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'''Archimedes' cattle problem''' (or the '''problema bovinum''' or '''problema Archimedis''') is a problem in [[Diophantine equation#Diophantine_analysis|Diophantine analysis]], the study of [[polynomial equation]]s with [[integer]] solutions. Attributed to [[Archimedes]], the problem involves computing the number of cattle in a herd of [[Helios|the sun god]] from a given set of restrictions. The problem was discovered by [[Gotthold Ephraim Lessing]] in a Greek manuscript containing a poem of forty-four lines, in the Herzog August Library in [[Wolfenbüttel]], [[Germany]] in 1773.
== Nike Free Tro vi er nok i den beste plassen vi kunne vre ==


The problem remained unsolved for a number of years, due partly to the difficulty of computing the huge numbers involved in the solution. The general solution was found in 1880 by A. Amthor. He gave the exact solution using exponentials and showed that it was about  <math>7.76 \times 10^{206544}</math> cattle, far more than could fit in the observable universe. The decimal form is too long for humans to calculate exactly, but [[Arbitrary-precision arithmetic|multiple precision arithmetic]] packages on computers can easily write it out explicitly.
Giana mor ønsker datteren å ha en kant. Hovedmålet er å ha henne i forkant av klassen, sier Gina Moreno. Don vil at hun skal være den ungen som trenger [en] skoletid program, som trenger hjelp. Jeg bestemte meg for å prøve å involvere familiemedlemmer mer. Jeg spurte [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free] min twelveyearold sønn til å hjelpe meg med å skrive opp de agendaer. [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free Run 3] Jeg bestemte meg for en åpning sang ville hjelpe og spurte min fiveyearold datter til å lede den. <br><br>Video er også en fin måte å invitere leserne til å delta på nettstedet ditt. Be dem om å spille inn en video på et bestemt tema, og sende det til deg. Velg de beste innleveringer og publisere dem på nettstedet ditt .. De moderne [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free 5.0] treningsmetoder, som for eksempel BOSU? Stabilitet Ball, Kjernestyret, pilates, etc. Er perfekt for vinter sport fitness. Hvis du får dem glade, hvem vet? Du kan bare forandre livet deres!. <br><br>En av de favets til dette produktet som jeg liker spesielt godt er at den er myk og et sted i mellom en tykk kroppskrem og en lett få. Dvergen med en Lisp i love vitser og riddlesa dverg med en Lisp går inn i et stutteri, 'Jeg vil gjerne kjøpe en Horth sier han til o. Drug klasse mekanisme av sildenafil kjemisk virkning kamagraen er identisk med andre erektil dysfunksjon behandlinger, roer det musklenes vev i penis og samtidig øke blodstrømmen inn i organet.. <br><br>'Basert på interne bandet spørsmål luftes offentlig, er usikkert min fremtid med bandet. Jeg har prøvd å møte med mine bandmedlemmer gjentatte ganger uten å lykkes, men har informert dem om at jeg ikke går bort fra bandet mitt på 25 år. Det bekymrer meg at de aktuelle juridiske spørsmål som ble innlevert av selskapene mot min personlige manager er skille oss og forårsaker mer dysfunksjon.. <br><br>Takk for din interesse for å bli med i vårt team av helsepersonell på TriStar Centennial, en del av TriStar Family of Sykehus. Våre fasiliteter tilbyr en [http://www.lofotr.no/scripts/cycle/helper.asp Nike Shoes] rekke karrieremuligheter. Med 18 sykehus og 10 ambulerende kirurgi sentre lokalisert over hele Tennessee, Kentucky og North Georgia, er du sikker på å finne en arbeidsplass som gjør mer for deg personlig og profesjonelt ... <br><br>Politikerne i Pakistan har besvart dem. Soldatene i Pakistan har besvart dem. Vi har mistet over 7000 pakistanske soldater og politimenn, og over 37 000 sivile. Når et selskap er på jakt etter konsulenttjenester, ønsker den å ansette folk som kan utnytte sine primære ferdigheter og krever lite Rampup. Det samme har en tendens til å gjelde når et selskap er å ansette nye medarbeidere. Jo raskere du kan treffe bakken kjører, jo mer gunstig vil du være som en kandidat ...<ul>
 
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</ul>


== History ==
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In 1769, [[Gotthold Ephraim Lessing]] was appointed librarian of the Herzog August Library in [[Wolfenbüttel]], [[Germany]], which contained many Greek and Latin manuscripts.<ref name="rorres">{{cite web |url=http://www.mcs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Cattle/Statement.html |title=Archimedes' Cattle Problem (Statement) |accessdate=2007-01-24 |last=Rorres |first=Chris| archiveurl= http://web.archive.org/web/20070124203443/http://www.mcs.drexel.edu/%7Ecrorres/Archimedes/Cattle/Statement.html| archivedate= 24 January 2007 <!--DASHBot-->| deadurl= no}}</ref> A few years later, Lessing published translations of some of the manuscripts with commentaries. Among them was a Greek poem of forty-four lines, containing an arithmetical problem which asks the reader to find the number of cattle in [[The Cattle of Helios|the herd of the god of the sun]]. The name of Archimedes appears in the title of the poem, it being said that he sent it in a letter to [[Eratosthenes]] to be investigated by the mathematicians of [[Alexandria]]. The claim that Archimedes authored the poem is disputed, though, as no mention of the problem has been found in the writings of the Greek mathematicians.<ref name="merriman1905">{{cite journal |last=Merriman |first=Mansfield |journal=[[Popular Science|Popular Science Monthly]] |pages=660–665 |title=The Cattle Problem of Archimedes |year=1905 |volume=67}}</ref>
Il voulait acheter un certain nombre de pistolets pour son unité. Glock 26 ans pour être exact. Il voulait certaines «capacités» construites en eux. Je contremaître sur ce chantier. Comme contremaître, vous avez beaucoup de responsabilités et vous avez à traiter avec beaucoup [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free 5.0] de personnalités, beaucoup d'attitude, et beaucoup de testostérone. Vous devez vous rappeler qui vous traiter ou vous marcher sur les pieds. <br><br>Comment le moniteur ne courent cet avantage? En étant la promiscuité. Le moniteur laisse toutes ses histoires de façon permanente en ligne gratuitement, tandis que le Journal verrouille son derrière [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free Run 3] un mur de paytosee. Les blogueurs donc presque jamais de lien vers des articles de revues, tandis qu'ils aiment faire un lien vers Surveillance articles.. <br><br>Les suspects habituels sont en partie responsables de la hausse effrayant dans [http://www.lofotr.no/scripts/cycle/helper.asp Nike Norge] cette maladie mortelle chez les femmes trentenaires twentyand, y compris la couche d'ozone disparaît et le fait que nous avons toujours des coups de soleil, même si nous devrions savoir mieux. (En fait, la recherche récente a montré que la moitié de tous les adultes et 66 pour cent de Blancs 18 à 29 ans indiquent qu'ils ont au moins un coup de soleil dans l'année écoulée.) Mais parce que ces facteurs affectent les femmes et des hommes, et la hausse des diagnostics de mélanome sont les jeunes femmes, les médecins commencent à croire bronzage artificiel peut augmenter le risque d'une personne pour le mélanome de 75 pour cent une des principales raisons de la maladie est devenue une épidémie. Les chiffres sont frappants: pour cent Thirtytwo de blanc les femmes âgées de 18 à 21 et 30 pour cent des femmes âgées de blancs de 22 à 25 disent qu'ils utilisent des lits de bronzage, selon les Centers for Disease Control and Prevention.. <br><br>Ils portaient des fusées V2 et un jet expérimental allemand démantelé. L'emplacement actuel de Pawn Shop Joe. Son professeur était thirdgrade Kathryn Hamilton. Est également très important. Je ne peux pas faire mon esprit sur cette question: quelle est la partie la plus importante? Minifying ou la mise en cache? Après tout, si notre mise en cache est juste, notre nonminification ne nous a fait mal la première fois que l'utilisateur accède à la page. Une fois que tous les fichiers sont dans le cache, grossissement n'a pas d'importance anymore.So je considère la mise en cache au même niveau d'importance que minification.. <br><br>Googlyfish le blog de Royaume-Uni. Si vous trouvez ouvert le jour de Noël à Asheville carburant maxx générateurs de tourbillons une journée ensoleillée encourage vipères à sortir dans les stations de télévision [http://www.lofotr.no/scripts/blackbirdjs/black.asp Nike Free Run] à haute définition ouverts. Forcer l'utilisation libre et ouvert: petites annonces de vente par les propriétaires en belgique ouvrir votre esprit mp3 quelle est la relation de traumatisme à l'apprentissage.<ul>
 
 
== Problem ==
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum24672199 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum24672199]</li>
 
 
The problem, from an abridgement of the German translations published by [[Georg Nesselmann]] in 1842, and by Krumbiegel in 1880, states:
  <li>[http://www.xamlt.net/forum.php?mod=viewthread&tid=129743&fromuid=17244 http://www.xamlt.net/forum.php?mod=viewthread&tid=129743&fromuid=17244]</li>
 
 
<blockquote>
  <li>[http://citoyensdumonde.fr/spip.php?article132/ http://citoyensdumonde.fr/spip.php?article132/]</li>
Compute, O friend, the number of the cattle of the sun which once grazed upon the plains of Sicily, divided according to color into four herds, one milk-white, one black, one dappled and one yellow. The number of bulls is greater than the number of cows, and the relations between them are as follows:
 
 
  <li>[http://www.cpbrestoration.com/cpbrestoration02/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=3&id=1198313&Itemid=0#1198313 http://www.cpbrestoration.com/cpbrestoration02/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=3&id=1198313&Itemid=0#1198313]</li>
:White bulls <math>=\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)</math> black bulls + yellow bulls,
 
:Black bulls <math>=\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)</math> dappled bulls + yellow bulls,
</ul>
:Dappled bulls <math>=\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right)</math> white bulls + yellow bulls,
:White cows <math>=\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)</math> black herd,
:Black cows <math>=\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)</math> dappled herd,
:Dappled cows <math>=\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\right)</math> yellow herd,
:Yellow cows <math>=\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right)</math> white herd.
 
If thou canst give, O friend, the number of each kind of bulls and cows, thou art no novice in numbers, yet can not be regarded as of high skill. Consider, however, the following additional relations between the bulls of the sun:
 
:White bulls + black bulls = a [[square number]],
:Dappled bulls + yellow bulls = a [[triangular number]].
 
If thou hast computed these also, O friend, and found the total number of cattle, then exult as a conqueror, for thou hast proved thyself most skilled in numbers.<ref name="merriman1905"/>
</blockquote>
 
== Solution ==
 
The first part of the problem can be solved readily by setting up a [[System of linear equations|system of equations]]. If the number of white, black, dappled, and yellow bulls are written as <math>W, B, D,</math> and <math>Y</math>, and the number of white, black, dappled, and yellow cows are written as <math>w,b,d,</math> and <math>y</math>, the problem is simply to find a solution to:
 
: <math> \begin{align}
W &{}=\frac{5}{6}B+Y \\
B &{}=\frac{9}{20}D+Y \\
D &{}=\frac{13}{42}W+Y \\
w &{}=\frac{7}{12}(B+b) \\
b &{}=\frac{9}{20}(D+d) \\
d &{}=\frac{11}{30}(Y+y) \\
y &{}=\frac{13}{42}(W+w)
\end{align}</math>
 
which is a system of seven equations with eight unknowns. It is [[Indeterminate system|indeterminate]], and has infinitely many solutions. The least positive integers satisfying the seven equations are:
 
: <math>\begin{align}
B &{}=7,460,514 \\
W &{}=10,366,482 \\
D &{}=7,358,060 \\
Y &{}=4,149,387 \\
b &{}=4,893,246 \\
w &{}=7,206,360 \\
d &{}=3,515,820 \\
y &{}=5,439,213
\end{align}</math>
 
which is a total of 50,389,082 cattle<ref name="merriman1905"/> and the other solutions are integral multiples of these. Note that the first four numbers are multiples of 4657, a value which will appear repeatedly below.
 
The general solution to the second part of the problem was first found by A. Amthor<ref>B. Krumbiegel, A. Amthor, ''Das Problema Bovinum des Archimedes'', Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik 25 (1880) 121-136, 153-171.</ref> in 1880.  The following version of it was described by [[H. W. Lenstra]],<ref>{{cite journal |last= Lenstra |first= H. W. |authorlink= H. W. Lenstra |year= 2002 |volume= 29 |issue= 2 |pages= 182–192 |journal= Notices of the American Mathematical Society |url= http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf |format=PDF|title= Solving the Pell equation}}</ref> based on [[Pell's equation]]: the solution given above for the first part of the problem should be multiplied by
 
: <math>n = \frac{(w^{4658j} - w^{-4658j})^2}{(4657)(79072)} \,</math>
 
where
 
: <math>w = 300426607914281713365 \sqrt{609} + 84129507677858393258 \sqrt{7766}</math>
 
and ''j'' is any positive integer. Equivalently, squaring ''w'' results in,
 
: <math>w^2 = u+v\sqrt{(609)(7766)} \,</math>
 
where {u,v} are the fundamental solutions of the [[Pell equation]],
 
: <math>u^2-(609)(7766)v^2 = 1 \,</math>
 
The size of the smallest herd that could satisfy both the first and second parts of the problem is then given by  ''j'' = 1, and is about <math>7.76 \times 10^{206544}</math> (first solved by Amthor). Modern computers can easily print out all digits of the answer.  This was first done at the [[University of Waterloo]], in 1965 by Hugh C. Williams, R. A. German, and Charles Robert Zarnke. They used a combination of the [[IBM 7040]] and [[IBM 1620]] computers.<ref>{{cite web |title= Unbundling Computing at The University of Waterloo |author= Harold Alkema and Kenneth McLaughlin  |publisher= University of Waterloo |year= 2007 |url= http://www.cs.uwaterloo.ca/40th/Chronology/printable.shtml |accessdate= April 5, 2011 | archiveurl= http://web.archive.org/web/20110404172741/http://www.cs.uwaterloo.ca/40th/Chronology/printable.shtml| archivedate= 4 April 2011 <!--DASHBot-->| deadurl= no}} (includes pictures)</ref>
 
==Pell Equation==
 
The constraints of the second part of the problem are straightforward and the actual [[Pell equation]] that needs to be solved can easily be given.  First, it asks that ''B+W'' should be a [[Square number|square]], or using the values given above,
 
:<math>B+W = 7,460,514k + 10,366,482k = (2^2)(3)(11)(29)(4657)k \, </math>
 
thus one should set ''k'' = (3)(11)(29)(4657)''q''<sup>2</sup> for some integer ''q''. That solves the first condition. For the second, it requires that ''D+Y'' should be a [[triangular number]],
 
:<math>D+Y = \frac{t^2+t}{2} </math>
 
Solving for ''t'',
 
:<math>t = \frac{-1\pm\sqrt{1+8(D+Y)}}{2} </math>
 
Substituting the value of ''D+Y'' and ''k'' and finding a value of ''q''<sup>2</sup> such that the [[discriminant]] of this quadratic is a perfect square ''p''<sup>2</sup> entails solving the [[Pell equation]],
 
:<math>p^2-(4)(609)(7766)(4657^2)q^2 = 1 \,</math>
 
Amthor's approach discussed in the previous section was essentially to find the smallest ''v'' such that it is integrally divisible by 2*4657. The fundamental solution of this equation has more than 100,000 digits.
 
== References ==
<references/>
 
== Further reading ==
* {{cite book |last=Dörrie |first=Heinrich |title=100 Great Problems of Elementary Mathematics |publisher=[[Dover Publications]] |year=1965 |pages=3–7 |chapter=Archimedes' ''Problema Bovinum''}}
* {{cite journal |last= Williams |first= H. C. |coauthors= German, R. A.; and Zarnke, C. R. |title= Solution of the Cattle Problem of Archimedes |journal= Mathematics of Computation |year= 1965 |volume= 19 |pages= ''pp''. 671–674 |doi= 10.2307/2003954 |issue= 92 |publisher= American Mathematical Society |jstor= 2003954}}
* {{cite journal |doi= 10.2307/2589706 |last= Vardi |first= I. |title= Archimedes' Cattle Problem |journal= American Mathematical Monthly |year= 1998 |volume= 105 |pages= ''pp''. 305–319 | issue= 4 |publisher=  Mathematical Association of America}}
 
[[Category:Diophantine equations]]
[[Category:Large integers]]
[[Category:Works by Archimedes]]

Latest revision as of 13:14, 31 December 2014

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Ils portaient des fusées V2 et un jet expérimental allemand démantelé. L'emplacement actuel de Pawn Shop Joe. Son professeur était thirdgrade Kathryn Hamilton. Est également très important. Je ne peux pas faire mon esprit sur cette question: quelle est la partie la plus importante? Minifying ou la mise en cache? Après tout, si notre mise en cache est juste, notre nonminification ne nous a fait mal la première fois que l'utilisateur accède à la page. Une fois que tous les fichiers sont dans le cache, grossissement n'a pas d'importance anymore.So je considère la mise en cache au même niveau d'importance que minification..

Googlyfish le blog de Royaume-Uni. Si vous trouvez ouvert le jour de Noël à Asheville carburant maxx générateurs de tourbillons une journée ensoleillée encourage vipères à sortir dans les stations de télévision Nike Free Run à haute définition ouverts. Forcer l'utilisation libre et ouvert: petites annonces de vente par les propriétaires en belgique ouvrir votre esprit mp3 quelle est la relation de traumatisme à l'apprentissage.

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