Leibniz formula for π: Difference between revisions

From formulasearchengine
Jump to navigation Jump to search
← Older edit
en>David Eppstein
Euler product
en>David Eppstein
distinguish the formula for π from the more general series expansion of arctan as two separate topics (worthy of two separate articles)
 
(One intermediate revision by one other user not shown)
Line 1: Line 1:
[[Image:Luneburg lens.svg|thumb|alt=A circle, shaded sky blue at the center, fading to white at the edge. A bundle of parallel red lines enters from the upper right and converges to a point at the opposite edge of the circle. Another bundle does the same from the upper left.|Cross-section of the standard Luneburg lens, with blue shading proportional to the refractive index]]
== Nike Air Max Outlet Ding is ==
A '''Luneburg lens''' (originally ''L'''ü'''neburg lens'', often incorrectly spelled ''Luneb'''e'''rg lens'') is a spherically symmetric [[Lens (optics)|lens]] that has varying [[index of refraction]] inside it. A typical Luneburg lens's refractive index ''n'' decreases radially from the center to the outer surface.


For certain index profiles, the lens will form perfect geometrical [[image]]s of two given concentric spheres onto each other. There are an infinite number of refractive-index profiles that can produce this effect. The simplest such solution was proposed by [[Rudolf Luneburg]] in 1944.<ref name="luneburg"/> Luneburg's solution for the refractive index creates two conjugate [[focus (optics)|foci]] outside of the lens. The solution takes a simple and explicit form if one [[focus (optics)|focal point]] lies at infinity, and the other on the opposite surface of the lens. J. Brown and A. S. Gutman subsequently proposed solutions which generate one internal focal point and one external focal point.<ref>{{cite journal |last=Brown |first=J.|year=1953 |journal=Wireless Engineer |volume=30 |pages=250}}</ref><ref>{{cite journal |last=Gutman |first=A. S. |authorlink= |year=1954 |journal=J. Appl. Phys. |volume=25 |issue= 7|pages=855 |doi=10.1063/1.1721757 |title=Modified Luneberg Lens|bibcode = 1954JAP....25..855G }}</ref> These solutions are not unique; the set of solutions are defined by a set of [[integral|definite integrals]] which must be evaluated numerically.<ref>{{cite journal |last=Morgan |first=S. P. |authorlink= |coauthors= |year=1958 |title=General solution of the Luneburg lens problem |journal=J. Appl. Phys. |volume=29 |pages=1358–1368 |doi=10.1063/1.1723441|bibcode = 1958JAP....29.1358M |issue=9 }}</ref>
Ze hoeven niet per se weten hoe dat te doen op 7 en 9 de hele tijd. Ze gaan altijd naar de junk food en snoep willen maar ze zijn langzaam leren hoe om vervangingen en andere gezonde keuzes, dat is echt een grote beloning voor mij te maken .. Mumbai: Het Hooggerechtshof op Donderdag bevestigde acteur Sanjay Dutt's overtuiging onder de Wet wapens, maar verminderd zijn straf van zes jaar tot vijf jaar in de [http://www.concord-remarketing.com/fr/includes/customer.asp?n=36-Nike-Air-Max-Outlet Nike Air Max Outlet] Mumbai 1993 ontploffing geval. <br><br>Met behulp van een aantal ad-netwerken kunnen echt helpen bij het maken van geld met behulp van je sites of blogs en dus voegen extra geld in uw inkomen. Dit zou kunnen gebeuren door het creëren [http://www.concord-remarketing.com/fr/includes/customer.asp?n=73-Air-Max-Ltd-Ii Air Max Ltd Ii] van hoogwaardige content, samen met het onderhoud van uw niche gebied. We gemodelleerd het spel kaarten na Trivial Pursuit en alle vragen werden met betrekking tot het jaar Larry is geboren; 1962. <br><br>De Ram en de Steenbok [http://www.daelprinting.be/en/cms/inc/categorie.asp?page=21-Woolrich-Heren-Jassen Woolrich Heren Jassen] zijn totaal tegengesteld qua volgende sociale normen. Ram wordt gezegd dat ze helemaal tegen sociale grenzen en normen, terwijl een Steenbok, altijd zou worden gevonden helemaal vast te houden aan deze normen en regels. Finniss, voor zover verzendingsbewijzen dat zachtaardige man droeg uit de opmerkingen. <br><br>Falen is een belangrijk onderdeel van het succes, of in ieder geval een belangrijke stap op de weg naar steeds succesvol. Wanneer de stillyoung zoektocht industrie getuige van een storing van welke aard dan ook, het lijkt te genieten van [.]. Ik zou stok met de Zalman op dat punt. <br><br>De ouder als handhaver "dwingt" positieve invloeden op eten van een kind en eetgedrag. Bijvoorbeeld, ouders te helpen een kind te leren om te luisteren en te reageren op interne signalen van honger en volheid. De wolk visualiseert algemene informatie verbonden met Marnie McEachern en niet aan een specifieke persoon met die naam. <br><br>Ding is, als GTX680 heeft een typisch turboboost tot 1056MHz zoals verkondigd door nVidia, zeiden ze niets verkeerd en beloofde [http://www.studiodeprez.be/studioverhuur/images/reservatie.asp?r=75-Ray-Ban-Clubmaster-Prijs Ray Ban Clubmaster Prijs] niets mis. Dat recensenten zie hoger klokken in hun banken 'niet in hun handen'. De kwestie met inbegrip van hem in een ODI of T20 ploeg nu alleen verder met de selectie fouten die cricket australië hebben pagued in de afgelopen tijd. <br><br>Kastelen of oude gebouwen of iets dat een verhaal achter zich heeft zou geweldig zijn. Ik weet dat het waarschijnlijk dit weekend regenen, maar dat is oke. Nitty Gritty: Beoordeling van onze huidige kleur als "te over blond" voor onze huidskleur, Villanueva geschilderd bij weinig licht om diepte toe te voegen, dan oordeelkundig weefde in smalle gouden strepen.<ul>
 
  <li>[http://test.bpmn.info/forum/read.php?2,294837 http://test.bpmn.info/forum/read.php?2,294837]</li>
 
  <li>[http://sgwto.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=727520 http://sgwto.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=727520]</li>
 
  <li>[http://jianbaoke.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1638465&extra= http://jianbaoke.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1638465&extra=]</li>
 
  <li>[http://www.21fengmi.com/forum.php?mod=viewthread&tid=396842 http://www.21fengmi.com/forum.php?mod=viewthread&tid=396842]</li>
 
  <li>[http://uyouyl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3120191 http://uyouyl.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3120191]</li>
 
</ul>


Luneburg lenses are one type of [[Gradient-index optics|gradient-index lens]]. They can be made for use with [[electromagnetic radiation]] from [[visible light]] to [[radio waves]].
== Michael Kors Tas Sale  Als je een Nikon D40 ==


==Designs==
Er zijn geen kosten, ben ik gecompenseerd door [http://www.metallink.be/flash/produkten.asp?m=1-Michael-Kors-Tas-Sale Michael Kors Tas Sale] de verschillende verzekeringsmaatschappijen. U betaalt nooit extra bij gebruik van een agent alle premies zijn hetzelfde weer kunt online solliciteren of via een agent. Mitzi zegt de grootste lessen die ze geleerd waren over controle over de porties en het belang van het doen van lichamelijke activiteit per dag. <br><br>We maakten FACEtoFACE contact met de stafchef. Ze kozen ervoor niet te reageren .. Ik heb een ander probleem, maar het nogal gênant. Wanneer ik probeer te masturberen i cant past alles groter dan een tampon in me zonder zonder het pijn echt slecht. Je hoeft niet om kinderen te krijgen (of draag een beha, echt), maar we hebben een womenonly klasse gecreëerd om de unieke leerstijl dat vrouwen [http://www.dekringledegem.be/backoffice/nvt/reserveren.asp?id=98-Longchamp-Nederland Longchamp Nederland] in een groep te vieren, en zodat je niet het gevoel geïntimideerd als u haven ' t tijd gehad om domme dingen zoals het lezen van de 200 pagina's tellende handleiding die bij de camera ;) kwam doen. De schietpartij tips zijn gericht op hoe om beelden van kinderen vast te leggen, maar kan worden toegepast op allerlei onderwerpen [. Opmerking: Als je een Nikon D40, D60, D3000, D3100, D5000 of D5100 zie de FAQ's hieronder]. FAQ's : "Wat als ik het niet kan maken nadat ik registreren" Let op ons beleid voordat u uw registratie af te ronden: Uw ticket is niet terugbetaalbaar, maar het is overdraagbaar.<br><br>"De Malinese overheid is primair verantwoordelijk voor zijn eigen mensen om ontwikkeling van het land te rijden", vervolgt Diaby. "Het moet zeker om het beheer van hun bronnen te verbeteren en verspreiden van de voordelen eerlijker. [http://www.campagnesurmer.be/includes/kalender.asp?p=57-Hollister-Belgium-Adres Hollister Belgium Adres] Sommige van de kaarten beter geschikt voor 216 spelers, terwijl anderen te ondersteunen maximaal 32 spelers. Dat gezegd hebbende, als je wilt 32 spelers proppen in een <br><br>Het houden van wetenschappelijke informatie over mango's in het achterhoofd, aanbevelingen over de vrucht rechtvaardigen een relook. Dit is vanwege de invloed op het lichaamsgewicht, bloedsuiker en gezondheid .. Dravid en Laxman, in een zin zou je [http://www.slagerij-kris.be/_private/mail.asp?polo=49-Lacoste-Shop-Belgie Lacoste Shop Belgie] kunnen noemen ze Ram en Laxman omdat ze voor altijd zal geassocieerd worden met de gouden annalen van de Indiase cricket, vooral na hun matchwinning partnerschappen, de ene in Kolkata en de een op Adelaide. <br><br>In een kleine, heavybottomed steelpan, voeg voldoende water nauwelijks bedekken de bodem van de pan. Voeg de suiker toe aan het midden van de pot, bevochtig het gelijkmatig met het water, en alle kristallen die krijgen op de zijkanten van de pan in het water te wassen. Deze site kan adviezen, meningen en uitspraken van verschillende informatie-aanbieders bevatten.<ul>
===Luneburg's solution===
 
Each point on the surface of an ideal Luneburg lens is the focal point for parallel radiation incident on the opposite side. Ideally, the [[dielectric constant]] <math>\epsilon_r</math> of the material composing the lens falls from 2 at its center to 1 at its surface (or equivalently, the [[refractive index]] <math>n</math> falls from <math>\sqrt{2}</math> to 1), according to
  <li>[http://www.social.safealarmpr.com/index.php/blogs/96259/2855686/nike-sneakers-dacht-ik http://www.social.safealarmpr.com/index.php/blogs/96259/2855686/nike-sneakers-dacht-ik]</li>
 
 
:<math>n=\sqrt{\epsilon_r}=\sqrt{2-\left ( \frac{r}{R}\right ) ^2}</math>
  <li>[http://bbs1.ueuo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=174106 http://bbs1.ueuo.com/forum.php?mod=viewthread&tid=174106]</li>
 
 
where <math>R</math> is the radius of the lens. Because the refractive index at the surface is the same as that of the surrounding medium, no reflection occurs at the surface. Within the lens, the paths of the rays are arcs of [[ellipse]]s.
  <li>[http://1109525177a.a170.cnaaa9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=350536 http://1109525177a.a170.cnaaa9.com/forum.php?mod=viewthread&tid=350536]</li>
 
 
===Maxwell's fish-eye lens===
  <li>[http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=395635 http://60.191.126.74:2222/dengpin/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=395635]</li>
[[Image:Maxwells fish-eye lens.svg|thumb|right|alt=A circle, shaded sky blue at the center, fading to white at the edge. A bundle of red curves emanate from a point on the circumference and re-converge at a point at the opposite edge of the circle. Another bundle does the same from the upper left.|Cross-section of Maxwell's fish-eye lens, with blue shading representing increasing refractive index]]
 
Maxwell's fish-eye lens is also an example of the generalized Luneburg lens. The fish-eye, which was first fully described by Maxwell in 1854<ref name="maxwell_1854">{{cite journal |year=1854 |title=Solutions of problems (prob. 3, vol. VIII. p. 188) |journal=The Cambridge and Dublin mathematical journal |publisher=Macmillan |volume=9 |pages=9–11 |url=http://books.google.com/books?id=-bI5AAAAMAAJ&pg=PA9}}</ref> (and therefore pre-dates Luneburg's solution), has a refractive index varying according to
  <li>[http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/ http://www.metransparent.com/spip.php?article9653&lang=ar&id_forum=11085/]</li>
 
 
:<math>n = \sqrt{\epsilon_r} = \frac{n_0}{1 + \left( \frac{r}{R}\right)^{2}}</math>.
</ul>
 
It focuses each point on the spherical surface of radius ''R'' to the opposite point on the same surface. Within the lens, the paths of the rays are arcs of circles.
 
====Publication and attribution====
The properties of this lens are described in one of a number of set problems or puzzles in the 1853 ''Cambridge and Dublin Mathematical Journal''.<ref name="maxwell_1853">{{cite journal |year=1853 |title=Problems (3) |journal=The Cambridge and Dublin mathematical journal |publisher=Macmillan |volume=8 |page=188 |url=http://books.google.com/books?id=1xoAAAAAMAAJ&pg=PA188}}</ref> The challenge is to find the refractive index as a function of radius, given that a ray describes a circular path, and further to prove the focusing properties of the lens. The solution is given in the 1854 edition of the same journal.<ref name="maxwell_1854"/> The problems and solutions were originally published anonymously, but the solution of this problem (and one other) were included in Niven's ''The Scientific Papers of James Clerk Maxwell'',<ref>{{cite book  |editor=Niven |title=The Scientific Papers of James Clerk Maxwell |url=http://www.archive.org/stream/scientificpapers01maxw#page/76 |year=1890 |publisher=Dover Publications |location=New York |page=76}}</ref> which was published eleven years after Maxwell's death.
 
==Applications==
In practice, Luneburg lenses are normally layered structures of discrete concentric shells, each of a different refractive index. These shells form a stepped refractive index profile that differs slightly from Luneburg's solution.  This kind of lens is usually employed for [[microwave|microwave frequencies]], especially to construct efficient [[microwave antenna]]s and [[radar]] calibration standards. Cylindrical analogues of the Luneburg lens are also used for [[collimating]] light from [[laser diode]]s.
 
===Radar reflector===
A [[Retroreflector|radar reflector]] can be made from a Luneburg lens by metallizing parts of its surface. Radiation from a distant radar transmitter is focussed onto the underside of the metallization on the opposite side of the lens; here it is reflected, and focussed back onto the radar station. A difficulty with this scheme is that metallized regions block the entry or exit of radiation on that part of the lens, but the non-metallized regions result in a blind-spot on the opposite side.
 
===Microwave antenna===
A Luneburg lens can be used as the basis of a high-gain radio antenna. This antenna is comparable to a [[dish antenna]], but uses the lens rather than a parabolic reflector as the main focusing element. As with the dish antenna, a [[antenna feed|''feed'']] to the receiver or from the transmitter is placed at the focus, the feed typically consisting of a [[horn antenna]]. The [[phase centre]] of the [[feed horn]] must coincide with the point of focus, but since the phase centre is invariably somewhat inside the mouth of the horn, it cannot be brought right up against the surface of the lens. Consequently it is necessary to use a variety of Luneburg lens that focusses somewhat beyond its surface,<ref name="Lo-and-Lee"/> rather than the classic lens with the focus lying on the surface.
 
A Luneburg lens antenna offers a number of advantages over a parabolic dish. Because the lens is spherically symmetric, the antenna can be steered by moving the feed around the lens, without having to bodily rotate the whole antenna. Again, because the lens is spherically symmetric, a single lens can be used with several feeds looking in widely different directions. In contrast, if multiple feeds are used with a parabolic reflector, all must be within a small angle of the [[optical axis]] to avoid suffering [[coma (optics)|coma]] (a form of de-focussing). Apart from [[offset dish antenna|offset]] systems, dish antennas suffer from the feed and its supporting structure partially obscuring the main element (''aperture blockage''); in common with other refracting systems, the Luneburg lens antenna avoids this problem.
 
A variation on the Luneburg lens antenna is the ''hemispherical Luneburg lens antenna'' or ''Luneburg reflector antenna''. This uses just one hemisphere of a Luneburg lens, with the cut surface of the sphere resting on a reflecting metal [[ground plane]]. The arrangement halves the weight of the lens, and the ground plane provides a convenient means of support. However, the feed does partially obscure the lens when the [[angle of incidence]] on the reflector is less than about 45°.
 
==Path of a ray within the lens==
For any spherically symmetric lens, each ray lies entirely in a plane passing through the centre of the lens. The initial direction of the ray defines a line which together with the centre-point of the lens identifies a plane bisecting the lens. Being a plane of symmetry of the lens, the [[gradient]] of the refractive index has no component perpendicular to this plane to cause the ray to deviate either to one side of it or the other. In the plane, the [[circular symmetry]] of the system makes it convenient to use [[polar coordinates]] <math>\scriptstyle{(r,\theta)}</math> to describe the ray's trajectory.
 
Given any two points on a ray (such as the point of entry and exit from the lens), [[Fermat's principle]] asserts that the path that the ray takes between them is that which it can traverse in the least possible time. Given that the speed of light at any point in the lens is inversely proportional to the refractive index, and by [[Pythagoras's theorem|Pythagoras]], the time of transit between two points <math>\scriptstyle{(r_{1},\theta_{1})}</math> and <math>\scriptstyle{(r_{2},\theta_{2})}</math> is
 
:<math>T = \int _{(r_{1},\theta_{1})}^{(r_{2},\theta_{2})}\frac{n(r)}{c} \sqrt{(r d \theta)^{2} + d r^{2}} = \frac{1}{c} \int _{\theta_{1}}^{\theta_{2}}n(r) \sqrt{r^{2} + \left( \frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta</math>
 
where <math>\scriptstyle{c}</math> is the speed of light in vacuum. Minimizing this <math>\scriptstyle{T}</math> yields a second-order [[differential equation]] determining the dependence of <math>\scriptstyle{r}</math> on <math>\scriptstyle{\theta}</math> along the path of the ray. This type of minimization problem has been extensively studied in [[Lagrangian mechanics]], and a ready-made solution exists in the form of the [[Beltrami identity]], which immediately supplies the [[first integral]] of this second order equation. Substituting <math>\scriptstyle{L(r,r') = n(r) \sqrt{{r'}^{2} + r^{2}}}</math> (where <math>\scriptstyle{r'}</math> represents <math>\scriptstyle{\frac{d r}{d \theta}}</math>), into this identity gives
 
:<math>n(r) \sqrt{{r'}^{2} + r^{2}} - n(r) \frac{{r'}^{2}}{\sqrt{{r'}^{2} + r^{2}}} = h</math>
 
where <math>\scriptstyle{h}</math> is a [[constant of integration]]. This first-order differential equation is [[Separable ordinary differential equation|separable]], that is it can be re-arranged so that <math>\scriptstyle{r}</math> only appears on one side and <math>\scriptstyle{\theta}</math> only on the other:
 
:<math>d \theta = \frac{h}{r \sqrt{(n(r))^{2} r^{2} - h^{2}}} d r</math>.<ref name="luneburg"/>
 
The parameter <math>\scriptstyle{h}</math> is a constant for any given ray, but differs between rays passing at different distances from the centre of the lens. For rays passing through the centre, it is zero. In some special cases, such as for Maxwell's fish-eye, this first order equation can be further integrated to give a formula for <math>\scriptstyle{\theta}</math> as a function or <math>\scriptstyle{r}</math>. In general it provides the relative rates of change of <math>\scriptstyle{\theta}</math> and <math>\scriptstyle{r}</math>, which may be [[Numerical methods for ordinary differential equations| integrated numerically]] to follow the path of the ray through the lens.
 
==See also==
*[[Gravitational lens]]es also have a radially decreasing refractive index.
 
==References==
{{reflist
|refs=
<ref name="luneburg">{{cite book
|title=Mathematical Theory of Optics|last=Luneburg |first=R. K. |authorlink=Rudolf Luneburg |year=1944 |publisher=Brown University |location=Providence, Rhode Island |pages=189–213
}}</ref>
<ref name="Lo-and-Lee">{{cite book
| last1    = Lo
| first1    = Y. T.
| last2    = Lee
| first2    = S. W.
| title    = Antenna Handbook: Antenna theory
| url      = http://books.google.co.uk/books?id=uxQP2Rfv44MC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false
| series    = Antenna Handbook
| year      = 1993
| publisher = Springer
| isbn      = 9780442015930
| pages    = 40
}}</ref>
}}
 
==External links==
* [http://www.youtube.com/watch?v=aURuC4Ur84Q Animation of propagation through a Luneburg Lens (Dielectric Antenna)] from YouTube
* [http://www.youtube.com/watch?v=MGsfxDq2QRo Animation of a Maxwell's Fish-Eye Lens] from YouTube
* [http://www.youtube.com/watch?v=DsQt3oe-HO4 Animation of a Half Maxwell's Fish-Eye Lens (Dielectric Antenna)] from YouTube
 
{{DEFAULTSORT:Luneburg Lens}}
[[Category:Lenses]]

Latest revision as of 08:29, 16 November 2014

Nike Air Max Outlet Ding is

Ze hoeven niet per se weten hoe dat te doen op 7 en 9 de hele tijd. Ze gaan altijd naar de junk food en snoep willen maar ze zijn langzaam leren hoe om vervangingen en andere gezonde keuzes, dat is echt een grote beloning voor mij te maken .. Mumbai: Het Hooggerechtshof op Donderdag bevestigde acteur Sanjay Dutt's overtuiging onder de Wet wapens, maar verminderd zijn straf van zes jaar tot vijf jaar in de Nike Air Max Outlet Mumbai 1993 ontploffing geval.

Met behulp van een aantal ad-netwerken kunnen echt helpen bij het maken van geld met behulp van je sites of blogs en dus voegen extra geld in uw inkomen. Dit zou kunnen gebeuren door het creëren Air Max Ltd Ii van hoogwaardige content, samen met het onderhoud van uw niche gebied. We gemodelleerd het spel kaarten na Trivial Pursuit en alle vragen werden met betrekking tot het jaar Larry is geboren; 1962.

De Ram en de Steenbok Woolrich Heren Jassen zijn totaal tegengesteld qua volgende sociale normen. Ram wordt gezegd dat ze helemaal tegen sociale grenzen en normen, terwijl een Steenbok, altijd zou worden gevonden helemaal vast te houden aan deze normen en regels. Finniss, voor zover verzendingsbewijzen dat zachtaardige man droeg uit de opmerkingen.

Falen is een belangrijk onderdeel van het succes, of in ieder geval een belangrijke stap op de weg naar steeds succesvol. Wanneer de stillyoung zoektocht industrie getuige van een storing van welke aard dan ook, het lijkt te genieten van [.]. Ik zou stok met de Zalman op dat punt.

De ouder als handhaver "dwingt" positieve invloeden op eten van een kind en eetgedrag. Bijvoorbeeld, ouders te helpen een kind te leren om te luisteren en te reageren op interne signalen van honger en volheid. De wolk visualiseert algemene informatie verbonden met Marnie McEachern en niet aan een specifieke persoon met die naam.

Ding is, als GTX680 heeft een typisch turboboost tot 1056MHz zoals verkondigd door nVidia, zeiden ze niets verkeerd en beloofde Ray Ban Clubmaster Prijs niets mis. Dat recensenten zie hoger klokken in hun banken 'niet in hun handen'. De kwestie met inbegrip van hem in een ODI of T20 ploeg nu alleen verder met de selectie fouten die cricket australië hebben pagued in de afgelopen tijd.

Kastelen of oude gebouwen of iets dat een verhaal achter zich heeft zou geweldig zijn. Ik weet dat het waarschijnlijk dit weekend regenen, maar dat is oke. Nitty Gritty: Beoordeling van onze huidige kleur als "te over blond" voor onze huidskleur, Villanueva geschilderd bij weinig licht om diepte toe te voegen, dan oordeelkundig weefde in smalle gouden strepen.

Michael Kors Tas Sale Als je een Nikon D40

Er zijn geen kosten, ben ik gecompenseerd door Michael Kors Tas Sale de verschillende verzekeringsmaatschappijen. U betaalt nooit extra bij gebruik van een agent alle premies zijn hetzelfde weer kunt online solliciteren of via een agent. Mitzi zegt de grootste lessen die ze geleerd waren over controle over de porties en het belang van het doen van lichamelijke activiteit per dag.

We maakten FACEtoFACE contact met de stafchef. Ze kozen ervoor niet te reageren .. Ik heb een ander probleem, maar het nogal gênant. Wanneer ik probeer te masturberen i cant past alles groter dan een tampon in me zonder zonder het pijn echt slecht. Je hoeft niet om kinderen te krijgen (of draag een beha, echt), maar we hebben een womenonly klasse gecreëerd om de unieke leerstijl dat vrouwen Longchamp Nederland in een groep te vieren, en zodat je niet het gevoel geïntimideerd als u haven ' t tijd gehad om domme dingen zoals het lezen van de 200 pagina's tellende handleiding die bij de camera ;) kwam doen. De schietpartij tips zijn gericht op hoe om beelden van kinderen vast te leggen, maar kan worden toegepast op allerlei onderwerpen [. Opmerking: Als je een Nikon D40, D60, D3000, D3100, D5000 of D5100 zie de FAQ's hieronder]. FAQ's : "Wat als ik het niet kan maken nadat ik registreren" Let op ons beleid voordat u uw registratie af te ronden: Uw ticket is niet terugbetaalbaar, maar het is overdraagbaar.

"De Malinese overheid is primair verantwoordelijk voor zijn eigen mensen om ontwikkeling van het land te rijden", vervolgt Diaby. "Het moet zeker om het beheer van hun bronnen te verbeteren en verspreiden van de voordelen eerlijker. Hollister Belgium Adres Sommige van de kaarten beter geschikt voor 216 spelers, terwijl anderen te ondersteunen maximaal 32 spelers. Dat gezegd hebbende, als je wilt 32 spelers proppen in een

Het houden van wetenschappelijke informatie over mango's in het achterhoofd, aanbevelingen over de vrucht rechtvaardigen een relook. Dit is vanwege de invloed op het lichaamsgewicht, bloedsuiker en gezondheid .. Dravid en Laxman, in een zin zou je Lacoste Shop Belgie kunnen noemen ze Ram en Laxman omdat ze voor altijd zal geassocieerd worden met de gouden annalen van de Indiase cricket, vooral na hun matchwinning partnerschappen, de ene in Kolkata en de een op Adelaide.

In een kleine, heavybottomed steelpan, voeg voldoende water nauwelijks bedekken de bodem van de pan. Voeg de suiker toe aan het midden van de pot, bevochtig het gelijkmatig met het water, en alle kristallen die krijgen op de zijkanten van de pan in het water te wassen. Deze site kan adviezen, meningen en uitspraken van verschillende informatie-aanbieders bevatten.

Retrieved from "https://en.formulasearchengine.com/index.php?title=Leibniz_formula_for_π&oldid=237557"