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{{Statistical mechanics|cTopic=[[Particle statistics|Particle Statistics]]}}
== Lacoste Poloshirt Herren  wann immer Sie sind ==


In [[quantum statistics]], a branch of [[physics]], '''Fermi–Dirac statistics''' describes a distribution of particles in certain [[physical system|systems]] comprising many [[identical particles]] that obey the [[Pauli exclusion principle]]. It is named after [[Enrico Fermi]] and [[Paul Dirac]], who each discovered it independently, although Enrico Fermi defined the statistics earlier than Paul Dirac.<ref name='Fermi1926' /><ref name='Dirac1926'/>
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  <li>[http://www.imodium.es/node/14310 http://www.imodium.es/node/14310]</li>
 
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Fermi–Dirac (F–D) statistics applies to identical particles with [[half-integer]] [[spin (physics)|spin]] in a system in [[thermodynamic equilibrium]]. Additionally, the particles in this system are assumed to have negligible mutual [[interaction]]. This allows the many-particle system to be described in terms of single-particle [[Energy eigenstates|energy states]]. The result is the F–D distribution of particles over these states and includes the condition that no two particles can occupy the same state, which has a considerable effect on the properties of the system. Since F–D statistics applies to particles with half-integer spin, these particles have come to be called [[fermion]]s. It is most commonly applied to [[electron]]s, which are fermions with [[spin&nbsp;1/2]]. Fermi–Dirac statistics is a part of the more general field of [[statistical mechanics]] and uses the principles of [[quantum mechanics]].
== New Balance Shop Wien  Wer hält sie mit Gewalt ==


==History==
Der einzige Bereich, wo ich würde sagen, die Flügel haben, der Vorteil ist im Tor, aber Sie alle wissen, ich bin kein großer Fan von Jimmy Howard nicht. Toews und Kane sind beide in MVP-Modus in diesem Jahr, so werden sie kommen Brennen. Sollte ein Spaß-Serie, mit viel Geschwindigkeit und Straftat.. <br><br>Org) bekannt akkreditiert. Akkreditierungsprogramm Urac ist eine unabhängige Prüfung, dass eine zu überprüfen. DAM folgt strengen Standards von Qualität und Verantwortlichkeit. Die muslimische Religion nicht einmal bis vor rund 700 Jahren noch nicht. [http://www.chaefernaescht.ch/text/links.asp?n=35-New-Balance-Shop-Wien New Balance Shop Wien] Also, wer der rechtmäßige Besitzer des Landes ist heute? Wer ist der rechtmäßige Eigentümer von Amerika, Deutschland, von Argentinien.? Wer hält sie mit Gewalt, denn das ist der einzige Weg, eine [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=66-Timberlands-Women Timberlands Women] Nation hält ihr Land von außen Aggressoren. Doch die Juden lebten don, die Tausende von Jahren zu landen, bevor es irgendeinen Muslim relion. <br><br>Die Polizei hatte wegen der Fingerabdruck wollte mit ihm reden, aber das war nur Routine. Er war ein Verwandter von Sorten und hatte am Haus viele Male. Wenn Jennings sah Christopher Harris K-Swiss Schuhe und sie sahen ein Spiel auf ein Muster in der [http://www.arcobaleno-maler.ch/statique/order.asp?Category_id=163-Uggs-Günstig Uggs Günstig] Einfahrt und Gee in der bloodsplattered Zuhause gefunden waren, seine Meinung geändert hat, hörte er erzählte Christopher Harris auf dem Videoband.. <br><br>Es ist auch toll, dass Sie weiter an sich selbst zu nehmen, so dass Sie in der Lage, die Sie am besten in Ihrer neuen Rolle als Eltern tun. Zum Beispiel, wenn Sie Ihre Bauchmuskeln getrennt, können sie sechs Wochen und mehr dauern, um zu heilen. Und Ihren Beckenboden, die zu Ihrem Kern ist, muss eine ähnliche Menge an Zeit der Heilung.. <br><br>Alle Faktoren berücksichtigt, nicht nur glückliche Menschen gesünder, sie neigen auch dazu, länger zu leben. Darüber hinaus sind sie eher erfolgreich, bei der Arbeit produktiv, kreativ und von anderen gemocht zu werden. Sie sind auch eher geneigt, ein erfülltes Leben zu führen.. <br><br>Yenni schlägt auf 1,6 Millionen Dollar von Kapitalfonds und aus der Rücklage zu verwenden, um ein Defizit im Betriebshaushalt, oder das Geld, das für die Personal-und sonstigen [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=22-Tiffany-And-Co-Switzerland Tiffany And Co Switzerland] Kosten für den Betrieb daytoday die Regierung zahlt vermeiden. Die Stadt ist mit 1.800.000 $ aus ihren Reserven in diesem Jahr auf ein Defizit zu verhindern. Wenn der Rat verabschiedet den Haushalt 201.314 wie von Yenni präsentiert, und wenn die Stadt muss weitere $ 1 Million in Hurricane Isaac Bereinigung bezahlen, würden die Reserven auf 5,9 Millionen Dollar oder 10,1 Prozent der Ausgaben fallen zu lassen..<ul>
Before the introduction of Fermi–Dirac statistics in 1926, understanding some aspects of electron behavior was difficult due to seemingly contradictory phenomena. For example, the electronic [[heat capacity]]  of a [[metal]] at [[room temperature]] seemed to come from 100 times fewer [[electron]]s than were in the [[electric current]].<ref name='Kittel1971Cel249'>{{harv|Kittel|1971|pp=249–50}}</ref>  It was also difficult to understand why the [[field electron emission|emission currents]], generated by applying high electric fields to metals at room temperature, were almost independent of temperature.
 
  <li>[http://www.jmhongzao.com/news/html/?125216.html http://www.jmhongzao.com/news/html/?125216.html]</li>
 
  <li>[http://www.eventbuddie.com/activity/p/529961/ http://www.eventbuddie.com/activity/p/529961/]</li>
 
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  <li>[http://www.yxwzkj.com/news/html/?87611.html http://www.yxwzkj.com/news/html/?87611.html]</li>
 
  <li>[http://www.baolaiyayl.com/news/html/?286421.html http://www.baolaiyayl.com/news/html/?286421.html]</li>
 
  </ul>


The difficulty encountered by the electronic theory of metals at that time was due to considering that electrons were (according to classical statistics theory) all equivalent. In other words it was believed that each electron contributed to the specific heat an amount on the order of the [[Boltzmann constant]]&nbsp;''k''.
== Nike Air Force 1 Low Schweiz Alle Hunde ==
This statistical problem remained unsolved until the discovery of F–D statistics.


F–D statistics was first published in 1926 by [[Enrico Fermi]]<ref name='Fermi1926'>{{cite journal| title=Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico| journal=Rendiconti Lincei| language=Italian| year=1926| first=Enrico| last=Fermi| volume=3| issue=| pages=145–9}}, translated as {{cite arxiv| title=On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas| eprint=cond-mat/9912229 | date=1999-12-14| last1=Zannoni |first1=Alberto (transl.) | class=cond-mat.stat-mech }}</ref> and [[Paul Dirac]].<ref name='Dirac1926'>{{cite journal| title=On the Theory of Quantum Mechanics| journal=Proceedings of the Royal Society, Series A| year=1926| first=Paul A. M.| last=Dirac| authorlink=Paul Dirac| coauthors=| volume=112| issue=762| pages=661–77| jstor=94692|accessdate=| doi=10.1098/rspa.1926.0133 |bibcode = 1926RSPSA.112..661D }}</ref> According to an account, [[Pascual Jordan]] developed in 1925 the same statistics which he called ''[[Wolfgang Pauli|Pauli]] statistics'', but it was not published in a timely manner.<ref name='Science-Week2000'>{{cite journal| title=History of Science: The Puzzle of the Bohr–Heisenberg Copenhagen Meeting| journal=[[ScienceWeek|Science-Week]]| date=2000-05-19| first=|last=| coauthors=| volume=4| issue=20| pages=| url=http://scienceweek.com/2000/sw000519.htm | oclc=43626035| location=Chicago| accessdate=2009-01-20 }}</ref> According to Dirac, it was first studied by Fermi, and Dirac called it Fermi statistics and the corresponding particles fermions.<ref name='Dirac1958'>{{cite book | last=Dirac| first=Paul A. M.| authorlink=Paul Dirac| title=Principles of Quantum Mechanics| edition=revised 4th| publisher=Oxford University Press| year=1967| location=London| pages=210–1| url=http://books.google.com/?id=XehUpGiM6FIC&pg=PA210| isbn=978-0-19-852011-5 }}</ref>
Die Zecke fügt seine pincherlike Mund in die Haut [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=265-Nike-Air-Force-1-Low-Schweiz Nike Air Force 1 Low Schweiz] und beginnt der Fütterung. Diese Mundwerkzeuge sind verriegelt und wird nur lösen, wenn die Zecke die Mahlzeit beendet. Sobald das Essen fertig ist, wird die von der erwachsenen weiblichen Opfer fallen und suchen Schutz. <br><br>An einem Punkt, wo ich nicht wollen, schlanker zu werden, möchte ich ein wenig von der Masse zu gewinnen. Also brauche ich mehr Gewicht, so kann ich ganz so viele Liegestütze und Klimmzüge zu tun. Noch besser, er hat genug Energie, um mit seinen Töchtern stundenlang spielen, nachdem er nach Hause kommt von der Arbeit. <br><br>Wenn Sie wirklich kick up Ihr ​​Trainingsprogramm und wollen Ergebnisse [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=80-Longchamp-Schweiz Longchamp Schweiz] investieren in einen persönlichen Trainer. Sie haben nicht auf ihn oder sie für immer gerade lang genug, um Sie wieder auf Kurs zu halten. Ein Trainer wird das aktuelle Programm zu bewerten und Änderungen, die eher zu helfen, Ihre Ziele zu [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=90-Nike-Schuhe-Online Nike Schuhe Online] erreichen wird.. <br><br>Alle Hunde, ob sie an Manhattans Upper East Side traben oder frei laufen in der Landschaft sollte wissen, wie man an der Leine zu gehen. Vergessen Sie fancy "Krängung", wo die Schulter des Hundes passt perfekt zu der Knie des dogwalker. Wir sprechen hier über eine einfache Partnerschaft, in der der Hund und die Person am anderen Ende der [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=36-Nike-Air-Max-Women Nike Air Max Women] Leine kann zusammen an der frischen Luft zu bekommen, ohne einen großen Kampf.. <br><br>Training mit dem Seil fleißig jeden Tag, ohne sie springen durch David entdeckte die vier Grundmuster für das Drehen das Seil um seinen Körper gleich gut mit beiden Händen. Er erlebte, wie rasche Verbesserung seiner körperlichen Fähigkeiten und ironisch seine Sprungseil Fähigkeiten, wenn er später einge springt, dass er, nur um seine Entdeckungen mit der Welt zu teilen. Bereits von Weltklasse-Athleten und Top-Level-Martial-Arts-Praktiker umarmte, Rolling Seile erforderliche Ausbildung für alle, ernsthaft über die Verbesserung seiner / ihrer körperlichen Fähigkeiten.. <br><br>Die Kettlebell-Übungen Ziel nicht nur die großen Muskelgruppen, sondern auch gezielt die schwer zu stabilisierenden Muskeln arbeiten auch. Es ist ein Ganzkörpertraining in viel kürzerer Zeit. Kettlebells, Hanteln und Maschinen im Gegensatz zu sorgen und für mehr Bewegungsfreiheit während der Liftanlagen, um die Flexibilität zu verbessern. <br><br>Raus aus der Kälte und im sonnigen Florida oder Kalifornien buchen Sie Ihren Gesundheits-und Fitnessurlaub. Wir lieben unsere Gäste aus Kanada und dem Vereinigten Königreich (Großbritannien), und sie unsere Strand Boot-Camps und den Wert ihrer Dollar in den Vereinigten Staaten zu lieben! Mit zwei sonnige Standorte zur Auswahl, können unsere gesunden Urlaub Wochenende mit dem aktiven Urlaub, den Sie suchen können. Unsere erfahrenen Trainer in Florida und Kalifornien werden Sie alles, was Sie zu Gewichtsverlust zu erreichen und sich in Form benötigen.<ul>
 
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</ul>


F–D statistics was applied in 1926 by [[Ralph Fowler|Fowler]] to describe the collapse of a [[star]] to a [[white dwarf]].<ref name='Fowler1926'>{{cite journal| title=On dense matter| journal=Monthly Notices of the Royal Astronomical Society|date=December 1926| first=Ralph H.| last=Fowler| authorlink=Ralph Fowler| volume=87| pages=114–22| bibcode=1926MNRAS..87..114F }}</ref> In 1927 [[Arnold Sommerfeld|Sommerfeld]] applied it to electrons in metals<ref name='sommerfeld1927'>{{cite journal| title=Zur Elektronentheorie der Metalle|language=German|trans_title=On Electron Theory of Metals| journal=[[Naturwissenschaften]]| date=1927-10-14| first=Arnold| last=Sommerfeld| authorlink=Arnold Sommerfeld| volume=15| issue=41| pages=824–32| doi=10.1007/BF01505083|bibcode = 1927NW.....15..825S }}</ref> and in 1928 [[Ralph Fowler|Fowler]] and [[Lothar Wolfgang Nordheim|Nordheim]] applied it to [[field electron emission]] from metals.<ref name='Fowler1928'>{{cite journal| title=Electron Emission in Intense Electric Fields| journal=Proceedings of the Royal Society A| date=1928-05-01| first=Ralph H.| last=Fowler| first2=Lothar W.| last2=Nordheim| volume=119| issue=781| pages=173–81| doi=10.1098/rspa.1928.0091| jstor=95023| url=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/119/781/173.full.pdf| format=PDF| author-link=Lothar Wolfgang Nordheim |bibcode = 1928RSPSA.119..173F }}</ref> Fermi–Dirac statistics continues to be an important part of physics.
== Air Max  sie jetzt etwa 55 ==


==Fermi–Dirac distribution==
Goenjian Armen. "Sollte sich dies bestätigen, unsere Ergebnisse könnten schließlich neue Wege, um Menschen mit einem Risiko für PTSD Bildschirm und auf spezifische Medikamente zur Vorbeugung und Behandlung der Erkrankung zu führen." PTBS kann nach Kindesmissbrauch, Terroranschläge, sexuelle oder körperliche Übergriffe, schwere Unfälle, Natur entstehen Katastrophen [http://www.gammaprint.ch/Download/Datentransfer.asp?page=260-Air-Max Air Max] oder durch Einwirkung von Krieg oder Kampf. Genannt TPH1 und TPH2 steuern diese Gene die Produktion von Serotonin, die Stimmung, Schlaf und Wachsamkeit regeln von denen alle in PTSD gestört hilft. <br><br>Promi-Erben im Streit um das Anwesen ist weit entfernt von selten die Test Erben Blog hat noch nie ein Mangel an Material zu decken. Aber, es ist ungewöhnlich, wenn eine hässliche Gerichtsstreit startsbeforethe Prominenter stirbt und dann nur weiterhin mehr erhitzt wachsen, wie die Zeit vergeht. Das [http://www.avd.ch/latavola/includes/asp/seite.asp?id=34-Abercrombie-Online-Bestellen Abercrombie Online Bestellen] ist sicherlich der Fall gewesen ist mit der Dennis Hopper Estate.. <br><br>Vor kurzem [http://www.pulpo.biz/alt/css/style.asp?language=55-Tiffany-Schweiz-Schmuck Tiffany Schweiz Schmuck] habe ich erfolgreich veröffentlicht "A Legacy of Madness: Wiederherstellen von Meine Familie aus Generationen von Geisteskrankheit", ein Buch, das 250page am 3. Oktober 2011 veröffentlicht wurde. Das Buch, das auf den Amazon und Barnes and Noble Websites ist, ist etwa eine liebevolle Familie die Auseinandersetzung mit seiner eigenen Fragilität, A Legacy of Madness leitet meine Reise zu entdecken [http://www.baeren-ersigen.ch/butler/include/i_Navigation.asp?c=61-Longchamp-Taschen-Luzern Longchamp Taschen Luzern] und schließlich zu verstehen, die die Geschichte von psychischen Erkrankungen, die Generationen geführt zu ihrem Untergang. <br><br>Ich habe diese Tante, sie jetzt etwa 55, lebte mit diesem gewalttätigen Ehemann für 20 Jahre. Sie hatte eine körperliche Behinderung und Krebs zu überwinden hatte, so war es nicht einfach, aber sie ging, und jetzt shes einer der glücklichsten Menschen, die ich kenne eine großartige Köchin, Freiwilligen viel, usw. Punkt ist, dass sie sind, in Höhe von Ihr eigenes Leben, also warum lässt du jemand anderen steuern? So was, wenn Ihr "Fett"? Wie funktioniert diese Änderung, wer Sie sind? Rennen entweder? Wer einen Aufenthalt wert wäre mit nicht um entweder.. <br><br>Die Weigerung, sich persönlich, professionell und künstlerisch Kompromiss hat in den dunklen wenige Stimmen. Aus der Dunkelheit marschiert ein Zusammenschluss von Personen, die nicht zu begleichen und nicht zu Kompromissen zu wählen. Aus der Dunkelheit marschiert mein BlacktheSalon.. <br><br>Dies kann sehr abschreckend für einige Menschen. Es ist vielleicht weniger einschüchternd sein, wenn Sie die Informationen finden, um eine Liste von Fragen zusammengestellt, um zu fragen. Das Gesundheitsministerium hat eine Broschüre mit dem Titel produziert "Fragen zu stellen: das Beste aus Ihrem Termin", um Sie notieren, wo Sie die Informationen gefunden started.Make..<ul>
For a system of identical fermions, the average number of fermions in a single-particle state&nbsp;<math>i</math>, is given by the Fermi–Dirac (F–D) distribution,<ref name='Reif1965dist341'>{{harv|Reif|1965|p=341}}</ref>
 
<br>
  <li>[http://www.chinahorseone.com/bbs/showtopic-201498.aspx http://www.chinahorseone.com/bbs/showtopic-201498.aspx]</li>
:<math> \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} </math>
 
where  ''k'' is [[Boltzmann's constant]], ''T'' is the absolute [[temperature]], <math>\epsilon_i \ </math> is the energy of the single-particle state <math>i</math>, and ''μ'' is the [[total chemical potential]]. At zero temperature, ''μ'' is equal to the [[Fermi energy]] plus the potential energy per electron. For the case of electrons in a semiconductor, <math>\mu\ </math> is typically called the [[Fermi level]] or [[electrochemical potential]].<ref name=Blakemore2002p11>{{harv|Blakemore|2002|p=11}}</ref><ref name=KittelKroemer1980>{{cite book | last=Kittel| first=Charles| authorlink1=Charles Kittel| first2=Herbert| last2=Kroemer| title=Thermal Physics| edition=2nd| publisher=W. H. Freeman| year=1980| location=San Francisco| pages=357| url=http://books.google.com/?id=c0R79nyOoNMC&pg=PA357| isbn=978-0-7167-1088-2| author-link2=Herbert Kroemer }}</ref>
  <li>[http://bbs.zcfangw.com/showtopic-593322.aspx http://bbs.zcfangw.com/showtopic-593322.aspx]</li>
 
  <li>[http://www.173coin.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=849498&extra= http://www.173coin.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=849498&extra=]</li>
 
  <li>[http://bbs.91kxh.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1431280&fromuid=76315 http://bbs.91kxh.com/forum.php?mod=viewthread&tid=1431280&fromuid=76315]</li>
 
  <li>[http://www.xingchishuma.com/news/html/?51456.html http://www.xingchishuma.com/news/html/?51456.html]</li>
 
</ul>


The F–D distribution is only valid if the number of fermions in the system is large enough so that adding one more fermion to the system has negligible effect on  <math>\mu\ </math>.<ref name='Reif1965dist'>{{harv|Reif|1965|pp=340–2}}</ref> Since the F–D distribution was derived using the [[Pauli exclusion principle]], which allows at most one electron to occupy each possible state, a result is that <math>0 < \bar{n}_i  < 1</math>  .<ref>Note that <math> \bar{n}_i </math> is also the probability that the state <math>i</math> is occupied, since no more than one fermion can occupy the same state at the same time and <math>0 < \bar{n}_i  < 1</math>.</ref>
== Pandora Armband Gold  in den Charakter schlüpfen ==


<center> <gallery Caption="Fermi–Dirac distribution" widths="400px" heights="300px">
Auch in meiner eigenen Branche . Die Broncos wie Gegenwart und mögliche Irvings. Aber die PHWA und NHL einen Weg gefunden .. Sie konnten nicht von einem Zustand zum anderen zu bewegen und im Jahr 1859 die Arkansas Gesetzgeber zum Beispiel ein Gesetz verabschiedet, um die Bestellung Sheriffs Freigelassenen aus dem Zustand zu zwingen. <br><br>Die riesigen Zypressen durch "Knie", oberirdische Wurzelsysteme brechen das Wasser wie sumpfige Stalagmiten umgeben. Wochen, Monate und sogar Jahre nach der Zeit im Ausland studieren beendet ist, kann das Ziel noch Studenten verfolgen.. In der Tat, manchmal würden wir lieber nicht, einen zu haben. <br><br>Einige Spieler finden, dass schwierig, die Idee der Gewinn der Liga, mit ein paar Wochen, um es zu genießen und dann wieder kommen, es wieder zu gewinnen, zu erreichen. Diese Bestimmung ermächtigt den Obersten Gerichtshof, Regeln für die aufgezählten Bereichen, die die Kraft und Wirkung von law.International LawBy ausdrückliche Bestimmung in Artikel II, Abschnitt 2 der philippinischen Verfassung, den Philippinen hält die allgemein anerkannten Grundsätzen des Völkerrechts [http://www.melography.ch/cms/includes/inc_projects.asp?p=17-Pandora-Armband-Gold Pandora Armband Gold] als Teil erlassen haben . <br><br>1. SULLIVAN: Die Demonstranten werden von den traditionellen Eliten Bangkok Monarchisten, der Mittelschicht, gebildete Menschen, Regierungsangestellte, und im Grunde den Demonstranten und der Opposition [http://www.flugladen.ch/reisevorbereitungen/Newsletter.asp?top10ID=3-Timberland-Kids Timberland Kids] im Allgemeinen gezogen sehen Thaksin als Emporkömmling, und dann sogar noch schlimmer er es geschafft, etwas, was sie nie tun . <br><br>Das Gleiche gilt für den professionellen Musiker. "Chinga tu madre" Levant sagte Chiquita ein Satz, der so viel bedeutet wie "fk deine Mutter." . Sie neigen dazu, blass zu sein, müssen hellere Haare, und eine Reihe von Augenfarben. MM öffentlichen Schule hat ihre Mission, diese drei Qualitäten unter seinen Schülern einzuprägen. <br><br>Er erinnert an die Streifen von Wettbewerbsfähigkeit bei Lowe, wo Nair, Balki und Pops ständig hielt ihn auf Trab. Jahr, Robert, die in Groß Eversden mit seiner Frau und (liebenswert) Baby-Sohn Alban Touren von Oktober bis März, die Durchführung überall aus der Hemingford [http://www.job-passerelle.ch/mailform/templates/mailform.asp?n=71-Air-Jordan-3-Retro Air Jordan 3 Retro] Grey Manor (der Winter habe ich es zu tun gibt es mehrmals im Monat lebt, es ist wunderbar, um am Broadway in New York.And, wo immer er ist, er findet es einfach, in den Charakter schlüpfen, viel von seiner Inspiration kommt aus der eigenen Studienzeit, Lesen Klassiker in Oxford: Jungs, die mich gelehrt, waren sehr alten Schule Dons, exzentrisch, sehr gelernt, aber sehr altmodisch, sagt Robert.guy war eine 89 Jahre alte Pfarrer, der in seinem Buch ausgekleidet Zimmer neben seinem Gasheizung, die immer [http://www.hafnersrad.ch/shop/getmenu.asp?a=35-Abercrombie-Outlet-California Abercrombie Outlet California] auf Hochtouren war zu sitzen, und es war einfach so einschläfernd dort..<ul>
Image:FD e mu.svg|'''Energy dependence.''' More gradual at higher ''T''. {{nowrap|1=<math> \bar{n}</math> = 0.5}}  when {{nowrap|1=<math> \epsilon \;</math> = <math>\mu \; </math>.}} Not shown is that <math>\mu \ </math> decreases for higher ''T''.<ref name='Kittel1971dist245'>{{harv|Kittel|1971|p=245, Figs. 4 and 5}}</ref> <br> <center>
 
Image:FD kT e.svg|<center>'''Temperature dependence''' for <math> \epsilon > \mu \ </math> . </center>
  <li>[http://www.fabzine.it/forum/pandora-armband-zusammenstellen-mp3-und-audio-t91996.html http://www.fabzine.it/forum/pandora-armband-zusammenstellen-mp3-und-audio-t91996.html]</li>
</gallery><small>(Click on a figure to enlarge.)</small></center>
 
 
  <li>[http://olioskar.is/bbpress/profile.php?id=48332 http://olioskar.is/bbpress/profile.php?id=48332]</li>
===Distribution of particles over energy===
 
[[File:fermi.gif|thumb|300px|right|Fermi function F(<math>\epsilon \ </math>) vs. energy <math>\epsilon \ </math>, with μ&nbsp;=&nbsp;0.55&nbsp;eV and for various temperatures in the range 50K&nbsp;≤&nbsp;T&nbsp;≤&nbsp;375K.]]
  <li>[http://dougsarcade.com/activity/p/61994/ http://dougsarcade.com/activity/p/61994/]</li>
 
 
The above Fermi–Dirac distribution gives the distribution of identical fermions over single-particle energy states, where no more than one fermion can occupy a state. Using the F–D distribution, one can find the distribution of identical fermions over energy, where more than one fermion can have the same energy.<ref>These distributions over energies, rather than states, are sometimes called the Fermi–Dirac distribution too, but that terminology will not be used in this article.</ref>
  <li>[http://bzzlyw.dns143.53nic.com/forum.php?mod=viewthread&tid=226270&fromuid=38007 http://bzzlyw.dns143.53nic.com/forum.php?mod=viewthread&tid=226270&fromuid=38007]</li>
 
 
The average number of fermions with energy <math>\epsilon_i \ </math>  can be found by multiplying the F–D distribution <math> \bar{n}_i  \  </math> by the [[degenerate energy level|degeneracy]]  <math> g_i \ </math> (i.e. the number of states with energy <math>\epsilon_i \ </math> ),<ref name='Leighton1959'>{{cite book | last=Leighton| first=Robert B.| authorlink=Robert B. Leighton| coauthors = | title=Principles of Modern Physics| publisher=McGraw-Hill| year=1959 | pages=340| isbn=978-0-07-037130-9 }}<br>
  <li>[http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Qemrnrsd#Nike_Air_Max_Schuhe_G.C3.BCnstig http://www.iehdi.org/wiki/index.php?title=User:Qemrnrsd#Nike_Air_Max_Schuhe_G.C3.BCnstig]</li>
Note that in Eq. (1), <math>n(\epsilon) \,</math> and <math> n_s \,</math> correspond respectively to <math>\bar{n}_i </math> and <math> \bar{n}(\epsilon_i)  </math> in this article. See also Eq. (32) on p. 339.</ref>
 
 
</ul>
:<math> \begin{alignat}{2}
\bar{n}(\epsilon_i) & = g_i \  \bar{n}_i \\
      & = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} \\
\end{alignat} </math>
<br>
When <math> g_i  \ge 2 \ </math>, it is possible that <math>\ \bar{n}(\epsilon_i) > 1 </math>  since there is more than one state that can be occupied by fermions with the same energy  <math> \epsilon_i \ </math>.
 
When a quasi-continuum of energies <math> \epsilon \ </math> has an associated [[density of states]] <math> g( \epsilon ) \ </math> (i.e. the number of states per unit energy range per unit volume<ref name=Blakemore2002p8>{{harv|Blakemore|2002|p=8}}</ref>) the average number of fermions per unit energy range per unit volume is,
 
:<math>  \bar { \mathcal{N} }(\epsilon)  = g(\epsilon) \  F(\epsilon) </math>
<br>
where <math>F(\epsilon) \ </math> is called the Fermi function and is the same [[function (mathematics)|function]] that is used for the F–D distribution <math>  \bar{n}_i  </math>,<ref name='Reif1965FermiFnc'>{{harv|Reif|1965|p=389}}</ref>
 
:<math> F(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1} </math>
so that,
:<math>  \bar { \mathcal{N} }(\epsilon) = \frac{g(\epsilon)}{e^{(\epsilon-\mu) / k T} + 1} </math> .
 
==Quantum and classical regimes==
The classical regime, where [[Maxwell–Boltzmann statistics]] can be used as an approximation to Fermi–Dirac statistics, is found by considering the situation that is far from the limit imposed by the [[Heisenberg uncertainty principle]] for a particle's position and [[momentum]]. Using this approach, it can be shown that the classical situation occurs if the concentration of particles corresponds to an average interparticle separation <math> \bar{R} </math> that is much greater than the average [[de Broglie wavelength]] <math> \bar{\lambda} </math> of the particles,<ref name='Reif1965classical'>{{harv|Reif|1965|pp=246–8}}</ref>
:<math>\bar{R} \ \gg \ \bar{\lambda} \ \approx \ \frac{h}{\sqrt{3mkT}} </math>
 
where <big><math>h</math></big> is [[Planck's constant]], and  <big><math>m</math></big> is the [[mass]] of a particle.
 
For the case of conduction electrons in a typical metal at ''T'' = 300[[Kelvin|K]] (i.e. approximately room temperature), the system is far from the classical regime because <math> \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 </math> . This is due to the small mass of the electron and the high concentration (i.e. small <math>\bar{R}</math>) of conduction electrons in the metal. Thus Fermi–Dirac statistics is needed for conduction electrons in a typical metal.<ref name='Reif1965classical' />
 
Another example of a system that is not in the classical regime is the system that consists of the electrons of a star that has collapsed to a white dwarf. Although the white dwarf's temperature is high (typically ''T'' = 10,000K on its surface<ref name='Mukai1997'>{{cite web|url=http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/ask_astro/answers/970512e.html |title=Ask an Astrophysicist |accessdate= |last=Mukai |first=Koji |coauthors=Jim Lochner |year=1997 |work=NASA's Imagine the Universe |publisher=NASA Goddard Space Flight Center |archiveurl=http://www.webcitation.org/5dxyeNTKh |archivedate=2009-01-20 }}</ref>), its high electron concentration and the small mass of each electron precludes using a classical approximation, and again Fermi–Dirac statistics is required.<ref name='Fowler1926' />
 
==Three derivations of the Fermi–Dirac distribution==
 
=== Derivation starting with grand canonical ensemble ===
 
The Fermi-Dirac distribution, which applies only to a quantum system of non-interacting fermions, is easily derived from the [[grand canonical ensemble]].<ref name="sriva">Chapter 6 of {{cite isbn|9788120327825}}</ref> In this ensemble, the system is able to exchange energy and exchange particles with a reservoir (temperature ''T'' and chemical potential ''µ'' fixed by the reservoir).
 
Due to the non-interacting quality, each available single-particle level (with energy level ''ϵ'') forms a separate thermodynamic system in contact with the reservoir.
In other words, each single-particle level is a separate, tiny grand canonical ensemble.
By the Pauli exclusion principle there are only two possible [[microstate (statistical mechanics)|microstate]]s for the single-particle level: no particle (energy ''E''=0), or one particle (energy ''E''=''ϵ''). The resulting partition function for that single-particle level therefore has just two terms:
:<math> \begin{align}\mathcal Z & = \exp(0(\mu - 0)/k_B T) + \exp(1(\mu - \epsilon)/k_B T) \\ & = 1 + \exp((\mu - \epsilon)/k_B T)\end{align}</math>
and the average particle number for that single-particle substate is given by
:<math> \langle N\rangle = k_B T \frac{1}{\mathcal Z} \left(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\right)_{V,T} = \frac{1}{\exp((\epsilon-\mu)/k_B T)+1} </math>
This result applies for each single-particle level, and thus gives the Fermi-Dirac distribution for the entire state of the system.<ref name="sriva"/>
 
The variance in particle number (due to [[thermal fluctuations]]) may also be derived (the particle number has a simple [[Bernoulli distribution]]):
:<math> \langle (\Delta N)^2 \rangle = k_B T \left(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\right)_{V,T} = \langle N\rangle (1 - \langle N\rangle) </math>
This quantity is important in transport phenomena such as the Mott relations for electrical conductivity and [[Thermoelectric_effect#Charge carrier_diffusion|thermoelectric coefficient]] for an electron gas,<ref>{{cite doi|10.1103/PhysRev.181.1336}}</ref> where the ability of an energy level to contribute to transport phenomena is proportional to <math>\langle (\Delta N)^2 \rangle</math>.
 
===Derivations starting with canonical distribution===
 
It is also possible to derive Fermi–Dirac statistics in the [[canonical ensemble]].
 
====Standard derivation====
Consider a many-particle system composed of ''N'' identical fermions that have negligible mutual interaction and are in thermal equilibrium.<ref name='Reif1965dist'>{{harv|Reif|1965|pp=340–2}}</ref> Since there is negligible interaction between the fermions, the energy <math>E_R</math> of a state <math>R</math> of the many-particle system can be expressed as a sum of single-particle energies,
 
:<math> E_R = \sum_{r} n_r \epsilon_r \; </math>
 
where <math> n_r </math> is called the occupancy number and is the number of particles in the single-particle state <math>r</math> with energy <math>\epsilon_r \;</math>. The summation is over all possible single-particle states <math>r</math>.
 
The probability that the many-particle system is in the state <math>R</math>, is given by the normalized [[canonical distribution]],<ref name='Reif1965canonical'>{{harv|Reif|1965|pp=203–6}}</ref>
 
:<math>P_R = \frac { e^{-\beta E_R} }
{ \displaystyle \sum_{R'} e^{-\beta E_{R'}} } </math>
 
where <math> \beta\;</math><math> = 1/kT</math>, &nbsp; <math>k</math>&nbsp;is [[Boltzmann's constant]], <math>T</math> is the absolute [[temperature]], ''e''<sup><math>\scriptstyle -\beta E_R</math></sup> is called the [[Boltzmann factor]], and the summation is over all possible states <math>R'</math> of the many-particle system. &nbsp; The average value for an occupancy number <math>n_i \;</math> is<ref name='Reif1965canonical'/>
 
:<math>\bar{n}_i \ = \  \sum_{R} n_i \ P_R  </math>
 
Note that the state <math>R</math> of the many-particle system can be specified by the particle occupancy of the single-particle states, i.e. by specifying <math>n_1,\, n_2,\, ... \;,</math> so that
 
:<math>P_R = P_{n_1,n_2,...} = \frac{ e^{-\beta (n_1 \epsilon_1+n_2 \epsilon_2+...)} }
                                                                                    {\displaystyle \sum_{{n_1}',{n_2}',...} e^{-\beta ({n_1}' \epsilon_1+{n_2}' \epsilon_2+...)} } </math>
 
and the equation for <math>\bar{n}_i</math> becomes
 
:<math>\begin{alignat} {2}
 
\bar{n}_i & = \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ P_{n_1,n_2,\dots} \\
                \\
                & = \frac{\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots} n_i \ e^{-\beta (n_1\epsilon_1 + n_2\epsilon_2 + \cdots + n_i\epsilon_i + \cdots)} }
                                {\displaystyle \sum_{n_1,n_2,\dots}  e^{-\beta (n_1\epsilon_1 + n_2\epsilon_2 + \cdots + n_i\epsilon_i + \cdots)} } \\
 
                        \end{alignat} </math>
 
where the summation is over all combinations of values of <math>n_1,n_2,...\;</math>&nbsp;  which obey the Pauli exclusion principle, and {{nowrap|1=<math> n_r </math> = 0 or 1}} for each <math>r</math>. Furthermore, each combination of values of <math>n_1,n_2,...\;</math> satisfies the constraint that the total number of particles is <math>N</math>,
 
:<math> \sum_{r} n_r = N \;</math> .
 
Rearranging the summations,
 
:<math> \bar{n}_i = \frac
 
{\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 n_i \ e^{-\beta (n_i\epsilon_i)} \quad  \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2+\cdots)} }
 
{\displaystyle \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\epsilon_i)} \qquad \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,\dots} e^{-\beta (n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2+\cdots)} } </math>
 
where the &nbsp;<math>^{(i)}</math>  on the summation sign indicates that the sum is not over <math>n_i</math> and is subject to the constraint that the total number of particles associated with the summation is <math>N_i =  N-n_i</math>&nbsp;. Note that  <math>\Sigma^{(i)}</math> still depends on <math>n_i</math> through the <math>N_i  </math> constraint, since in one case <math>n_i=0 </math> and  <math>\Sigma^{(i)}</math> is evaluated with <math>N_i=N ,</math> while in the other case <math>n_i=1 </math> and  <math>\Sigma^{(i)}</math> is evaluated with <math>N_i=N-1  .</math> &nbsp;To simplify the notation and to clearly indicate that <math>\Sigma^{(i)}</math> still depends on <math>n_i</math> through <math>N-n_i</math>&nbsp;, define
 
:<math> Z_i(N-n_i) \equiv \ \sideset{ }{^{(i)}}\sum_{n_1,n_2,...} e^{-\beta (n_1\epsilon_1+n_2\epsilon_2+\cdots)} \;</math>
 
so that the previous expression for <math>\bar{n}_i</math>  can be rewritten and evaluated in terms of the <math>Z_i</math>,
 
:<math> \begin{alignat} {3}
\bar{n}_i \ & =  \frac{ \displaystyle \sum_{n_i=0} ^1  n_i \ e^{-\beta (n_i\epsilon_i)}  \ \  Z_i(N-n_i)}
                                                                                        { \displaystyle  \sum_{n_i=0} ^1 e^{-\beta (n_i\epsilon_i)} \qquad    Z_i(N-n_i)} \\
\\
& = \ \frac { \quad 0 \quad \; +  e^{-\beta\epsilon_i}\; Z_i(N-1)} {Z_i(N) + e^{-\beta\epsilon_i}\; Z_i(N-1)}  \\
& = \ \frac {1} {[Z_i(N)/Z_i(N-1)] \; e^{\beta\epsilon_i}+1} \quad .
\end{alignat} </math>
 
The following approximation<ref>See for example,  [[Derivative#Definition via difference quotients|Derivative - Definition via difference quotients]], which gives the approximation <big>''f(a+h) ≈ f(a) + f '(a) h''</big> .</ref> will be used to find an expression to substitute for <math> Z_i(N)/Z_i(N-1)</math> .
 
:<math>\begin{alignat} {2}
\ln Z_i(N- 1) & \simeq \ln Z_i(N) - \frac {\partial \ln Z_i(N)} {\partial N } \\
& = \ln Z_i(N) - \alpha_i \;
\end{alignat}</math>
where &nbsp; &nbsp; &nbsp;<math>\alpha_i \equiv \frac {\partial \ln  Z_i(N)} {\partial N} \ . </math>
 
If the number of particles <math>N</math> is large enough so that the change in the chemical potential <math>\mu\;</math> is very small when a particle is added to the system,  then <math>\alpha_i \simeq - \mu / kT \ .</math><ref name='Reif1965ChemPot'>{{harv|Reif|1965|pp=341–2}} See Eq. 9.3.17 and ''Remark concerning the validity of the approximation''.</ref>&nbsp;  Taking the base ''e'' antilog<ref>By definition, the base ''e'' antilog of ''A'' is ''e<sup>A</sup>''.</ref> of both sides, substituting for <math>\alpha_i \,</math>, and rearranging,
 
:<math>Z_i(N) / Z_i(N- 1) =  e^{-\mu / kT } \,</math> .
 
Substituting the above into the equation for <math>\bar {n}_i</math>, and using a previous definition of <math>\beta\;</math> to substitute  <math>1/kT </math>  for  <math>\beta\;</math>, results in the Fermi–Dirac distribution.
 
:<div style="{{divstylewhite}}; width:15em; margin:.3em"><center><math>\bar{n}_i = \ \frac {1} {e^{(\epsilon_i - \mu)/kT }+1}</math></center></div>
 
<br> <!-- extra linespace to not crowd equation with next section -->
 
====Derivation using Lagrange multipliers====
 
A result can be achieved by directly analyzing the multiplicities of the system and using [[Lagrange multipliers]].<ref name="Blakemore2002p343–5">{{harv|Blakemore|2002|pp=343–5}}</ref>
 
Suppose we have a number of energy levels, labeled by index ''i'', each level
having energy ε''<sub>i</sub>''&nbsp; and containing a total of ''n<sub>i</sub>''&nbsp; particles. Suppose each level contains ''g<sub>i</sub>''&nbsp; distinct sublevels, all of which have the same energy, and which are distinguishable. For example, two particles may have different momenta (i.e. their momenta may be along different directions), in which case they are distinguishable from each other, yet they can still have the same energy. The value of ''g<sub>i</sub>''&nbsp; associated with level ''i'' is called the "degeneracy" of that energy level. The [[Pauli exclusion principle]] states that only one fermion can occupy any such sublevel.
 
The number of ways of distributing ''n<sub>i</sub>'' indistinguishable particles among the ''g<sub>i</sub>  '' sublevels of an energy level, with a maximum of one particle per sublevel, is given by the [[binomial coefficient]], using its  [[Binomial coefficient#Combinatorial interpretation|combinatorial interpretation]]
:<math>
w(n_i,g_i)=\frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!} \  .
</math>
 
For example, distributing two particles in three sublevels will give population numbers of 110, 101, or 011 for a total of three ways which equals 3!/(2!1!). The number of ways that a set of occupation numbers ''n''<sub>''i''</sub> can be realized is the product of the ways that each individual energy level can be populated:
 
:<math>
W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{g_i!}{n_i!(g_i-n_i)!}.
</math>
 
Following the same procedure used in deriving the [[Maxwell–Boltzmann statistics]],
we wish to find the set of ''n<sub>i</sub>'' for which ''W'' is maximized, subject to the constraint that there be a fixed number of particles, and a fixed energy. We constrain our solution using [[Lagrange multipliers]] forming the function:
 
:<math>
f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \epsilon_i).
</math>
 
Using [[Stirling's approximation]] for the factorials, taking the derivative with respect to ''n<sub>i</sub>'', setting the result to zero, and solving for ''n<sub>i</sub>'' yields the Fermi–Dirac population numbers:
 
:<math>
n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \epsilon_i}+1}.
</math>
 
By a process similar to that outlined in the [[Maxwell-Boltzmann statistics]] article, it can be shown thermodynamically that <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> and <math>\alpha = - \frac{\mu}{kT}</math> where <math>\mu</math> is the [[chemical potential]], ''k'' is [[Boltzmann's constant]] and ''T'' is the [[temperature]], so that finally, the probability that a state will be occupied is:
 
:<math>
\bar{n}_i = \frac{n_i}{g_i} = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}+1}.
</math>
 
==See also==
{{commons category|Fermi-Dirac distribution}}
*[[Grand canonical ensemble]]
*[[Fermi level]]
*[[Maxwell–Boltzmann statistics]]
*[[Bose–Einstein statistics]]
*[[Parastatistics]]
 
==References==
#{{cite book | last = Reif | first = F. | coauthors = | title = Fundamentals of Statistical and Thermal Physics| publisher = McGraw–Hill | year = 1965 | ref=harv| pages =  | url = | doi = | isbn =978-0-07-051800-1}}
#{{cite book | last = Blakemore | first = J. S. | coauthors = | title = Semiconductor Statistics | publisher = Dover | year = 2002 | ref=harv| page =  | url = http://books.google.com/?id=cc4HE2YM1FIC&pg=front| doi = | isbn = 978-0-486-49502-6 }}
#{{cite book | last = Kittel | first=Charles | authorlink = Charles Kittel | title = Introduction to Solid State Physics| edition=4th| publisher=John Wiley & Sons| year=1971| ref=harv|location=New York| oclc=300039591 | isbn = 0-471-14286-7 }}
 
==Footnotes==
{{reflist|2}}
 
{{Statistical mechanics topics}}
<!-- Editors: Please do not add the probability distributions template here. The Fermi Dirac distribution is not a probability distribution. -->
 
{{DEFAULTSORT:Fermi-Dirac statistics}}
[[Category:Fermi–Dirac statistics| ]]
[[Category:Concepts in physics]]
[[Category:Quantum field theory]]
[[Category:Statistical mechanics]]

Latest revision as of 18:11, 7 January 2015

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