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-In [[theory of relativity|relativity]], '''proper time''' is the elapsed [[time]] between two [[event (relativity)|events]] as measured by a [[clock]] that passes through both events. The proper time depends not only on the events but also on the motion of the clock between the events. An accelerated clock will measure a smaller elapsed time between two events than that measured by a non-accelerated ([[inertial]]) clock between the same two events. The [[twin paradox]] is an example of this effect.
+== pendant des années Yeezy Kanye West ==
-[[Image:Proper and coordinate time.png|thumb|The dark blue vertical line represents an inertial observer measuring a coordinate time interval ''t'' between events ''E''<sub>1</sub> and ''E''<sub>2</sub>. The red curve represents a clock measuring its proper time τ between the same two events.]]
+L'interdiction de fumer a sauvé un très grand nombre de non-fumeurs d'être meunier de poing par la fumée secondaire. Le marigot ottoman avait à peine compté pour les sultans; pendant des années, il a été utilisé principalement comme un lieu d'exil pour les prisonniers politiques malheureuses. <br><br>Ce mois-ci sur le groupe de lecture nous ferons ce [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=63-Yeezy-Kanye-West Yeezy Kanye West] que nous pouvons pour garder une mémoire importante vivant. Comme nous continuons shopping et regarder nos ordinateurs portables, ils ont l'occasion idéale pour garder un oeil sur tout ce que nous faisons.. <br><br>Les gens ont eu un avant-goût de la politique menée par tempête. Il a travaillé beaucoup plus que [http://www.careladm.org/resold/forum/boutonentrez.asp?p_id=81-Basket-Nike-Talon-Femme Basket Nike Talon Femme] la majorité des mathématiciens modernes, par induction à partir d'exemples numériques; tous ses propriétés de congruence de partitions, par exemple, ont été découverts de cette façon. <br><br>Connectez la bande à la sangle d'utilité et le fixer en dessous de la charnière le plus bas sur une porte. "Maintenant, cependant, il est convaincue que les efforts déployés par les bénévoles ne sont pas en vain.. Elle m'a dit qu'elle était ravie de voir son curseur se déplaçant sur l'écran "tout seul", ce qui semble indiquer que la compagnie avait, en effet, pris le contrôle de son ordinateur. <br><br>Une fois que vous avez écrit votre premier examen, vous serez automatiquement dirigé vers la zone de notation et présenté avec deux articles sur le même sujet qui sont mis sur le côté de l'écran de l'autre que l'article A et article B. Une demi-douzaine de bovins errent le long de ses marges de sable, tandis que deux autres support jarret profonde dans la rivière, en prenant un verre de l'eau qui restera frais jusqu'à ce que le vent tourne et pousse son chemin intérieur, le long du cours de la rivière à nouveau .. <br><br>Je n'ai rien vu écrit dans lequel il a reconnu. Même si elles sont une très petite minorité parmi les anglicans et encore plus petit à l'échelle nationale, ils sont riches, bien organisés et passionné. La deuxième partie de la [http://www.intermarche-dordives.net/Intermarche_Dordives/Rayons/Epicerie.asp?page=8-Polo-Ralph-Lauren-Classic-Fit Polo Ralph Lauren Classic Fit] réponse a été [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=23-Yeezy-2-Red Yeezy 2 Red] dodgier encore." Je l'ai posté à des amis que sur FB. <br><br>Elle ne pouvait pas arrêter de me lancer après que .. Même s'il n'y a aucune chance Breivik sera libéré, ses avocats doivent officiellement faire la demande depuis leur client a plaidé non coupable, malgré avoir avoué à la réalisation des deux attentats meurtriers du 22 Juillet 2011, quand il a bombardé un bâtiment du gouvernement à Oslo, tuant huit personnes, avant d'aller sur une fusillade sur l'île d'Utoeya, au nord-ouest de la capitale, où l'aile jeunesse du Parti travailliste au pouvoir a été l'hôte d'un camp d'été..<ul>
+   <li>[http://www.zlhhome.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=120413&fromuid=7927 http://www.zlhhome.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=120413&fromuid=7927]</li>
+   <li>[http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/210877/ http://www.onlineflashgames.nl/activity/p/210877/]</li>
+   <li>[http://empoweringsouthshore.org/home/forum/profile.php?id=9486 http://empoweringsouthshore.org/home/forum/profile.php?id=9486]</li>
+   <li>[http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36360 http://www.seachasers.org/wp-content/bbpress/profile.php?id=36360]</li>
+ </ul>
-In terms of four-dimensional [[spacetime]], proper time is analogous to [[arc length]] in three-dimensional ([[Euclidean space|Euclidean]]) space.
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-By convention, proper time is usually represented by the Greek letter τ ([[tau]]) to distinguish it from coordinate time represented by ''t'' or ''T''.
-By contrast, [[coordinate time]] is the time between two events as measured by a distant observer using that observer's own method of assigning a time to an event. In the special case of an inertial observer in [[special relativity]], the time is measured using the observer's clock and the observer's definition of simultaneity.
+Ozel, chroniqueur et professeur à l'Université Kadir Has d'Istanbul, a déclaré, est extrêmement dramatique. Personne ne peut imaginer la vie avant le web, les médias sociaux, MP3, vidéo en streaming sur Netflix. "Et ceux que vous détesté bien vous n'avez pas les détestez, mais vous n'avez pas eu de contact avec eux étaient ceux qui ont assumé parce qu'ils étaient 20 ans de plus que toi qui signifiait automatiquement que vous leur devait le respect. <br><br>Yahoo a été lancé par des étudiants de l'Université de Stanford David Filo et Jerry Yang. «J'ai vu beaucoup de gens [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=14-Acheter-Nike-Tn-Requin-Pas-Cher Acheter Nike Tn Requin Pas Cher] qui trouvent qu'il est très difficile, qui ont été terrorisés, les expatriés et les locaux passer à Bulis. Quand vous vous trouvez retomber dans le jeu de la comparaison, comme vous avez sans doute vous, vous rappelez doucement que votre rythme est le meilleur rythme pour vous .. <br><br>La longueur d'onde de 14 microns est également absorbés par la vapeur d'eau avec des milliers d'autres molécules par unité de volume dans l'atmosphère que CO2.FINALLY, le seul «équilibre» pertinent serait bilan énergétique avec 259000000000000 miles cubes de roche essentiellement fondu, 310 millions de miles cubes de l'océan à 40F et seulement 28 gigatonnes [un seul mile cube de carbone humaine] à "forcer" ce change.Climatology est la pire «science» depuis que le monde était plat, jamais soumis à l'examen disciplinaire inter et incapable d'admettre qu'il est endémique errors.Principia scientifique internationale une science anti-climat . <br><br>La direction du vent était différent si [http://www.energiemoderne.net/reservation/system.asp?id=94-Acheter-Chaussure-Nike-Cortez Acheter Chaussure Nike Cortez] j'ai bien fait de gérer mon match.. Pour Roughead d'interroger 13 votes Brownlow . Mois »et« joueur défensif du mois "ont été remplacés par les" trois étoiles du mois "La LNH a également un système qui attribue des points à ses trois étoiles en soirée: 30 points à la première étoile, 20 points pour le deuxième, et 10 à la troisième. <br><br>"Non seulement il était [http://www.docto.fr/cdoc/modelesCSS/Gabarit3/adupage.asp?f=227-Nike-Free-Run-Homme-Pas-Cher Nike Free Run Homme Pas Cher] hors de forme, mais tout ce temps hors de cyclisme a entraîné beaucoup de déséquilibres dans son hanches, les ischio-jambiers, et le noyau, qui jeta sa force et de coordination», dit Park, qui a connu depuis Armstrong . Dans son émission à la nation sur All India Radio le 2 Novembre 1947, Pandit Nehru dit, sont soucieux de ne pas finaliser quoi que ce soit dans un moment de . <br><br>«Je faisais une interview, et le gars qui se passait et sur ce sujet, et finalement je l'ai dit,« Avez-vous lu le journal ce matin? Et je n'étais pas le malin, j'étais juste réel Leurs intentions réalisées peu de discrétion ou la subtilité Eddie et Lila ne pas consommer leur mariage jusqu'à ce que la [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=131-Nike-Air-Max-2013-Rouge Nike Air Max 2013 Rouge] lune de miel, et leur jeune fille rendez-vous grivois, c'est comme une farce Skinemax:..<ul>
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+   <li>[http://www.xjvns.cn/news/html/?59765.html http://www.xjvns.cn/news/html/?59765.html]</li>
+ </ul>
-The concept of proper time was introduced by [[Hermann Minkowski]] in 1908,<ref>{{Citation | last = Minkowski | first = Hermann | author-link = Hermann Minkowski | publication-date = 1908 | title = Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern | periodical = Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen | publication-place = Göttingen | pages = 53&ndash;111 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=62931}}</ref> and is a feature of [[Minkowski diagram]]s.
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-== Mathematical formalism ==
+Ce qui lui manquait en espèces sonnantes et trébuchantes, il a fait pour la motivation et l'équité de sueur. Le rythme rapide et jolies vidéos fonctionnent très bien pour montrer quelque chose qui est déjà arrivé. [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=387-Air-Jordan-Retro-8 Air Jordan Retro 8] Les chiffres non ajustés réels montrent que 2,8 millions d'emplois ont disparu effectivement en Janvier, un peu plus de 2,6 millions perdus Janvier dernier. <br><br>Pour le choix de boissons Red Squirrel seul n'a pas d'égal dans la région.. Combien de temps pouvons-nous mettre hors réparation et le renouvellement? . Le mécanisme est simple, ne nécessite que très peu à la manière des dispositifs de mise en scène de fantaisie, et fonctionne très bien ici, à l'exception de la lutte contre le stade, qui doit prendre à deux pas de la pantomime et vers le réalisme (quelque chose que le temps devrait guérir, comme le artistes s'installent dans). <br><br>2. Shotgun furieux à l'estomac, je n'étais plus une présence sinistre mais juste un de quarante zombies! L'âme de la sur la maison apogée été blessé dans le froid extrême (fin Octobre lors de l'avènement de l'hiver). Est-ce début de sembler compliqué? C'est parce qu'il est. <br><br>Avec le prix moyen d'une GeForce 8800 GT actuellement à 293 $ et langue difficile à trouver, la Radeon HD 3870 représente une saine $ 70 économies tout en offrant la meilleure expérience de jeu au point de prix $ 219. Sa performance a attiré l'attention de MGM producteur Arthur Freed, cependant, qui la voulait maintenant pour son prochain musicale Du Barry était une dame (1943). <br><br>Environ un an après 9 11, deux drapeaux, côte à côte, sont apparus [http://www.christophegoursat.com/scripts/setting.asp?id=21-Basket-Tn-Requin-Pas-Cher Basket Tn Requin Pas Cher] sur la première page du site ARI. Peuvent-ils résoudre l'énigme avant la tragédie frappe?. Il HNE possible de visualiseur les donn Climatiques sur la carte m. Mon copain un avocat de New York, était en ville pendant vingt-quatre heures sur un appel lourde à une entreprise cliente française majeure, donc je savais qu'il [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=298-Nike-Air-Vortex-Vintage Nike Air Vortex Vintage] allait être épuisé et fatigué quand nous nous sommes rencontrés pour le dîner, ce qui exclut la plupart des modernes plus innovante bistros à Paris pour la simple raison qu'il n'aurait pas compris ou aimé les, et les repas plupart d'entre eux servent aurait pris trop de temps.. <br><br>Il vous permet également towrite textorimport des images ou des documents de votre choix. 4. MIC est l'ingrédient actif dans le pesticide Sevin, qui a été largement présenté comme un pesticide "sûr". Notamment celles qui ont eu lieu à Cordoue en 1011 et à Grenade en 1066. <br><br>Ce site peut [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=152-Air-Max-Bw-Pas-Cher-Homme Air Max Bw Pas Cher Homme] être juste la chose pour les enseignants qui ont des ressources limitées en plein air ou dont le climat aren TMT en phase avec leurs programmes d'études. Pour d'autres, la patine du plancher de qualité valeur a des relents de verts et bruns, créant une apparence différente de feuillus de qualité supérieure.<ul>
+   <li>[http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/ http://www.histoirepassion.eu/spip.php?article1895/]</li>
+   <li>[http://www.tztea.com.cn/news/html/?228534.html http://www.tztea.com.cn/news/html/?228534.html]</li>
+   <li>[http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/ http://lab.nqnwebs.com/lavoz_bak/spip.php?article5818/]</li>
+   <li>[http://stavers.ws/Forum/read.php?6,72146 http://stavers.ws/Forum/read.php?6,72146]</li>
+ </ul>
-The formal definition of proper time involves describing the path through [[spacetime]] that represents a clock, observer, or test particle, and the [[metric tensor (general relativity)|metric structure]] of that spacetime. Proper time is the [[pseudo-Riemannian manifold|pseudo-Riemannian]] arc length of [[world line]]s in four-dimensional spacetime.
+== Hah Nike Air Vortex Femme ==
-From the mathematical point of view, coordinate time is assumed to be predefined and we require an expression for proper time as a function of coordinate time. From the experimental point of view, proper time is what is measured experimentally and then coordinate time is calculated from the proper time of some inertial clocks.
+Il m'a vraiment attiré, il a le sentiment que Siegel et Shuster aren entièrement sûr de savoir comment écrire un super-vilain. Taiwan gouvernement central a ajouté un autre $ 10,140,000 pour aider à couvrir le coût total, estimé à $ 120 million.Taiwan a donné des subventions aux cinéastes locaux depuis plus de 60 ans pour développer les talents et, dans les premiers jours, faire avancer les vues du gouvernement. <br><br>Les mentions ont été faites par la région du Sud Comité d'action politique SCEA. Tout ce que je veux dire, c'est que j'espère que la technologie CGI améliore tout un [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=86-Nike-Air-Vortex-Femme Nike Air Vortex Femme] critère avant le prochain épisode sort, car il souffla sur celui-ci, et celui-ci aurait été environ cinq minutes si vous [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=127-Air-Jordan-3-White-Cement Air Jordan 3 White Cement] coupez toutes les scènes impliquant le CGI de merde . <br><br>Rien d'autre Objective C et 2, ce ne sera pas vraiment un problème Si, toutefois, vous ' re même juste un développeur web, vous êtes déjà en haut de l'édition probablement sept ou huit dossiers à faire avancer les choses mises en place comme vous le souhaitez.). <br><br>Ses tweets sont souvent plus simples ("Il y avait une grande promenade en famille le long du sentier côtier de Fife aujourd'hui avec un soupçon de soleil aucun signe des tempêtes [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=235-Basket-Nike-Air-Jordan-Femme Basket Nike Air Jordan Femme] de neige ou menacées, Hah!" Était une offre typique la semaine dernière), mais reflètent collectivement ses tendances libérales, son intérêt dans des causes comme l'éducation et la santé des femmes, et son poste d'antan à proximité du centre du pouvoir. <br><br>Type d'installation a été un rêve de la communauté pendant de nombreuses années; déclaré le Dr Dawson vrai Center est une partie d'une ressource de type pour les femmes partout dans le Nord-Ouest qui luttent contre le cancer. Ensuite, l'infirmière a publié la vis de tour et a annoncé, "Un vers le bas, un à aller." Quinze minutes plus tard, ma correction de la vision Lasik était complet, et je suis entré à la réception et a fait un chèque.. <br><br>"Je pense qu'ils ont peut-être été un peu peur de Dan," rit M. Donc, l'ophtalmologiste Moscou construit un plateau Susan paresseux géant avec cinq lits disposés vers l'extérieur dans un modèle d'étoiles de mer. Mes amis ont expliqué, fait par des [http://www.jumeauxetplus87.org/ftp_webdev/install_temp/Forum.asp?p_id=26-Basket-Air-Max-Pas-Cher-Pour-Femme Basket Air Max Pas Cher Pour Femme] projections de fait de l'eau froide, la façon dont un spécial TV récente par un célèbre hypnotiseur célébrité a été effectuée par les acteurs, et n'a pas été, en fait, la magie du tout.. <br><br>Ils ont atteint la rentabilité plus rapidement que prévu en raison d'applications comme Farmville avec des biens virtuels. CheersSadly, beaucoup de gens ne vont pas sortir avec vous parce que vous "drôle d'odeur" C'est pathétique vraiment, mais je pense que beaucoup de gens ne vont pas mordre la balle de connaître une bonne personne.<ul>
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-===In special relativity===
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-In special relativity, proper time can be defined as
+Dites à votre enfant qu'il ya plus de «bons étrangers» que de «mauvais étrangers" pour faciliter leurs craintes. Juice est particulièrement nécessaire pour les très jeunes enfants qui ont besoin pour répondre aux besoins nutritionnels.. Est acceptable en vertu des ADPIC [6] grâce à la reconnaissance de la Déclaration de Doha. <br><br>Les trois plus importantes sociétés de mesure en ligne comScore, Nielsen et Experian Hitwise de trafic calcul [http://www.spnegoceauto.com/FCKeditor/fckblank.asp?search=69-Yeezy-1 Yeezy 1] numérique de différentes manières, de sorte que leurs chiffres [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=150-Shox-Nz-Eu-Brown Shox Nz Eu Brown] bruts ne correspondent pas. Ces sacs à main Hermès sont bonnes! J'avais déjà eu mon propre presque toute l'année. <br><br>Il s'enfonce après une seule utilisation et ne nécessite débourrage quotidien.. Cette société doit être arrêté dès que possible.. La puce Intel Atom / Clovertrail est bien connu pour être assez lent, mais il sera en mesure d'exécuter tous les programmes Windows8 32 bits. <br><br>Regardez ce qui s'est passé à l'affaire Ba quand il est devenu clair que la signature Ozil serait nous rendre plus compétitifs. Avec des terrains abordables et la beauté à couper le souffle en toile de fond, il apparaît comme une destination de l'immobilier idéal.. <br><br>[3]. La raison pour laquelle Will Smith et Harrison Ford sont au sommet absolu de leurs jeux c'est précisément parce qu'ils sont au sommet absolu de leurs jeux. Nous tenons à remercier J pour cela. Écoutez Neighbour Summertime filles par Homebreakin dossiers: HB013 VOISIN FT RÉFLEXION ÉTÉ EP exclusivement. <br><br>Quand elle a ignoré [http://www.ivarest-immobilier.com/download/test.asp?p=237-Chaussure-Jordan-Spizike Chaussure Jordan Spizike] mes trois prochaines [http://www.adrpro.fr/includes/defines.asp?p=6-Nike-Shox-Oz-Femme Nike Shox Oz Femme] tentatives cours de l'été de lui demander pourquoi elle a affirmé être encore annonce, j'ai pensé qu'elle doit avoir vraiment besoin des dons à maintenir le site. La capacité supplémentaire de salle d'opération nous permet d'offrir plus de chirurgies à plus de patients plus rapidement. <br><br>Mais le revers est beaucoup intimidateurs ont été victimes d'intimidation avant. Maintenant vous savez pourquoi je suis impatient de Thomas visite annuelle au Musée tellement. Le plus triste est qu'il est permis et ils sortir avec elle. Vous ne pouvez pas utiliser NPR fourni marques, logos ou graphiques services, sans le consentement écrit préalable de NPR, sauf que vous avez le droit, et l'obligation, d'utiliser tout NPR, station de membre NPR ou autre fournisseur de contenu marque de service ou logo inclus, ou qui doit être utilisé en relation avec l'API contenu, contenu RSS, Media Player NPR, ou d'autres fonctionnalités des services NPR, sous réserve des conditions énoncées dans les présentes Conditions d'utilisation à l'usage du contenu de l'API, contenu RSS, NPR .<ul>
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-: <math>\tau
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-= \int \frac{dt}{\gamma}
-= \int \sqrt {1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} \, dt
-= \int \sqrt {1 - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{dt}\right)^2 \right] } \,dt,</math>
-where {{math|<VAR>v(t)</VAR>}} is the coordinate speed at coordinate time {{math|<VAR>t</VAR>}}, and {{math|<VAR>x</VAR>}}, {{math|<VAR>y</VAR>}}, and {{math|<VAR>z</VAR>}} are [[Cartesian coordinates|Cartesian]] [[space|spatial]] coordinates.
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-If {{math|<VAR>t</VAR>}}, {{math|<VAR>x</VAR>}}, {{math|<VAR>y</VAR>}}, and {{math|<VAR>z</VAR>}} are all parameterised by a [[parameter]]  {{math|<VAR>&lambda;</VAR>}}, this can be written as
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-: <math>\tau
+   <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
-= \int \sqrt {\left (\frac{dt}{d\lambda}\right)^2  - \frac{1}{c^2} \left [ \left (\frac{dx}{d\lambda}\right)^2 + \left (\frac{dy}{d\lambda}\right)^2 + \left ( \frac{dz}{d\lambda}\right)^2 \right] } \,d\lambda.</math>
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-In differential form it can be written as the line integral
+   <li>[http://www.yutianshopping.com/news/html/?42326.html http://www.yutianshopping.com/news/html/?42326.html]</li>
-: <math>\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - {dx^2 \over c^2} - {dy^2 \over c^2} - {dz^2 \over c^2}},</math>
+ </ul>
-where {{math|<VAR>P</VAR>}} is the path of the clock in spacetime.
-To make things even easier, [[inertial]] [[motion (physics)|motion]] in special relativity is where the spatial coordinates change at a constant rate with respect to the temporal coordinate.  This further simplifies the proper time equation to
-: <math>\Delta \tau = \sqrt{\left(\Delta t\right)^2 -  \frac{\left(\Delta x\right)^2}{c^2} -  \frac{\left(\Delta y\right)^2}{c^2} - \frac{\left(\Delta z\right)^2}{c^2}},</math>
-where Δ means "the change in" between two [[Spacetime#Basic concepts|event]]s.
-The special relativity equations are special cases of the general case that follows.
-===In general relativity===
-Using [[tensor calculus]], proper time is more rigorously defined in [[general relativity]] as follows:  Given a spacetime which is a [[pseudo-Riemannian manifold]] mapped with a [[coordinate system]] <math>x^\mu</math> and equipped with a corresponding [[metric tensor (general relativity)|metric tensor]] <math>g_{\mu\nu}</math>, the proper time <math>\tau\ </math> experienced in moving between two [[Spacetime#Basic concepts|event]]s along a timelike path ''P'' is given by the [[line integral]]
-: <math>\tau = \int_P \, d\tau </math>
-where
-: <math> d\tau = \sqrt{dx_\mu \; dx^\mu} = \sqrt{g_{\mu\nu} \; dx^\mu \; dx^\nu}.</math>
-(Note: the [[Einstein summation convention]] is used in the above. The expression ''A<sub>μ</sub>B<sup>μ</sup>'' is shorthand for {{nowrap|''A''<sub>0</sub>''B''<sup>0</sup> + ''A''<sub>1</sub>''B''<sup>1</sup> + ''A''<sub>2</sub>''B''<sup>2</sup> + ''A''<sub>3</sub>''B''<sup>3</sup>}}, and the ''μ'' in ''B<sup>μ</sup>'' denotes an index, not a power.)
-=== Derivation ===
-For any spacetime, there is an incremental invariant interval ''ds'' between events with an incremental coordinate separation ''dx<sup>μ</sup>'' of
-: <math>ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu.</math>
-This is referred to as the line element of the spacetime.  ''s'' may be [[spacelike]], [[lightlike]], or [[timelike]].  Spacelike paths cannot be physically traveled (as they require moving faster than light).  Lightlike paths can only be followed by light beams, for which there is no passage of proper time.  Only timelike paths can be traveled by massive objects, in which case the invariant interval becomes the proper time <math>\tau\ </math>.  So for our purposes
-: <math>\tau\ \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ s </math> .
-Taking the square root of each side of the line element gives the above definition of <math>d\tau\ </math>.  After that, take the line integral of each side to get <math>\tau\ </math> as described by the first equation.
-=== Derivation for special relativity ===
-In [[special relativity]] (SR) spacetime is mapped with a [[four-vector]] coordinate system <math>x^\mu = (t,x,y,z)\,</math> where
-: ''t'' is a [[time|temporal]] coordinate and
-: ''x'', ''y'', and ''z'' are [[orthogonal]] [[space|spatial]] coordinates.
-This spacetime and mapping are described with the [[Minkowski metric]]:
-: <math>
-g_{\mu\nu} = \left (
-\begin{matrix}
-& 0 & 0 & 0 \\
-& -\frac{1}{c^2} & 0 & 0  \\
-& 0 & -\frac{1}{c^2} & 0  \\
-& 0 & 0 & -\frac{1}{c^2}
-\end{matrix} \right ) .
-</math>
-(Note: The '''<tt>+---</tt>''' [[metric signature]] is used in this article so that <math>d\tau\ </math> will always be [[positive number|positive]] definite for timelike paths.)
-In special relativity, the proper time equation becomes
-: <math>\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - {dx^2 \over c^2} - {dy^2 \over c^2} - {dz^2 \over c^2}},</math>
-as above.
-== Examples in special relativity ==
-=== Example 1: The twin "paradox" ===
-For a [[Twin paradox|twin "paradox"]] scenario, let there be an observer ''A'' who moves between the coordinates (0,0,0,0) and (10 years, 0, 0, 0) inertially.  This means that ''A'' stays at <math>x=y=z=0</math> for 10 years of coordinate time.  The proper time for ''A'' is then
-: <math>\Delta \tau = \sqrt{(10\text{ years})^2} = 10\text{ years}</math>
-So we find that being "at rest" in a special relativity coordinate system means that proper time and coordinate time are the same.
-Let there now be another observer ''B'' who travels in the ''x'' direction from (0,0,0,0) for 5 years of coordinate time at 0.866''c'' to (5 years, 4.33 light-years, 0, 0).  Once there, ''B'' accelerates, and travels in the other spatial direction for 5 years to (10 years, 0, 0, 0).  For each leg of the trip, the proper time is
-: <math>\Delta \tau = \sqrt{(5\;\mathrm{years})^2 - (4.33\;\mathrm{years})^2} = \sqrt{6.25\;\mathrm{years}^2} = \sqrt{6.25\;} \mathrm{years}= 2.5 \; \mathrm{years}.</math>
-So the total proper time for observer ''B'' to go from (0,0,0,0) to (5 years, 4.33 light-years, 0, 0) to (10 years, 0, 0, 0) is 5 years.  Thus it is shown that the proper time equation incorporates the time dilation effect.  In fact, for an object in a SR spacetime traveling with a velocity of '''''v''''' for a time <math>\Delta T</math>, the proper time experienced is
-: <math>\Delta \tau = \sqrt{\Delta T^2 - (v_x \Delta T/c)^2 - (v_y \Delta T/c)^2 - (v_z \Delta T/c)^2 } = \Delta T \sqrt{1 - v^2/c^2}, </math>
-which is the SR time dilation formula.
-=== Example 2:  The rotating disk ===
-An observer rotating around another inertial observer is in an accelerated frame of reference.  For such an observer, the incremental (<math>d\tau\ </math>) form of the proper time equation is needed, along with a parameterized description of the path being taken, as shown below.
-Let there be an observer ''C'' on a disk rotating in the ''xy'' plane at a coordinate angular rate of <math>\omega</math> and who is at a distance of ''r'' from the center of the disk with the center of the disk at ''x''=''y''=''z''=0.  The path of observer ''C'' is given by <math>(T, \;\, r\cos(\omega T),\;\, r\sin(\omega T), \;\, 0)</math>, where <math>T </math> is the current coordinate time.  When ''r'' and <math>\omega</math> are constant, <math>dx = -r \omega \sin(\omega T) \; dT</math> and <math>dy = r \omega \cos(\omega T) \; dT</math>.  The incremental proper time formula then becomes
-: <math>d\tau = \sqrt{dT^2 - (r \omega /c)^2 \sin^2(\omega T)\; dT^2 - (r \omega /c)^2 \cos^2(\omega T) \; dT^2} = dT\sqrt{1 - \left ( \frac{r\omega}{c} \right )^2}.</math>
-So for an observer rotating at a constant distance of ''r'' from a given point in spacetime at a constant angular rate of ''ω'' between coordinate times <math>T_1</math> and <math>T_2</math>, the proper time experienced will be
-: <math>\int_{T_1}^{T_2} d\tau = (T_2 - T_1) \sqrt{ 1 - \left ( \frac{r\omega}{c} \right )^2}.</math>
-As ''v''=''rω'' for a rotating observer, this result is as expected given the time dilation formula above, and shows the general application of the integral form of the proper time formula.
-== Examples in general relativity ==
-The difference between SR and general relativity (GR) is that in GR you can use any metric which is a solution of the [[Einstein field equations]], not just the Minkowski metric.  Because inertial motion in curved spacetimes lacks the simple expression it has in SR, the line integral form of the proper time equation must always be used.
-=== Example 3:  The rotating disk (again) ===
-An appropriate [[Polar_coordinate_system#Converting_between_polar_and_Cartesian_coordinates|coordinate conversion]] done against the Minkowski metric creates coordinates where an object on a rotating disk stays in the same spatial coordinate position.  The new coordinates are
-: <math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
-and
-: <math>\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \omega t.</math>
-The ''t'' and ''z'' coordinates remain unchanged.  In this new coordinate system, the incremental proper time equation is
-: <math>d\tau = \sqrt{\left [1 - \left (\frac{r \omega}{c} \right )^2 \right] dt^2 - \frac{dr^2}{c^2} - \frac{r^2\, d\theta^2}{c^2} - \frac{dz^2}{c^2} - 2 \frac{r^2 \omega \, dt \, d\theta}{c^2}}.</math>
-With ''r'', ''θ'', and ''z'' being constant over time, this simplifies to
-: <math>d\tau = dt \sqrt{ 1 - \left (\frac{r \omega}{c} \right )^2 },</math>
-which is the same as in Example 2.
-Now let there be an object off of the rotating disk and at inertial rest with respect to the center of the disk and at a distance of ''R'' from it.  This object has a '''coordinate''' motion described by ''dθ = -ω&nbsp;dt'', which describes the inertially at-rest object of counter-rotating in the view of the rotating observer.  Now the proper time equation becomes
-: <math>d\tau = \sqrt{\left [1 - \left (\frac{R \omega}{c} \right )^2 \right] dt^2 - \left (\frac{R\omega}{c} \right ) ^2 \,dt^2 + 2 \left ( \frac{R \omega}{c} \right ) ^2 \,dt^2} = dt. </math>
-So for the inertial at-rest observer, coordinate time and proper time are once again found to pass at the same rate, as expected and required for the internal self-consistency of relativity theory.<ref>cf. R. J. Cook (2004) Physical time and physical space in general relativity, ''Am. J. Phys.'' '''72''':214&ndash;219</ref>
-=== Example 4:  The Schwarzschild solution &mdash; time on the Earth ===
-The [[Schwarzschild solution]] has an incremental proper time equation of
-: <math> d\tau = \sqrt{
-   \left( 1 - \frac{2m}{r} \right) dt^2
-  - \frac{1}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right)^{-1} dr^2
-  - \frac{r^2}{c^2} d\phi^2
-  - \frac{r^2}{c^2} \sin^2(\phi ) \, d\theta^2
- }, </math>
-where
-: ''t'' is time as calibrated with a clock distant from and at inertial rest with respect to the Earth,
-: ''r'' is a radial coordinate (which is effectively the distance from the Earth's center),
-: ''ɸ'' is a co-latitudinal coordinate, the angular separation from the [[north pole]] in [[radian]]s.
-: ''θ'' is a longitudinal coordinate, analogous to the longitude on the Earth's surface but independent of the Earth's [[rotation]].  This is also given in radians.
-: ''m'' is the [[geometrized]] mass of the Earth, ''m'' = ''GM''/''c''<sup>2</sup>,
-:: ''M'' is the mass of the Earth,
-:: ''G'' is the [[gravitational constant]].
-To demonstrate the use of the proper time relationship, several sub-examples involving the Earth will be used here. The use of the Schwarzschild solution for the Earth is not entirely correct for the following reasons:
-* Due to its rotation and [[Theory of tides|tidal deformation]], the Earth is an [[oblate spheroid]] instead of being a true [[sphere]].  This results in the gravitational field also being oblate instead of spherical.
-* In GR, a rotating object also drags spacetime along with itself.  This is described by the [[Kerr solution]].  However, the amount of frame dragging that occurs for the Earth is so small that it can often be ignored.
-For the [[Earth]], ''M''&nbsp;=&nbsp;5.9742&nbsp;&times;&nbsp;10<sup>24</sup>&nbsp;kg, meaning that ''m''&nbsp;=&nbsp;4.4354&nbsp;&times;&nbsp;10<sup>&minus;3</sup>&nbsp;m.  When standing on the north pole, we can assume <math>dr =
-d\theta = d\phi = 0 </math> (meaning that we are neither moving up or down or along the surface of the Earth).  In this case, the Schwarzschild solution proper time equation becomes <math>d\tau = dt \,\sqrt{1 - 2m/r}</math>.  Then using the polar radius of the Earth as the radial coordinate (or <math>r = 6,356,752</math> meters), we find that
-: <math>d\tau = \sqrt{\left ( 1 - 1.3908 \times 10^{-9} \right ) \;dt^2} = \left (1 - 6.9540 \times 10^{-10} \right ) \,dt.</math>
-At the [[equator]], the radius of the Earth is ''r''&nbsp;=&nbsp;6,378,137 meters.  In addition, the rotation of the Earth needs to be taken into account.  This imparts on an observer an angular velocity of <math>\ d\theta / dt</math> of 2''π'' divided by the [[sidereal time|sidereal period]] of the Earth's rotation, 86162.4 seconds. So <math>d\theta = 7.2923 \times 10^{-5}\, dt</math>.  The proper time equation then produces
-: <math>d\tau = \sqrt{\left ( 1 - 1.3908 \times 10^{-9} \right ) dt^2 - 2.4069 \times 10^{-12}\, dt^2} = \left( 1 - 6.9660 \times 10^{-10}\right ) \, dt.</math>
-This should have been the same as the previous result, but as noted above the Earth is not spherical as assumed by the Schwarzschild solution.  Even so this demonstrates how the proper time equation is used.
-==See also==
-* [[Lorentz transformation]]
-* [[Minkowski space]]
-* [[Proper length]]
-* [[Proper acceleration]]
-* [[Invariant mass|Proper mass]]
-* [[Proper velocity]]
-* [[Clock hypothesis]]
-* [[Peres metric]]
-==Footnotes==
-{{reflist}}
-{{Time Topics}}
-{{Time measurement and standards}}
-{{DEFAULTSORT:Proper Time}}
-[[Category:Minkowski spacetime]]
-[[Category:Theory of relativity]]
-[[Category:Timekeeping]]
-[[Category:Time]]
-[[de:Zeitdilatation#Allgemeine Zeitdilatation]]

Order (group theory): Difference between revisions

Latest revision as of 18:16, 29 November 2014

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