|
|
| (One intermediate revision by one other user not shown) |
| Line 1: |
Line 1: |
| {{other uses|Ceva (disambiguation)}}
| | Comment choisir sa complémentaire santé en fonction de ses dépenses de santé ?<br><br>Les mutuelles de santé, ces [http://www.comparateur-demutuelles.fr comparateur mutuelles] dix dernières années, ont connu un essor considérable au niveau de leur prix. De ce fait, un grand nombre de mutuelles ont dû impacter les dépenses de santé qui n’étaient plus financés par votre régime obligatoire, ainsi que les taxes d’assurance. Aujourd’hui, les offres sont nombreuses et les assurés ont du mal à choisir l’offre qui convient le plus à ses besoins. Le Comparateur de mutuelle santé va vous proposer une étude personnelle et vous permettra de choisir auprès d’un panel de mutuelle, remplissant les critères que vous recherchez. Notre comparateur dispose de 800 garanties à des tarifs très compétitifs. Il s’est également partenaire parmi les assureurs les plus sérieux. Notre outil web a pour rôle de sélectionner les meilleures offres en accord avec vos demandes, grâce au filtre de sélection qui a été conçu pour répondre aux attentes de nos internautes et assurés. <br><br>Nos courtiers ou mutuelles : des partenaires incontournables<br><br>Notre collaboration avec des [http://www.comparateur-demutuelles.fr comparateur mutuelle] courtiers de confiance ou des organismes ayant l’expérience nécessaire en termes de service et de gestion est primordiale dans notre approche de collaboration. Notre comparateur de mutuelle n’est pas seulement un outil simplifié à votre service, mais en plus le site vous assure un suivi sur l’ensemble de vos opérations liées à la résiliation mutuelle par exemple ou dans le cadre d’informations santé que nous proposons. L’ensemble de ces acteurs sont également présent pour vous apporter ses conseils selon vos besoins. Les courtiers ou mutuelles vous serviront ainsi de guide dans votre choix qui apportera l’équilibre entre votre budget et vos besoins. Le critère de choix des partenaires est d’autant primordial que votre engagement est annuel. Au regard de la plupart des assurés, la gestion de leur contrat d’assurance est aussi importante que le montant de la cotisation. Avec de nombreux développement informatique tels que la télétransmission, la visualisation des prestations sur des intranets dédiés par les mutuelles, la simplification des taches est primordial. Les courtiers ou les mutuelles seront les plus à même à vous orienter vers ces prestataires de qualité. De plus, ils pourront vous informer sur les obligations légales et juridiques liées au secteur du contrat. La complexité changements de loi telle que par exemple l’ani et la protection sociale pour l’ensemble des salariés du privé en 2016, doivent faire l’objet d’une connaissance de ces professionnels. <br><br>De même, ils peuvent vous orienter vers des informations liées au financement des mutuelles avec l’ASC. L’aide à l’acquisition d’une complémentaire santé peut être demandée en fonction des revenus des assurés. Votre courtier qui connait votre environnement pourra vous donner tous les [http://www.guardian.co.uk/search?q=%C3%A9l%C3%A9ments éléments] d’information pour réduire le prix de la cotisation de la complémentaire santé et vous orientera vers votre caisse d’assurance maladie. D’autres aides existent et il pourra vous en parler en fonction de chaque région.<br><br>If you liked this short article and you would certainly such as to obtain even more details regarding [http://www.comparateur-demutuelles.fr comparateur mutuelles] kindly visit our own webpage. |
| | |
| [[File:Ceva's theorem 1.svg|thumb|right|Ceva's theorem, case 1: the three lines are concurrent at a point O inside ABC]]
| |
| | |
| [[File:Ceva's theorem 2.svg|thumb|250 px|right|Ceva's theorem, case 2: the three lines are concurrent at a point O outside ABC]]
| |
| | |
| '''Ceva's theorem''' is a theorem about [[triangle]]s in [[Euclidean plane geometry]]. Given a triangle ''ABC'', let the lines ''AO'', ''BO'' and ''CO'' be drawn from the vertices to a common point ''O'' to meet opposite sides at ''D'', ''E'' and ''F'' respectively. Then, using signed lengths of segments,
| |
| :<math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.</math>
| |
| In other words the length ''AB'' is taken to be positive or negative according to whether ''A'' is to the left or right of ''B'' in some fixed orientation of the line. For example, ''AF''/''FB'' is defined as having positive value when ''F'' is between ''A'' and ''B'' and negative otherwise.
| |
| | |
| The [[Theorem#Converse|converse]] is also true: If points ''D'', ''E'' and ''F'' are chosen on ''BC'', ''AC'' and ''AB'' respectively so that
| |
| : <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,</math>
| |
| then ''AD'', ''BE'' and ''CF'' are [[concurrent lines|concurrent]]. The converse is often included as part of the theorem.
| |
| | |
| The theorem is often attributed to [[Giovanni Ceva]], who published it in his 1678 work ''De lineis rectis''. But it was proven much earlier by [[Yusuf al-Mu'taman ibn Hud|Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd]], an eleventh-century king of [[Zaragoza]].<ref>{{cite book |title=Geometry: Our Cultural Heritage|first=Audun|last=Holme|publisher=Springer|year=2010|isbn=3-642-14440-3|page=210}}</ref>
| |
| | |
| Associated with the figures are several terms derived from Ceva's name: ''cevian'' (the lines AD, BE, CF are the cevians of O), ''cevian triangle'' (the triangle DEF is the cevian triangle of O); cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate. (''Ceva'' is pronounced Chay'va; ''cevian'' is pronounced chev'ian.)
| |
| | |
| The theorem is very similar to [[Menelaus' theorem]] in that their equations differ only in sign.
| |
| | |
| ==Proof of the theorem==
| |
| A standard proof is as follows:<ref>Follows Russel</ref>
| |
| | |
| First, the sign of the [[left-hand side]] is positive since either all three of the ratios are positive, the case where ''O'' is inside the triangle (upper diagram), or one is positive and the other two are negative, the case ''O'' is outside the triangle (lower diagram shows one case).
| |
| | |
| To check the magnitude, note that the area of a triangle of a given height is proportional to its base. So
| |
| : <math>\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}=\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}.</math>
| |
| Therefore,
| |
| :<math>\frac{BD}{DC}= | |
| \frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}
| |
| =\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.</math>
| |
| (Replace the minus with a plus if ''A'' and ''O'' are on opposite sides of ''BC''.)
| |
| Similarly,
| |
| : <math>\frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},</math> | |
| and
| |
| : <math>\frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.</math>
| |
| Multiplying these three equations gives
| |
| : <math>\left|\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \right|= 1,</math>
| |
| as required.
| |
| | |
| The theorem can also be proven easily using Menelaus' theorem.<ref>Follows {{cite book |title=Inductive Plane Geometry|first=George Irving|last=Hopkins|publisher=D.C. Heath & Co.|year=1902|chapter=Art. 986}}</ref> From the transversal ''BOE'' of triangle ''ACF'',
| |
| : <math>\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>
| |
| and from the transversal ''AOD'' of triangle ''BCF'',
| |
| : <math>\frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = 1.</math>
| |
| The theorem follows by dividing these two equations.
| |
| | |
| The converse follows as a corollary.<ref>Follows Russel</ref> Let ''D'', ''E'' and ''F'' be given on the lines ''BC'', ''AC'' and ''AB'' so that the equation holds. Let ''AD'' and ''BE'' meet at ''O'' and let ''F''′ be the point where ''CO'' crosses ''AB''. Then by the theorem, the equation also holds for ''D'', ''E'' and ''F''′. Comparing the two,
| |
| : <math>\frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}</math>
| |
| But at most one point can cut a segment in a given ratio so ''F''=''F''′.
| |
| | |
| ==Generalizations==
| |
| The theorem can be generalized to higher dimensional [[simplex]]es using [[Barycentric coordinates (mathematics)|barycentric coordinates]]. Define a cevian of an ''n''-simplex as a ray from each vertex to a point on the opposite (''n''-1)-face ([[Facet (mathematics)|facet]]). Then the cevians are concurrent if and only if a [[mass distribution]] can be assigned to the vertices such that each cevian intersects the opposite facet at its [[center of mass]]. Moreover, the intersection point of the cevians is the center of mass of the simplex. (Landy. See Wernicke for an earlier result.)
| |
| | |
| [[Routh's theorem]] gives the area of the triangle formed by three cevians in the case that they are not concurrent. Ceva's theorem can be obtained from it by setting the area equal to zero and solving. | |
| | |
| The analogue of the theorem for general [[polygon]]s in the plane has been known since the early nineteenth century {{harv|Grünbaum|Shephard|1995|p=266}}. The theorem has also been generalized to triangles on other surfaces of [[constant curvature]] (Masal'tsev 1994).
| |
| | |
| ==See also==
| |
| *[[Projective geometry]]
| |
| *[[Median (geometry)]] - an application
| |
| | |
| ==References==
| |
| {{reflist}}
| |
| * {{cite book |title=Pure Geometry
| |
| |first=John Wellesley|last=Russell|publisher=Clarendon Press|year=1905
| |
| |chapter= Ch. 1 §7 Ceva's Theorem
| |
| |url=http://books.google.com/books?id=r3ILAAAAYAAJ}}
| |
| * {{Cite journal | doi=10.2307/2690569 | last1=Grünbaum | first1=Branko | last2=Shephard | first2=G. C. | title=Ceva, Menelaus and the Area Principle | year=1995 | journal=Mathematics Magazine | volume=68 | issue=4 | pages=254–268 | jstor=2690569 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}.
| |
| * {{cite journal | last1 = Hogendijk | first1 = J. B. | year = 1995 | title = Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician | url = | journal = Historia Mathematica | volume = 22 | issue = | pages = 1–18 | doi = 10.1006/hmat.1995.1001 | ref = harv }}
| |
| * {{cite journal | last1 = Landy | first1 = Steven |date=December 1988 | title = A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions | url = | journal = The American Mathematical Monthly | volume = 95 | issue = 10| pages = 936–939 | doi = 10.2307/2322390 | ref = harv }}
| |
| * {{cite journal | last1 = Masal'tsev | first1 = L. A. | year = 1994 | title = Incidence theorems in spaces of constant curvature | url = | journal = Journal of Mathematical Sciences | volume = 72 | issue =4 | pages =3201–3206 |doi= 10.1007/BF01249519 | ref = harv }}
| |
| * {{cite journal | last1 = Wernicke | first1 = Paul |date=November 1927 | title = The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension | url = | journal = The American Mathematical Monthly | volume = 34 | issue = 9| pages = 468–472 | doi = 10.2307/2300222 | ref = harv }}
| |
| | |
| ==External links==
| |
| * [http://www.mathpages.com/home/kmath442/kmath442.htm Menelaus and Ceva] at MathPages
| |
| * [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ceva.shtml Derivations and applications of Ceva's Theorem] at [[cut-the-knot]]
| |
| * [http://www.cut-the-knot.org/triangle/TrigCeva.shtml Trigonometric Form of Ceva's Theorem] at [[cut-the-knot]]
| |
| * [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/glossary.html Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers] includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
| |
| * [http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200121.pdf Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling]
| |
| *'' [http://demonstrations.wolfram.com/CevasTheorem/ Ceva's Theorem]'' by Jay Warendorff, [[Wolfram Demonstrations Project]].
| |
| * {{MathWorld |title=Ceva's Theorem |urlname=CevasTheorem}}
| |
| * [http://dynamicmathematicslearning.com/finding-centroid-ceva.html Experimentally finding the centroid of a triangle with different weights at the vertices: a practical application of Ceva's theorem] at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.
| |
| | |
| {{DEFAULTSORT:Ceva's Theorem}}
| |
| [[Category:Affine geometry]]
| |
| [[Category:Triangle geometry]]
| |
| [[Category:Articles containing proofs]]
| |
| [[Category:Theorems in plane geometry]]
| |
Comment choisir sa complémentaire santé en fonction de ses dépenses de santé ?
Les mutuelles de santé, ces comparateur mutuelles dix dernières années, ont connu un essor considérable au niveau de leur prix. De ce fait, un grand nombre de mutuelles ont dû impacter les dépenses de santé qui n’étaient plus financés par votre régime obligatoire, ainsi que les taxes d’assurance. Aujourd’hui, les offres sont nombreuses et les assurés ont du mal à choisir l’offre qui convient le plus à ses besoins. Le Comparateur de mutuelle santé va vous proposer une étude personnelle et vous permettra de choisir auprès d’un panel de mutuelle, remplissant les critères que vous recherchez. Notre comparateur dispose de 800 garanties à des tarifs très compétitifs. Il s’est également partenaire parmi les assureurs les plus sérieux. Notre outil web a pour rôle de sélectionner les meilleures offres en accord avec vos demandes, grâce au filtre de sélection qui a été conçu pour répondre aux attentes de nos internautes et assurés.
Nos courtiers ou mutuelles : des partenaires incontournables
Notre collaboration avec des comparateur mutuelle courtiers de confiance ou des organismes ayant l’expérience nécessaire en termes de service et de gestion est primordiale dans notre approche de collaboration. Notre comparateur de mutuelle n’est pas seulement un outil simplifié à votre service, mais en plus le site vous assure un suivi sur l’ensemble de vos opérations liées à la résiliation mutuelle par exemple ou dans le cadre d’informations santé que nous proposons. L’ensemble de ces acteurs sont également présent pour vous apporter ses conseils selon vos besoins. Les courtiers ou mutuelles vous serviront ainsi de guide dans votre choix qui apportera l’équilibre entre votre budget et vos besoins. Le critère de choix des partenaires est d’autant primordial que votre engagement est annuel. Au regard de la plupart des assurés, la gestion de leur contrat d’assurance est aussi importante que le montant de la cotisation. Avec de nombreux développement informatique tels que la télétransmission, la visualisation des prestations sur des intranets dédiés par les mutuelles, la simplification des taches est primordial. Les courtiers ou les mutuelles seront les plus à même à vous orienter vers ces prestataires de qualité. De plus, ils pourront vous informer sur les obligations légales et juridiques liées au secteur du contrat. La complexité changements de loi telle que par exemple l’ani et la protection sociale pour l’ensemble des salariés du privé en 2016, doivent faire l’objet d’une connaissance de ces professionnels.
De même, ils peuvent vous orienter vers des informations liées au financement des mutuelles avec l’ASC. L’aide à l’acquisition d’une complémentaire santé peut être demandée en fonction des revenus des assurés. Votre courtier qui connait votre environnement pourra vous donner tous les éléments d’information pour réduire le prix de la cotisation de la complémentaire santé et vous orientera vers votre caisse d’assurance maladie. D’autres aides existent et il pourra vous en parler en fonction de chaque région.
If you liked this short article and you would certainly such as to obtain even more details regarding comparateur mutuelles kindly visit our own webpage.