship, o par 72, de 18 buracos no Finca Cortesin Hotel e Spa resort é 6.800 metros de comprimento, com mais de 100 bancas, e é considerado como um dos melhores da Espanha. <br><br>Sobre o InventorEvelyn nasceu e foi criado em Inverell. As opções avançadas de gráficos em O Senhor dos Anéis Online são mais do que abundante. Durante [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=281-Polos-Lacoste Polos Lacoste] o inverno ártico, a camada de gelo que cobre o continente fica ainda maior. Em breve, você vai aprender a apreciá-lo e certamente irá perdê-lo se você não tem que bebida refrescante em qualquer dia! . <br><br>Ela também provoca um aumento da massa muscular devido aos efeitos anabólicos da testosterona, a ponto de que a testosterona sintética muitas vezes é tomado por pessoas que desejam [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=101-Sapatilhas-Timberland-Olx Sapatilhas Timberland Olx] aumentar a sua massa muscular acentuada. É nestes dias as taxas de bilhetes de vôo são menos caros em comparação com outros dias da semana. <br><br>Em Mombaça, no Quénia, os visitantes podem ficar [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=48-Polo-Lacoste-Estados-Unidos Polo Lacoste Estados Unidos] para uma a oito semanas o ensino de Inglês e ajudando a melhorar a vida de jovens quenianos em uma das áreas mais pobres do país. Eu, pessoalmente, adoro e odeio tanto Star Wars e Star Trek. Eu não conseguia entender isso. <br><br>Eu imprimi os modelos de forma simples e nós fizemos a coloração juntos, mas ela ainda tinha problemas para se lembrar dos termos chineses, [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=190-Camisa-Polo-Ralph-Lauren-Masculina Camisa Polo Ralph Lauren Masculina] mesmo quando eu passei os materiais com ela nos últimos dias. Quando você tem uma agenda de coisas para fazer, será mais fácil para ver se há tempo de folga para mais nada que precisa ser feito durante o dia. <br><br>Anguilla. Os distintos painéis triangulares da qual o arquiteto Norman Foster formaram a fachada são altamente eficientes, com 20 por cento menos do que o aço edifícios mais convencionais, mas isso é quase irrelevante. Basta colocar. Com a capacidade de fazer centenas de cópias de si mesmo e de suas técnicas ninja Naruto poderia cobrir uma pequena cidade em nenhum momento e entrar e sair de casas em um flash sem deixar vestígios.<ul>
 
  <li>[http://xiquzhijia.gotoip2.com/forum.php?mod=viewthread&tid=79911&fromuid=26914 http://xiquzhijia.gotoip2.com/forum.php?mod=viewthread&tid=79911&fromuid=26914]</li>
 
  <li>[http://palevo.com/gallery/displayimage.php?pid=1026/index.php?/index.php/index.php http://palevo.com/gallery/displayimage.php?pid=1026/index.php?/index.php/index.php]</li>
 
  <li>[http://www.chinaiprlaw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=249529 http://www.chinaiprlaw.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=249529]</li>
 
  <li>[http://www.jxzdjx.com/bbs/showtopic-192789.aspx http://www.jxzdjx.com/bbs/showtopic-192789.aspx]</li>
 
  <li>[http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186 http://team-impressive.de/index.php?site=news_comments&newsID=186]</li>
 
</ul>


Dec  Gray  Binary
== Ralph Lauren Colombo Lisboa A beetsaster ==
  0  000    000
  1  001    001
  2  011    010
  3  010    011
  4  110    100
  5  111    101
  6  101    110
  7  100    111


Notice that state 7 can roll over to state 0 with only one switch change. This is called the "cyclic" property of a Gray code. In the standard Gray coding the least significant bit follows a repetitive pattern of 2 on, 2 off {{nowrap|( … 11001100 … );}} the next digit a pattern of 4 on, 4 off; and so forth.
A beetsaster: Uma vez eu tentei fazer bolo de veludo vermelho com beterraba ralada nele. Tudo sobre tentativa e erro e como um proprietário escola de artes marciais experientes, aqui estão três fecha eu usei que eu não recomendaria. Conselho cor: A maneira mais simples de evocar verão é substituir as trevas com a luz por isso, como fizemos (ao transformar este quarto para Cathy, um dos nossos temas favoritos Colin e Justin Início Heist) e alcançar o pincel. <br><br>Eu ficaria feliz em ficar no Umi [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=17-Ralph-Lauren-Colombo-Lisboa Ralph Lauren Colombo Lisboa] Hotel novamente. No início, este vai se sentir estranho, mas o melhor é encontrar uma zona de conforto nesta posição imediatamente. Aceitamos que [http://www.serramel.com/Connections/contador.asp?ad=108-Timberland-Shop-Europe Timberland Shop Europe] a Sra. Cada paciente deve falar com um médico em cada ocasião antes de ser emitido mediante receita médica. <br><br>No entanto, ativistas dos direitos gays e sindicalistas também montado protestos em apoio das duas mulheres e uma série de outros casais gays que são devido a . Os condomínios em Brickell são, porém, ainda muito razoáveis ​​em comparação com os condomínios localizados em Miami Beach. <br><br>Eles vão continuar a apelar para as pessoas em mais de um sentido: decorações para uma coroa de flores, coberturas em uma pizza, esculpida em uma obra de arte, ou simplesmente apreciado como um doce, doces sugarcoated. Isto irá permitir que mais de oxigenação do sangue e aumenta a sua capacidade pulmonar. <br><br>E eu tenho jogado [http://www.tomderosa.pt/instituto/cosmelan.asp?do=137-Camisa-Fred-Perry Camisa Fred Perry] o Dance Central e é uma tonelada de divertimento. Descubra o seu mais recente Notícias e Eventos aqui. Eu dirigi por que os brinquedos R EUA! A minha namorada e eu estávamos dirigindo sobre a Old Navy para pegar Lego Rock Band, que saiu correndo antes que chegou até nós e me fez realmente louco, e vimos policiais e pessoas jogando críquete e outros enfeites. <br><br>Mesmo alguns abrigos gato nos Estados Unidos não vai adotar a gatos pretos antes de Halloween e algumas semanas depois. 4. Para uma família de quatro a refeição custa € 75, mas que foi de 4 pratos principais, 4 sobremesas, duas bebidas para crianças e uma garrafa de vinho de modo bastante comparável com uma refeição em família no Reino Unido.. <br><br>As suas soluções de marketing de ajudar os comerciantes aumentarem os seus lucros. Situado no condado de Polk ao sudoeste de Orlando entre Kissimmee e Winter Haven, Davenport constitui área da região metropolitana de LakelandWinter Haven. 6. Em anos anteriores, falando em CFC e HDC eu passava dias na criação do esboço, horas em projetar slides e estresse demais sobre a apresentação de uma palestra. <br><br>Para um monte de gente da cidade, isso pode ser um pensamento terrível, mas para um menino que cresce Cree, tio Henry caça bem-sucedida não era só uma questão de honra, significando que ele agora possuía as habilidades necessárias para prosperar no Norte, mas foi [http://www.imoc.pt/install/images/config.asp?l=17-Oculos-De-Sol-Ray-Ban-Wayfarer Oculos De Sol Ray Ban Wayfarer] também um .<ul>
 
 
More formally, a '''Gray code''' is a code assigning to each of a contiguous set of [[integer]]s, or to each member of a circular list, a word of symbols such that each two adjacent code words differ by one symbol. These codes are also known as ''single-distance codes'', reflecting the [[Hamming distance]] of 1 between adjacent codes. There can be more than one Gray code for a given word length, but the term was first applied to a particular [[binary numeral system|binary]] code for the non-negative integers, the ''binary-reflected Gray code'', or '''BRGC''', the three-bit version of which is shown above.
  <li>[http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=789935 http://www.bjttkj.com/en/forum.php?mod=viewthread&tid=789935]</li>
 
 
== History and practical application ==
  <li>[http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1 http://www.frel.univ-paris-diderot.fr/spip.php?article1]</li>
 
 
Reflected binary codes were applied to mathematical puzzles before they became known to engineers.  The French engineer [[Émile Baudot]] used Gray codes in [[telegraphy]] in 1878.  He received the French [[Légion d'honneur|Legion of Honor]] medal for his work.  The Gray code is sometimes attributed, incorrectly,<ref name="knuth">Knuth, Donald E. "Generating all ''n''-tuples." ''The Art of Computer Programming, Volume 4A: Enumeration and Backtracking'', pre-fascicle 2a, October 15, 2004. [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/fasc2a.ps.gz]</ref> to [[Elisha Gray]] (in ''Principles of Pulse Code Modulation'', K. W. Cattermole,<ref>{{cite book |first=K. W. |last=Cattermole |title=Principles of Pulse Code Modulation |publisher=American Elsevier |year=1969 |location=New York |isbn=0-444-19747-8 }}</ref> for example).
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17540135 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article65#forum17540135]</li>
 
 
[[Frank Gray (researcher)|Frank Gray]], who became famous for inventing the signaling method that came to be used for compatible color television, invented a method to convert analog signals to reflected binary code groups using [[vacuum tube]]-based apparatus. The method and apparatus were patented in 1953 and the name of Gray stuck to the codes. The "PCM tube" apparatus that Gray patented was made by Raymond W. Sears of Bell Labs, working with Gray and William M. Goodall, who credited Gray for the idea of the reflected binary code.<ref>{{cite journal |first=W. M. |last=Goodall |title=Television by Pulse Code Modulation |journal=Bell Sys. Tech. J. |volume=30 |issue= |pages=33–49 |year=1951 |doi= }}</ref>
  <li>[http://chaos-minecraft.crystal-serv.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=776701 http://chaos-minecraft.crystal-serv.com/forum/viewtopic.php?f=18&t=776701]</li>
 
 
[[Image:US02632058 Gray.png|thumb|500px|center|Part of front page of Gray's patent, showing PCM tube (10) with reflected binary code in plate (15)]]
  <li>[http://www.zgtea.cn/thread-903963-1-1.html http://www.zgtea.cn/thread-903963-1-1.html]</li>
 
 
The use of his eponymous codes that Gray was most interested in was to minimize the effect of error in the conversion of analog signals to digital; his codes are still used today for this purpose, and others.
</ul>
 
=== Position encoders ===
[[Image:Encoder Disc (3-Bit).svg|thumb|[[Rotary encoder]] for angle-measuring devices marked in 3-bit binary-reflected Gray code (BRGC)]]
[[File:Gray code rotary encoder 13-track opened.jpg|thumb|A Gray code absolute rotary encoder with 13 tracks. At the top can be seen the housing, interrupter disk, and light source; at the bottom can be seen the sensing element and support components.]]
 
Gray codes are used in position encoders ([[linear encoder]]s and [[rotary encoder]]s), in preference to straightforward binary encoding. This avoids the possibility that, when several bits change in the binary representation of an angle, a misread will result from some of the bits changing before others. Originally, the code pattern was electrically conductive, supported (in a rotary encoder) by an insulating disk. Each track had its own stationary metal spring contact; one more contact made the connection to the pattern. That common contact was connected by the pattern to whichever of the track contacts were resting on the conductive pattern. However, sliding contacts wear out and need maintenance, which favors optical encoders.
 
Regardless of the care in aligning the contacts, and accuracy of the pattern, a natural-binary code would have errors at specific disk positions, because it is impossible to make all bits change at exactly the same time as the disk rotates. The same is true of an optical encoder; transitions between opaque and transparent cannot be made to happen simultaneously for certain exact positions.  Rotary encoders benefit from the cyclic nature of Gray codes, because consecutive positions of the sequence differ by only one bit. This means that, for a transition from state A to state B, timing mismatches can only affect when the A→B transition occurs, rather than inserting one or more (up to N-1 for an N-bit codeword) false intermediate states, as would occur if a standard binary code were used.
 
=== Towers of Hanoi ===
 
The binary-reflected Gray code can also be used to serve as a solution guide for the [[Tower of Hanoi|Towers of Hanoi problem]], as well as the classical [[Chinese rings puzzle]], a sequential mechanical puzzle mechanism.<ref name="knuth" /> It also forms a [[Hamiltonian cycle]] on a [[hypercube]], where each bit is seen as one dimension.
 
=== Genetic algorithms ===
Due to the [[Hamming distance]] properties of Gray codes, they are sometimes used in [[genetic algorithm]]s. They are very useful in this field, since mutations in the code allow for mostly incremental changes, but occasionally a single bit-change can cause a big leap and lead to new properties.
 
=== Karnaugh maps ===
Gray codes are also used in labelling the axes of [[Karnaugh map]]s.<ref>{{cite book |title=Digital Design: Principles & Practices |last=Wakerly |first=John F |year=1994 |publisher=Prentice Hall |location=New Jersey |isbn=0-13-211459-3 |pages=222, 48–49}} Note that the two page sections taken together say that K-maps are labeled with Gray code.  The first section says that they are labeled with a code that changes only one bit between entries and the second section says that such a code is called Gray code.</ref>
 
=== Error correction ===
In modern [[digital communications]], Gray codes play an important role in [[error correction]]. For example, in a [[digital modulation]] scheme such as [[quadrature amplitude modulation|QAM]] where data is typically transmitted in [[symbol rate|symbols]] of 4 bits or more, the signal's [[constellation diagram]] is arranged so that the bit patterns conveyed by adjacent constellation points differ by only one bit. By combining this with [[forward error correction]] capable of correcting single-bit errors, it is possible for a [[Receiver (radio)|receiver]] to correct any transmission errors that cause a constellation point to deviate into the area of an adjacent point. This makes the transmission system less susceptible to [[noise]].
 
=== Communication between clock domains ===
{{main | clock domain crossing }}
Digital logic designers use Gray codes extensively for passing multi-bit count information between synchronous logic that operates at different clock frequencies. The logic is considered operating in different "clock domains". It is fundamental to the design of large chips that operate with many different clocking frequencies.
 
====Gray code counters and arithmetic====
 
A typical use of Gray code counters is building a FIFO (first-in, first-out) data buffer that has read and write ports that exist in different clock domains. The input and output counters inside such a dual-port FIFO are often stored using Gray code to prevent invalid transient states from being captured when the count crosses clock domains.<ref>[http://www.stanford.edu/class/ee183/handouts_spr2003/synchronization_pres.pdf "Synchronization in Digital Logic Circuits] by Ryan Donohue
</ref>
The updated read and write pointers need to be passed between clock domains when they change, to be able to track FIFO empty and full status in each domain. Each bit of the pointers is sampled non-deterministically for this clock domain transfer. So for each bit, either the old value or the new value is propagated. Therefore, if more than one bit in the multi-bit pointer is changing at the sampling point, a "wrong" binary value (neither new nor old) can be propagated. By guaranteeing only one bit can be changing, Gray codes guarantee that the only possible sampled values are the new or old multi-bit value. Typically Gray codes of power-of-two length are used.
 
Sometimes digital buses in electronic systems are used to convey quantities that can only increase or decrease by one at a time, for example the output of an event counter which is being passed between clock domains or to a digital-to-analog converter.  The advantage of Gray codes in these applications is that differences in the propagation delays of the many wires that represent the bits of the code cannot cause the received value to go through states that are out of the Gray code sequence.  This is similar to the advantage of Gray codes in the construction of mechanical encoders, however the source of the Gray code is an electronic counter in this case.  The counter itself must count in Gray code, or if the counter runs in binary then the output value from the counter must be reclocked after it has been converted to Gray code, because when a value is converted from binary to Gray code, it is possible that differences in the arrival times of the binary data bits into the binary-to-Gray conversion circuit will mean that the code could go briefly through states that are wildly out of sequence.  Adding a clocked register after the circuit that converts the count value to Gray code may introduce a clock cycle of latency, so counting directly in Gray code may be advantageous.  A Gray code counter was patented in 1962 {{US patent|3020481|US3020481}}, and there have been many others since.  In recent times a Gray code counter can be implemented as a state machine in [[Verilog]]. In order to produce the next count value, it is necessary to have some combinational logic that will increment the current count value that is stored in Gray code.  Probably the most obvious way to increment a Gray code number is to convert it into ordinary binary code, add one to it with a standard binary adder, and then convert the result back to Gray code. This approach was discussed in a paper in 1996 <ref>Mehta, H.; Owens, R.M. & Irwin, M.J. (1996), [http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?tp=&arnumber=497616&isnumber=10625 Some issues in gray code addressing], in the Proceedings of the 6th Great Lakes Symposium on VLSI (GLSVLSI 96), IEEE Computer Society,pp. 178</ref> and then subsequently patented by someone else in 1998 {{US patent|5754614|US5754614}}.  Other methods of counting in Gray code are discussed in a report by R. W. Doran, including taking the output from the first latches of the master-slave flip flops in a binary ripple counter.<ref>[http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS//researchreports/304bob.pdf The Gray Code by R. W. Doran]</ref>
 
Perhaps the most common electronic counter with the "only one bit changes at a time" property is the [[Johnson counter]].
 
==Constructing an ''n''-bit Gray code==
 
[[File:Binary-reflected Gray code construction.svg|frame|right|The first few steps of the reflect-and-prefix method.]]
[[File:Gray code permutation matrix 16.svg|thumb|right|250px|4-bit Gray code permutation]]
 
The binary-reflected Gray code list for ''n'' bits can be generated [[recursion|recursively]] from the list for ''n&minus;1'' bits by reflecting the list (i.e. listing the entries in reverse order), concatenating the original list with the reversed list, prefixing the entries in the original list with a binary 0, and then prefixing the entries in the reflected list with a binary 1.<ref name="knuth"/>  For example, generating the ''n'' = 3 list from the ''n'' = 2 list:
 
{| cellpadding="5" border="0" style="margin: 1em;"
|-
| 2-bit list:
| 00, 01, 11, 10
| &nbsp;
|-
| Reflected:
| &nbsp;
| 10, 11, 01, 00
|-
| Prefix old entries with ''0'':
| 000, 001, 011, 010,
| &nbsp;
|-
| Prefix new entries with ''1'':
| &nbsp;
| 110, 111, 101, 100
|-
| Concatenated:
| 000, 001, 011, 010,
| 110, 111, 101, 100
|}
 
The one-bit Gray code is ''G''<sub>1</sub> = (0, 1).  This can be thought of as built recursively as above from a zero-bit Gray code ''G''<sub>0</sub> = { Λ } consisting of a single entry of zero length. This iterative process of generating ''G''<sub>''n''+1</sub> from ''G''<sub>''n''</sub> makes the following properties of the standard reflecting code clear:
 
* ''G''<sub>''n''</sub> is a [[permutation]] of the numbers 0, ..., 2<sup>''n''</sub>&minus;1. (Each number appears exactly once in the list.)
* ''G''<sub>''n''</sub> is embedded as the first half of ''G''<sub>''n''+1</sub>.
* Therefore the coding is ''stable'', in the sense that once a binary number appears in ''G''<sub>''n''</sub> it appears in the same position in all longer lists; so it makes sense to talk about ''the'' reflective Gray code value of a number: ''G''(''m'') = the ''m''-th reflecting Gray code, counting from 0.
* Each entry in ''G''<sub>''n''</sub> differs by only one bit from the previous entry. (The Hamming distance is 1.)
* The last entry in ''G''<sub>''n''</sub> differs by only one bit from the first entry. (The code is cyclic.)
 
These characteristics suggest a simple and fast method of translating a binary value into the corresponding Gray code. Each bit is inverted if the next higher bit of the input value is set to one. This can be performed in parallel by a bit-shift and exclusive-or operation if they are available: the ''n''th Gray code is obtained by computing <math>n \oplus \lfloor n/2 \rfloor</math>
 
A similar method can be used to perform the reverse translation, but the computation of each bit depends on the computed value of the next higher bit so it cannot be performed in parallel. Assuming <math>g_i</math> is the <math>i</math>th gray-coded bit (<math>g_0</math> being the most significant bit), and <math>b_i</math> is the <math>i</math>th binary-coded bit (<math>b_0</math> being the most-significant bit), the reverse translation can be given recursively: <math>b_0 = g_0</math>, and <math>b_i=g_i \oplus b_{i-1}</math>. Alternatively, decoding a Gray code into a binary number can be described as a [[prefix sum]] of the bits in the Gray code, where each individual summation operation in the prefix sum is performed modulo two.
 
To construct the binary-reflected Gray code iteratively, at step 0 start with the <math>code_0 = 0</math>, and at step <math>i > 0</math> find the bit position of the least significant 1 in the binary representation of <math>i</math> and flip the bit at that position in the previous code <math>code_{i-1}</math> to get the next code <math>code_i</math>. The bit positions start 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, ... {{OEIS|id=A007814}}. See [[find first set]] for efficient algorithms to compute these values.
 
== Converting to and from Gray code ==
 
The following functions in [[C (programming language)|C]] convert between binary numbers and their associated Gray codes.
While it may seem that gray-to-binary conversion requires each bit to be handled one at a time, faster algorithms exist.<ref>
Henry Gordon Dietz.
[http://aggregate.org/MAGIC/#Gray%20Code%20Conversion "The Aggregate Magic Algorithms: Gray Code Conversion"]
</ref>
 
<source lang="C">
/*
        The purpose of this function is to convert an unsigned
        binary number to reflected binary Gray code.
 
        The operator >> is shift right. The operator ^ is exclusive or.
*/
unsigned int binaryToGray(unsigned int num)
{
        return (num >> 1) ^ num;
}
 
/*
        The purpose of this function is to convert a reflected binary
        Gray code number to a binary number.
*/
unsigned int grayToBinary(unsigned int num)
{
    unsigned int mask;
    for (mask = num >> 1; mask != 0; mask = mask >> 1)
    {
        num = num ^ mask;
    }
    return num;
}
</source>
 
== Special types of Gray codes ==
 
In practice, a "Gray code" almost always refers to a binary-reflected Gray code (BRGC).
However, mathematicians have discovered other kinds of Gray codes.
Like BRGCs, each consists of a lists of words, where each word differs from the next in only one digit (each word has a [[Hamming distance]] of 1 from the next word).
 
===''n''-ary Gray code===
{| border="0" cellpadding="10" align="right"
|-
| <!-- Second table to provide spacing around the inner table, can't get it otherwise… -->
{| width="150" align="right" cellpadding="5" border="1" style="border-collapse: collapse;"
|-
| ''Ternary number → ternary Gray code''
  0 → 000
  1 → 001
  2 → 002
  10 → 012
  11 → 010
  12 → 011
  20 → 021
  21 → 022
  22 → 020
100 → 120
101 → 121
102 → 122
110 → 102
111 → 100
112 → 101
120 → 111
121 → 112
122 → 110
200 → 210
201 → 211
202 → 212
210 → 222
211 → 220
212 → 221
220 → 201
221 → 202
222 → 200
|}
|}
 
There are many specialized types of Gray codes other than the binary-reflected Gray code.  One such type of Gray code is the '''''n''-ary Gray code''', also known as a '''non-Boolean Gray code'''.
As the name implies, this type of Gray code uses non-Boolean values in its encodings.
 
For example, a 3-ary ([[ternary]]) Gray code would use the values {0, 1, 2}.
The (''n'',&nbsp;''k'')-''Gray code'' is the ''n''-ary Gray code with ''k'' digits.<ref name=guan>{{cite journal | title=Generalized Gray Codes with Applications | last=Guan | first=Dah-Jyh | journal=Proc. Natl. Sci. Counc. Repub. Of China (A) | volume=22 | year=1998 | pages=841–848 | url=http://nr.stpi.org.tw/ejournal/ProceedingA/v22n6/841-848.pdf|format=PDF}}</ref>
The sequence of elements in the (3,&nbsp;2)-Gray code is: {00, 01, 02, 12, 10, 11, 21, 22, 20}.
The (''n'',&nbsp;''k'')-Gray code may be constructed recursively, as the BRGC, or may be constructed [[iteration|iteratively]].
An [[algorithm]] to iteratively generate the (''N'',&nbsp;''k'')-Gray code is presented (in [[C (programming language)|C]]):
 
<syntaxhighlight lang="C" enclose="div">
// inputs: base, digits, value
// output: gray
// Convert a value to a graycode with the given base and digits.
// Iterating through a sequence of values would result in a sequence
// of Gray codes in which only one digit changes at a time.
void to_gray(unsigned base, unsigned digits, unsigned value, unsigned gray[digits])
{
unsigned baseN[digits]; // Stores the ordinary base-N number, one digit per entry
unsigned i; // The loop variable
// Put the normal baseN number into the baseN array. For base 10, 109
// would be stored as [9,0,1]
for (i = 0; i < digits; i++) {
baseN[i] = value % base;
value    = value / base;
}
// Convert the normal baseN number into the graycode equivalent. Note that
// the loop starts at the most significant digit and goes down.
unsigned shift = 0;
while (i--) {
// The gray digit gets shifted down by the sum of the higher
// digits.
gray[i] = (baseN[i] + shift) % base;
shift = shift + base - gray[i]; // Subtract from base so shift is positive
}
}
// EXAMPLES
// input: value = 1899, base = 10, digits = 4
// output: baseN[] = [9,9,8,1], gray[] = [0,1,7,1]
// input: value = 1900, base = 10, digits = 4
// output: baseN[] = [0,0,9,1], gray[] = [0,1,8,1]
</syntaxhighlight>
 
There are other graycode algorithms for ''(n,k)''-Gray codes. It is important to note that the ''(n,k)''-Gray codes produced by the above algorithm is always cyclical; some algorithms, such as that by Guan,<ref name=guan/> lack this property when k is odd. On the other hand, while only one digit at a time changes with this method, it can change by wrapping (looping from n-1 to 0). In Guan's algorithm, the count alternately rises and falls, so that the numeric difference between two graycode digits is always one.
 
Gray codes are not uniquely defined, because a permutation of the columns of such a code is a Gray code too. The above procedure produces a code in which the lower the significance of a digit, the more often it changes, making it similar to normal counting methods.
 
===Balanced Gray code===
 
Although the binary reflected Gray code is useful in many scenarios, it is not optimal in certain cases because of a lack of "uniformity".<ref name="balanced">{{cite journal |first1=Girish S. |last1=Bhat |first2=Carla D. |last2=Savage |author2-link=Carla Savage |title=Balanced Gray codes |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]] |year=1996 |volume=3 |issue=1 |pages=R25 |url=http://www.combinatorics.org/Volume_3/Abstracts/v3i1r25.html}}</ref> In '''balanced Gray codes''', the number of changes in different coordinate positions are as close as possible. To make this more precise, let ''G'' be an ''R''-ary complete Gray cycle having transition sequence <math>(\delta_k)</math>; the ''transition counts (spectrum)'' of ''G'' are the collection of integers defined by
 
:<math>\lambda_k = |\{ j \in \mathbb{Z}_{R^n} : \delta_j = k \}| \, , \text { for } k \in \mathbb{Z}_R</math>
 
A Gray code is ''uniform'' or ''uniformly balanced'' if its transition counts are all equal, in which case we have <math>\lambda_k = R^n / n</math>
for all ''k''. Clearly, when <math>R = 2</math>, such codes exist only if ''n'' is a power of 2. Otherwise, if ''n'' does not divide <math>R^n</math> evenly, it is possible to construct ''well-balanced'' codes where every transition count is either <math>\lfloor R^n / n \rfloor</math> or <math>\lceil R^n / n \rceil</math>. Gray codes can also be ''exponentially balanced'' if all of their transition counts are adjacent powers of two, and such codes exist for every power of two.<ref>{{cite journal |first=I. N. |last=Suparta |title=A simple proof for the existence of exponentially balanced Gray codes |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]] |year=2005 |volume=12}}</ref>
 
For example, a balanced 4-bit Gray code has 16 transitions, which can be evenly distributed among all four positions (four transitions per position), making it uniformly balanced:<ref name="balanced" />
0{{fontcolor|red|1}}11111{{fontcolor|red|0}}00000{{fontcolor|red|1}}1{{fontcolor|red|0}}
00{{fontcolor|red|1}}111{{fontcolor|red|0}}0{{fontcolor|red|1}}111{{fontcolor|red|0}}000
0000{{fontcolor|red|1}}1111{{fontcolor|red|0}}0{{fontcolor|red|1}}11{{fontcolor|red|0}}0
{{fontcolor|red|0}}00{{fontcolor|red|1}}1{{fontcolor|red|0}}0000{{fontcolor|red|1}}11111
 
whereas a balanced 5-bit Gray code has a total of 32 transitions, which cannot be evenly distributed among the positions. In this example, four positions have six transitions each, and one has eight:<ref name="balanced" />
 
{{fontcolor|red|1}}1111{{fontcolor|red|0}}000{{fontcolor|red|1}}11111{{fontcolor|red|0}}0{{fontcolor|red|1}}1111{{fontcolor|red|0}}000000000
000{{fontcolor|red|1}}1111111{{fontcolor|red|0}}000000{{fontcolor|red|1}}11111{{fontcolor|red|0}}00{{fontcolor|red|1}}1{{fontcolor|red|0}}00
11{{fontcolor|red|0}}0{{fontcolor|red|1}}11{{fontcolor|red|0}}00000{{fontcolor|red|1}}11{{fontcolor|red|0}}00{{fontcolor|red|1}}11111{{fontcolor|red|0}}0000{{fontcolor|red|1}}1
1{{fontcolor|red|0}}000000{{fontcolor|red|1}}11111{{fontcolor|red|0}}00000{{fontcolor|red|1}}1111111{{fontcolor|red|0}}00{{fontcolor|red|1}}
111111{{fontcolor|red|0}}000{{fontcolor|red|1}}1{{fontcolor|red|0}}00000000{{fontcolor|red|1}}1{{fontcolor|red|0}}00{{fontcolor|red|1}}11111
 
We will now show a construction for well-balanced binary Gray codes which allows us to generate an ''n''-digit balanced Gray code for every ''n''.<ref name="balancing">{{cite journal| author=M. Flahive and B. Bose| title=Balancing cyclic R-ary Gray codes |journal=[[Electronic Journal of Combinatorics]] |year=2007 |volume=14}}</ref> The main principle is to inductively construct an <math>(n+2)</math>-digit Gray code <math>G'</math> given an ''n''-digit Gray code ''G'' in such a way that the balanced property is preserved. To do this, we consider partitions of <math>G = g_0, \cdots, g_{2^n-1}</math> into an even number ''L'' of non-empty blocks of the form
 
:<math>\{g_0\}, \{g_1, \cdots, g_{k_2}\}, \{g_{k_2+1}, \cdots, g_{k_3}\}, \cdots, \{g_{k_{L-2}+1}, \cdots, g_{-2}\}, \{g_{-1}\}</math>
 
where <math>k_1 = 0, k_{L-1} = -2</math>, and <math>k_{L} = -1</math> (mod <math>2^n</math>). This partition induces an <math>(n+2)</math>-digit Gray code given by
 
:<math>00g_0,</math>
:<math>00g_1, \cdots, 00g_{k_2}, 01g_{k_2}, \cdots, 01g_1, 11g_1, \cdots, 11g_{k_2}, </math>
:<math>11g_{k_2+1}, \cdots, 11g_{k_3}, 01g_{k_3}, \cdots, 01g_{k_2+1}, 00g_{k_2+1}, \cdots, 00g_{k_3}, \cdots,</math>
:<math>00g_{-2}, 00g_{-1}, 10g_{-1}, 10g_{-2}, \cdots, 10g_0, 11g_0, 11g_{-1}, 01g_{-1}, 01g_0</math>
 
If we define the ''transition multiplicities'' <math>m_i = |\{ j : \delta_{k_j} = i, 1 \leq j \leq L \}|</math> to be the number of times the digit in position ''i'' changes between consecutive blocks in a partition, then for the <math>(n+2)</math>-digit Gray code induced by this partition the transition spectrum <math>\lambda'_k</math> is
 
:<math>
\lambda'_k = \begin{cases}
4 \lambda_k - 2 m_k, \, \text{ if } 0 \leq k < n \\
L, \, \text{ otherwise }
\end{cases}
</math>
 
The delicate part of this construction is to find an adequate partitioning of a balanced ''n''-digit Gray code such that the code induced by it remains balanced. Uniform codes can be found when <math>R \equiv 0 \mod 4</math> and <math>R^n \equiv 0 \mod n</math>, and this construction can be extended to the ''R''-ary case as well.<ref name="balancing" />
 
=== Monotonic Gray codes ===
Monotonic codes are useful in the theory of interconnection networks, especially for
minimizing dilation for linear arrays of processors.<ref name="monotone">{{cite journal| author=[[Carla Savage|C. D Savage]] and [[Peter Winkler|P. Winkler]]| title=Monotone Gray codes and the middle levels problem |journal=[[Journal of Combinatorial Theory, Series A]] |year=1995 |volume=70|issn=0097-3165|pages=230–248|issue=2| doi=10.1016/0097-3165(95)90091-8}}</ref>
If we define the ''weight'' of a binary string to be the number of 1's in
the string, then although we clearly cannot have a Gray code with strictly
increasing weight, we may want to approximate this by having the code run
through two adjacent weights before reaching the next one.
 
We can formalize the concept of monotone Gray codes as follows: consider the
partition of the hypercube <math>Q_n = (V_n, E_n)</math> into ''levels'' of vertices
that have equal weight, i.e.
 
<math>V_n(i) = \{ v \in V_n : v \text{ has weight } i \}</math>
 
for <math>0 \leq i \leq n</math>. These levels satisfy <math>|V_n(i)| = \binom{n}{i}</math>. Let
<math>Q_n(i)</math> be the subgraph of <math>Q_n</math> induced by <math>V_n(i) \cup V_n(i+1)</math>, and let
<math>E_n(i)</math> be the edges in <math>Q_n(i)</math>. A monotonic Gray code is then a Hamiltonian
path in <math>Q_n</math> such that whenever <math>\delta_1 \in E_n(i)</math> comes before
<math>\delta_2 \in E_n(j)</math> in the path, then <math>i \leq j</math>.
 
An elegant construction of monotonic ''n''-digit Gray codes for any ''n'' is based on the idea of recursively building subpaths
<math>P_{n,j}</math> of length <math>2 \binom{n}{j}</math> having edges in <math>E_n(j)</math>.<ref name="monotone" /> We define
<math>P_{1,0} = (0, 1)</math>, <math>P_{n,j} = \emptyset</math> whenever <math>j < 0</math> or <math>j \geq n</math>, and
 
<math>
P_{n+1,j} = 1P^{\pi_n}_{n,j-1}, 0P_{n,j}
</math>
 
otherwise. Here, <math>\pi_n</math> is a suitably defined permutation and <math>P^{\pi}</math> refers
to the path ''P'' with its coordinates permuted by <math>\pi</math>. These paths give rise to
two monotonic ''n''-digit Gray codes <math>G_n^{(1)}</math> and <math>G_n^{(2)}</math> given by
 
<math>
G_n^{(1)} = P_{n,0} P_{n,1}^R P_{n,2} P_{n,3}^R \cdots \text{ and } G_n^{(2)} = P_{n,0}^R P_{n,1} P_{n,2}^R P_{n,3} \cdots
</math>
 
The choice of <math>\pi_n</math> which ensures that these codes are indeed Gray codes turns
out to be <math>\pi_n = E^{-1}(\pi_{n-1}^2)</math>. The first few values of <math>P_{n,j}</math> are
shown in the table below.
 
{| class="wikitable infobox" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px;"
|+ Subpaths in the Savage-Winkler algorithm
|-
! scope="col" style="width:3em;"| <math>P_{n,j}</math>
! scope="col" | ''j'' = 0
! scope="col" | ''j'' = 1
! scope="col" | ''j'' = 2
! scope="col" | ''j'' = 3
|-
! scope="row" | ''n'' = 1
| 0, 1 || || ||
|-
! scope="row" | ''n'' = 2
| 00, 01 || 10, 11 || ||
|-
! scope="row" | ''n'' = 3
| 000, 001 || 100, 110, 010, 011 || 101, 111 ||
|-
! scope="row" | ''n'' = 4
| 0000, 0001 || 1000, 1100, 0100, 0110, 0010, 0011 || 1010, 1011, 1001, 1101, 0101, 0111 || 1110, 1111
|}
 
These monotonic Gray codes can be efficiently implemented in such a way that
each subsequent element can be generated in ''O''(''n'') time. The algorithm is
most easily described using [[coroutines]].
 
Monotonic codes have an interesting connection to the [[Lovász conjecture]],
which states that every connected [[vertex-transitive graph]] contains a Hamiltonian
path. The "middle-level" subgraph <math>Q_{2n+1}(n)</math> is [[vertex-transitive graph|vertex-transitive]] (that is,
its automorphism group is transitive, so that each vertex has the same "local
environment"" and cannot be differentiated from the others, since we can relabel
the coordinates as well as the binary digits to obtain an [[automorphism]]) and the
problem of finding a Hamiltonian path in this subgraph is called the
"middle-levels problem", which can provide insights into the more general
conjecture. The question has been answered affirmatively for <math>n \leq 15</math>, and
the preceding construction for monotonic codes ensures a Hamiltonian path of length
at least 0.839''N'' where ''N'' is the number of vertices in the middle-level
subgraph.<ref>{{cite journal| author=C. D Savage| title=Long cycles in the middle two levels of the Boolean lattice |year=1997}}</ref>
 
===Beckett–Gray code===
 
Another type of Gray code, the '''Beckett–Gray code''', is named for Irish playwright [[Samuel Beckett]], who was interested in [[symmetry]]. His play "[[Quad (play)|Quad]]" features four actors and is divided into sixteen time periods. Each period ends with one of the four actors entering or leaving the stage.  The play begins with an empty stage, and Beckett wanted each subset of actors to appear on stage exactly once.<ref name=goddyn>{{cite web | title=MATH 343 Applied Discrete Math Supplementary Materials | last=Goddyn | first=Luis | year=1999 | publisher=Dept. of Math, Simon Fraser U | url=http://www.math.sfu.ca/~goddyn/Courses/343/supMaterials.pdf |format=PDF}}</ref> Clearly the set of actors currently on stage can be represented by a 4-bit binary Gray code. Beckett, however, placed an additional restriction on the script: he wished the actors to enter and exit so that the actor who had been on stage the longest would always be the one to exit. The actors could then be represented by a [[FIFO|first in, first out]] [[Queue (data structure)|queue]], so that (of the actors onstage) the actor being dequeued is always the one who was enqueued first.<ref name=goddyn /> Beckett was unable to find a Beckett–Gray code for his play, and indeed, an exhaustive listing of all possible sequences reveals that no such code exists for ''n'' = 4. It is known today that such codes do exist for ''n'' = 2, 5, 6, 7, and 8, and do not exist for ''n'' = 3 or 4. An example of an 8-bit Beckett–Gray code can be found in Knuth's ''Art of Computer Programming''.<ref name="knuth" />  According to Sawada and Wong, the search space for ''n'' = 6 can be explored in 15 hours, and more than 9,500 solutions for the case ''n'' = 7 have been found.<ref>{{cite journal |first=J. |last=Sawada |first2=D. |last=Wong |title=A Fast Algorithm to generate Beckett-Gray codes |journal=Electronic Notes in Discrete Mathematics |volume=29 |issue= |pages=571–577 |year=2007 |doi=10.1016/j.endm.2007.07.091 }}</ref>
 
=== Snake-in-the-box codes ===
 
[[Snake-in-the-box]] codes, or ''snakes'', are the sequences of nodes of [[induced path]]s in an ''n''-dimensional [[hypercube graph]], and coil-in-the-box codes, or ''coils'', are the sequences of nodes of induced [[cycle (graph theory)|cycles]] in a hypercube. Viewed as Gray codes, these sequences have the property of being able to detect any single-bit coding error. Codes of this type were first described by W. H. Kautz in the late 1950s;<ref>{{cite journal
| author = Kautz, W. H.
| title = Unit-distance error-checking codes
| journal = IRE Trans. Elect. Comput.
| volume = 7
| pages = 177–180
| year = 1958}}</ref> since then, there has been much research on finding the code with the largest possible number of codewords for a given hypercube dimension.
 
===Single-track Gray code===
<!-- linked from redirect [[Single-track Gray code]] -->
 
Yet another kind of Gray code is the '''single-track Gray code''' (STGC) developed by N. B. Spedding (NZ Patent 264738 - October 28, 1994)<ref name=NBSpedding>
{{Cite journal
| inventor-last =Spedding
| inventor-first =Norman Bruce
| inventorlink =http://www.iponz.govt.nz/cms/patents/banner_template/IPPATENT
| year =1994
| title =A position encoder
| country-code =NZ
| description =A method of creating a single track absolute position rotary or linear encoder of varying resolutions using equi-spaced detectors.
| patent-number =264738
| url = http://www.winzurf.co.nz/Single_Track_Grey_Code_Patent/Single_track_Grey_code_encoder_patent.pdf
}}
</ref>
and refined by Hiltgen, Paterson and Brandestini in "Single-track Gray codes" (1996).<ref name=HiltPatBrand>{{cite journal | url=http://ieeexplore.ieee.org/iel1/18/11236/00532900.pdf |format=PDF| title=Single-Track Gray Codes | last=Hiltgen | first=Alain P. | coauthors=Kenneth G. Paterson, Marco Brandestini | journal=IEEE Transactions on Information Theory | volume=42 | year=1996 | pages=1555–1561 | doi=10.1109/18.532900 | issue=5}}</ref> The STGC is a cyclical list of ''P'' unique binary encodings of length n such that two consecutive words differ in exactly one position, and when the list is examined as a ''P x n'' [[Matrix (mathematics)|matrix]], each column is a cyclic shift of the first column.<ref name=etzion>{{cite journal | url=http://www.cs.technion.ac.il/~etzion/PUB/Gray2.pdf |format=PDF| title=The Structure of Single-Track Gray Codes | last=Etzion | first=Tuvi | coauthors=Moshe Schwartz | journal=IEEE Transactions on Information Theory | volume=45 | year=1999 | pages=2383–2396 | doi=10.1109/18.796379 | issue=7}}</ref>
 
The name comes from their use with [[rotary encoder]]s, where a number of tracks are being sensed by contacts, resulting for each in an output of 0 or 1. To reduce noise due to different contacts not switching at exactly the same moment in time, one preferably sets up the tracks so that the data output by the contacts are in Gray code. To get high angular accuracy, one needs lots of contacts; in order to achieve at least 1 degree accuracy, one needs at least 360 distinct positions per revolution, which requires a minimum of 9 bits of data, and thus the same number of contacts.
 
If all contacts are placed at the same angular position, then 9 tracks are needed to get a standard BRGC with at least 1 degree accuracy. However, if the manufacturer moves a contact to a different angular position (but at the same distance from the center shaft), then the corresponding "ring pattern" needs to be rotated the same angle to give the same output. If the most significant bit (the inner ring in Figure 1) is rotated enough, it exactly matches the next ring out. Since both rings are then identical, the inner ring can be cut out, and the sensor for that ring moved to the remaining, identical ring (but offset at that angle from the other sensor on that ring).
Those 2 sensors on a single ring make a quadrature encoder.
That reduces the number of tracks for a "1 degree resolution" angular encoder to 8 tracks.
Reducing the number of tracks still further can't be done with BRGC.
 
For many years, [[Torsten Sillke]] and other mathematicians believed that it was impossible to encode position on a single track such that consecutive positions differed at only a single sensor, except for the 2-sensor, 1-track quadrature encoder.
So for applications where 8 tracks were too bulky, people used single-track incremental encoders (quadrature encoders) or 2-track "quadrature encoder + reference notch" encoders.
 
N. B. Spedding, however, registered a patent in 1994 with several examples showing that it was possible.<ref name="NBSpedding" />  Although it is not possible to distinguish 2<sup>''n''</sup> positions with ''n'' sensors on a single track, it ''is'' possible to distinguish close to that many. For example, when ''n'' is itself a power of 2, ''n'' sensors can distinguish 2<sup>''n''</sup>−2''n'' positions.  Hiltgen and Paterson published a paper in 2001 exhibiting a single-track gray code with exactly 360 angular positions, constructed using 9 sensors.<ref name="HiltPat">{{cite journal | url=http://www.hpl.hp.com/techreports/2000/HPL-2000-81.pdf |format=PDF| title=Single-Track Circuit Codes | last=Hiltgen | first=Alain P. | coauthors=Kenneth G. Paterson | journal=IEEE Transactions on Information Theory | volume=47 | year=2001 | pages=2587–2595 | doi=10.1109/18.945274 | issue=6}}</ref>  Since this number is larger than 2<sup>8</sup> = 256, more than 8 sensors are required by any code, although a BRGC could distinguish 512 positions with 9 sensors.
An STGC for ''P = 30'' and ''n = 5'' is reproduced here:
[[Image:Enkelspoors-Graycode.svg|thumb]]
10000
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00011
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11001
11101
10101
10001
<!--
But even better would be an actual illustration of the single track, on a rotary encoder, with the 5 pick-up sensors.
This is done - does that mean that the 1's and 0's can go now? They take up a whole lot of visual space.
-->
Note that each column is a cyclic shift of the first column, and from any row to the next row only one bit changes.<ref>{{cite journal | title=Venn Diagram Survey — Symmetric Diagrams | journal= [[Electronic Journal of Combinatorics]] | year=2001 | url=http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennSymmEJC.html }}</ref>
The single-track nature (like a code chain) is useful in the fabrication of these wheels (compared to BRGC), as only one track is needed, thus reducing their cost and size.
The Gray code nature is useful (compared to [[chain code]]s, also called [[De Bruijn sequence]]s), as only one sensor will change at any one time, so the uncertainty during a transition between two discrete states will only be plus or minus one unit of angular measurement the device is capable of resolving.<ref>{{cite book | last = Alciatore | first = David G. | coauthors = Michael B. Histand | year = 1999 | publisher = McGraw-Hill Education - Europe | isbn = 978-0-07-131444-2 | url = http://mechatronics.colostate.edu/ }}</ref>
 
== See also ==
* [[Linear feedback shift register]]
* [[De Bruijn sequence]]
* [[Gillham code]]
* [[Steinhaus–Johnson–Trotter algorithm]], an algorithm that generates Gray codes for the [[factorial number system]]
 
== Notes ==
{{reflist|30em}}
 
== References ==
*Black, Paul E. [http://www.nist.gov/dads/HTML/graycode.html ''Gray code'']. 25 February 2004. [[NIST]].
*{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 22.3. Gray Codes | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=1166}}
*{{cite journal |author=Savage, Carla |title=A Survey of Combinatorial Gray Codes |journal=SIAM Rev. |volume=39 |issue=4 |pages=605–629 |year=1997 |doi=10.1137/S0036144595295272 |url=http://www.csc.ncsu.edu/faculty/savage/AVAILABLE_FOR_MAILING/survey.ps |jstor=2132693}}
*{{cite book |author=Wilf, Herbert S. |chapter=Chapters 1-3 |title=Combinatorial algorithms: an update |publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] |year=1989 |isbn=0-89871-231-9 |authorlink=Herbert Wilf}}
 
== External links ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/BinaryGrayCode/ "Gray Code" demonstration] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]] (with Mathematica implementation). 2007.
* [http://www.nist.gov/dads/HTML/graycode.html NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures: Gray code]
* [http://www.aip.de/~ast/EvolCompFAQ/Q21.htm Hitch Hiker's Guide to Evolutionary Computation, Q21: What are Gray codes, and why are they used?], including [[C (programming language)|C]] code to convert between binary and BRGC
* [http://www.theory.cs.uvic.ca/~cos/gen/comb.html Subsets or Combinations] Can generate BRGC strings
* [http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-info.cgi?1998/CS/CS0937 "The Structure of Single-Track Gray Codes"] by Moshe Schwartz, Tuvi Etzion
* [http://www.hpl.hp.com/techreports/2000/HPL-2000-81.html Single-Track Circuit Codes] by Hiltgen, Alain P.; Paterson, Kenneth G.
* Dragos A. Harabor uses [http://www.ugcs.caltech.edu/~dragos/3DP/coord.html Gray codes in a 3D digitizer].
* single-track gray codes, binary [[chain code]]s ([http://tinaja.com/text/chain01.html Lancaster 1994]), and [[linear feedback shift register]]s are all useful in finding one's absolute position on a single-track rotary encoder (or other position sensor).
* [http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?isnumber=4475352&arnumber=4475394&count=44&index=39 Computing Binary Combinatorial Gray Codes Via Exhaustive Search With SAT Solvers] by Zinovik, I.; Kroening, D.; Chebiryak, Y.
* [http://www.ams.org/featurecolumn/archive/gray.html AMS Column: Gray codes]
* [http://www.bushytails.net/~randyg/encoder/encoderwheel.html Optical Encoder Wheel Generator]
*[http://prototalk.net/forums/showthread.php?t=78 ProtoTalk.net - Understanding Quadrature Encoding] - Covers quadrature encoding in more detail with a focus on robotic applications
 
{{DEFAULTSORT:Gray Code}}
[[Category:Data transmission]]
[[Category:Numeral systems]]

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