Tensors in curvilinear coordinates: Difference between revisions

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The '''McMullen problem''' is an open problem in [[discrete geometry]] named after [[Peter McMullen]].
== Nike Air Max 1 Fb  schwanger zu werden ==


==Statement==
'Es ist nicht vorbei, bis es vorbei ist, wie [http://www.mcaviglia.ch/test/pageflip/test/session.asp?a=252-Nike-Air-Max-1-Fb Nike Air Max 1 Fb] Yogi Berra einmal [http://www.eyerex.com/net/news/Beschreibung/header.asp?p=85-Pandora-Ringe-Kombinieren Pandora Ringe Kombinieren] gesagt.'. Die Unruhen, die als die schlimmste, dass Dublin hat sich in einem Vierteljahrhundert gesehen beschrieben wurden, brach um 12.45 Uhr. Zwar gibt es viele andere interessante Aktivitäten im Freien, auf einen Urlaub zu westlichen Colorado tun, sollten Golfer noch nehmen ihre Golfschläger so gibt es einige gute Möglichkeiten der Orte, um mit günstigen Preisen zu spielen.<br><br>Bestimmte Vitamine fördern auch Chemikalien im Gehirn. Im Jahr 2001, sagte ehemalige Scientologe Astra Woodcraft den San Francisco Chronicle, dass sie beschlossen, zu versuchen, schwanger zu werden, weil sie dachte, dies würde ihr helfen, von Scientology zu bekommen, wegen seiner Praktiken [http://www.leu-ruesi.ch/pages/inc/Guest.asp?n=30-Nike-Schuhe Nike Schuhe] in Bezug auf Abtreibung. [16] 'Wenn Sie schwanger werden, sie werden Ihnen zu einem ihrer kleineren, unteren Ebene Organisationen senden.<br><br>Der Aufstieg der Linken, von Bill de Blasio Wahl zum Bürgermeister von New York veranschaulicht, hat eine neue Druckpunkt der politischen Berechnungen Obamas aufgenommen .. Der Anwalt sollte Erfahrung mit lokalen Strafsachen. Das ganze Flugzeug Fallschirmsystem kann das Leben der Flugzeuginsassen gerettet hatte ihn sicher im Einsatz deutlich von Gebäuden, aber das System ist nicht darauf ausgelegt, das Trauma mit einem Flugzeug Aufprall auf ein Gebäudemanagement vermieden werden.<br><br>Was ist Souveränität? Blacks Law Dictionary 2nd Ed. Am Ende war es noch nie in der Lage, sein volles Potential zu leben. Erwarten Sie Multitasking auf dem Galaxy Note 2 so glatt wie es geht .. Er interessierte sich für die schwarze Ratte Schlange, weil es Razzien Vogelnester für die Jungvögel, sowie Schluck Nagetiere.<br><br>Protein ist bekannt für seine wichtige Rolle in den Aufbau von Muskeln bekannt. Und an den Tagen, wenn die langen Läufe fühlte mich wie zu viel und ich wollte aufhören, würde ich mir singen: Ich bin stark. Ihre Mitgliedschaft verlängert sich automatisch 60 Tage nach Ihrem Start-Datum, und wird auch weiterhin danach monatlich zu erneuern, wenn Sie Ihre Mitgliedschaft vor der Erneuerung zu annullieren.<br><br>Meisten Leute kaufen die WP8 Nokia Telefon auf die Stärke der Hardware (meiner Meinung nach, was ich gelesen habe, und die Menschen, die ich mit, die einen haben gesprochen wird)\u003e. Aber das syrische Militär hat keine Skrupel mit der vollen Kraft seiner russischen gemacht Hardware in stampfenden Stellungen der Aufständischen, auch in städtischen Gebieten stark konzentriert gezeigt.<br><br>Muttermilch ist gut für Frühchen, aber sie sind nicht in der Lage sein könnte Krankenschwester sofort. Vielleicht Chief Inspector Phil Nikolaus, der Sussex Police Straßen Polizeieinheit konnte nun seine Aufmerksamkeit nach Brighton Hove Bus Company. Higgins und Pickering Wenn (die königlich und komödiantischen Paxton Whitehead) zurück aus der Gesellschaft Ball, wo Eliza hat alle getäuscht, [http://www.relax-limousinen.ch/images/umbau/banner.asp?m=56-Michael-Kors-Tasche-Blau Michael Kors Tasche Blau] feiern sie 'ihre' Leistung, völlig ignorieren Eliza.<ul>
In 1972, McMullen has proposed the following problem:<ref name="L">L. G. Larman(1972), "On Sets Projectively Equivalent to the Vertices of a Convex Polytope", ''Bull. London Math. Soc.'' '''4''', pp.6&ndash;12</ref>
 
: Determine the largest number <math>\nu(d)</math> such that any given <math>\nu(d)</math> points in [[general position]] in affine ''d''-space '''[[real number|R]]'''<sup>''d''</sup> there is a [[projective transformation]] mapping these points onto the vertices of a [[convex polytope]].
  <li>[http://colossuscorporation.net/appicker/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=27&id=559212&Itemid=534#559212 http://colossuscorporation.net/appicker/index.php?option=com_kunena&func=view&catid=27&id=559212&Itemid=534#559212]</li>
 
 
==Equivalent formulations==
  <li>[http://ciarcr.org/spip.php?article310/ http://ciarcr.org/spip.php?article310/]</li>
===Gale transform===
 
Using the [[Gale transform]], this problem can be reformulate as:
  <li>[http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum25268085 http://enseignement-lsf.com/spip.php?article64#forum25268085]</li>
: Determine the smallest number <math>\mu(d)</math> such that every set of <math>\mu(d)</math> points ''X'' = {''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''&mu;''(''d'')</sub>} in linearly general position on '''S'''<sup>d-1</sup> it is possible to choose a set ''Y'' = {''&epsilon;''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub>,''&epsilon;''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub>,...,''&epsilon;''<sub>''&mu;''(''d'')</sub>''x''<sub>''&mu;''(''d'')</sub>} where ''&epsilon;''<sub>''i''</sub> = &plusmn;1 for ''i'' = 1, 2, ..., ''&mu;''(''d''), such that every open hemisphere of '''S'''<sup>''d''&minus;1</sup> contains at least two members of Y.
 
 
  <li>[http://xzzbg.com/news/html/?794071.html http://xzzbg.com/news/html/?794071.html]</li>
The number <math>\mu(k)</math>, <math>\nu(d)</math> are connected by the relationships
 
 
  <li>[http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/ http://elec.newroomschat.com/spip.php?article30/]</li>
: <math>\mu(k)=\min\{w \mid w\leq\nu(w-k-1)\} \, </math>
 
: <math>\nu(d)=\max\{w \mid w\geq\mu(w-d-1)\} \, </math>
</ul>
 
===Partition into nearly-disjoint hulls===
Also, by simple geometric observation, it can be reformulate as:
: Determine the smallest number <math>\lambda(d)</math> such that for every set ''X'' of <math>\lambda(d)</math> points in '''[[real number|R]]'''<sup>''d''</sup> there exists a [[Partition of a set|partition]] of ''X'' into two sets ''A'' and ''B'' with
 
:: <math>\operatorname{conv}(A\backslash \{x\})\cap \operatorname{conv}(B\backslash \{x\})\not=\varnothing,\forall x\in X. \, </math>
 
The relation between <math>\mu</math> and <math>\lambda</math> is
 
: <math>\mu(d+1)=\lambda(d),\qquad  d\geq1 \, </math>
 
===Projective duality===
[[File:Pentagon dual arrangement.svg|thumb|300px|An [[arrangement of lines]] dual to the regular pentagon. Every five-line projective arrangement, like this one, has a cell touched by all five lines. However, adding the [[line at infinity]] produces a six-line arrangement with six pentagon faces and ten triangle faces; no face is touched by all of the lines. Therefore, the solution to the McMullen problem for ''d''&nbsp;=&nbsp;2 is ''&nu;''&nbsp;=&nbsp;5.]]
The equivalent [[projective dual]] statement to the McMullen problem is to determine the largest number <math>\nu(d)</math> such that every set of <math>\nu(d)</math> [[hyperplane]]s in general position in ''d''-dimensional [[real projective space]] form an [[arrangement of hyperplanes]] in which one of the cells is bounded by all of the hyperplanes.
 
==Results==
This problem is still open. However, the bounds of <math>\nu(d)</math> are in the following results:
*Larman proved that <math>2d+1\leq\nu(d)\leq(d+1)^2</math>. (1972)<ref name="L" />
*[[Michel Las Vergnas]] proved that <math>\nu(d)\leq\frac{(d+1)(d+2)}{2}</math>. (1986)<ref name="LV">[[Michel Las Vergnas|M. Las Vergnas]] (1986), "Hamilton Paths in Tournaments and a Problem McMullen on Projective Transformations in '''R'''<sup>d</sup>", ''Bull. London Math. Soc.'' '''18''', pp.571&ndash;572</ref>
*Alfonsín proved that <math>\nu(d)\leq2d+\lceil\frac{d+1}{2}\rceil</math>. (2001)<ref name="A">J. L. Ram&iacute;rez Alfons&iacute;n(2001), "Lawrence Oriented Matroids and a Problem of McMullen on Projective Equivalences of Polytopes", ''Europ. J. Combinatorics'' '''22''', pp.723&ndash;731</ref>
 
The conjecture of this problem is <math>\nu(d)=2d+1</math>, and it is true for d=2,3,4.<ref name="L" /><ref name="F">D. Forge, M. Las Vergnas and P. Schuchert(2001), "A Set of 10 Points in Dimension 4 not Projectively Equivalent to the Vertices of Any Convex Polytope", ''Europ. J. Combinatorics'' '''22''', pp.705&ndash;708</ref>
 
==References==
{{reflist}}
 
[[Category:Discrete geometry]]
[[Category:Unsolved problems in mathematics]]

Latest revision as of 08:55, 25 October 2014

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'Es ist nicht vorbei, bis es vorbei ist, wie Nike Air Max 1 Fb Yogi Berra einmal Pandora Ringe Kombinieren gesagt.'. Die Unruhen, die als die schlimmste, dass Dublin hat sich in einem Vierteljahrhundert gesehen beschrieben wurden, brach um 12.45 Uhr. Zwar gibt es viele andere interessante Aktivitäten im Freien, auf einen Urlaub zu westlichen Colorado tun, sollten Golfer noch nehmen ihre Golfschläger so gibt es einige gute Möglichkeiten der Orte, um mit günstigen Preisen zu spielen.

Bestimmte Vitamine fördern auch Chemikalien im Gehirn. Im Jahr 2001, sagte ehemalige Scientologe Astra Woodcraft den San Francisco Chronicle, dass sie beschlossen, zu versuchen, schwanger zu werden, weil sie dachte, dies würde ihr helfen, von Scientology zu bekommen, wegen seiner Praktiken Nike Schuhe in Bezug auf Abtreibung. [16] 'Wenn Sie schwanger werden, sie werden Ihnen zu einem ihrer kleineren, unteren Ebene Organisationen senden.

Der Aufstieg der Linken, von Bill de Blasio Wahl zum Bürgermeister von New York veranschaulicht, hat eine neue Druckpunkt der politischen Berechnungen Obamas aufgenommen .. Der Anwalt sollte Erfahrung mit lokalen Strafsachen. Das ganze Flugzeug Fallschirmsystem kann das Leben der Flugzeuginsassen gerettet hatte ihn sicher im Einsatz deutlich von Gebäuden, aber das System ist nicht darauf ausgelegt, das Trauma mit einem Flugzeug Aufprall auf ein Gebäudemanagement vermieden werden.

Was ist Souveränität? Blacks Law Dictionary 2nd Ed. Am Ende war es noch nie in der Lage, sein volles Potential zu leben. Erwarten Sie Multitasking auf dem Galaxy Note 2 so glatt wie es geht .. Er interessierte sich für die schwarze Ratte Schlange, weil es Razzien Vogelnester für die Jungvögel, sowie Schluck Nagetiere.

Protein ist bekannt für seine wichtige Rolle in den Aufbau von Muskeln bekannt. Und an den Tagen, wenn die langen Läufe fühlte mich wie zu viel und ich wollte aufhören, würde ich mir singen: Ich bin stark. Ihre Mitgliedschaft verlängert sich automatisch 60 Tage nach Ihrem Start-Datum, und wird auch weiterhin danach monatlich zu erneuern, wenn Sie Ihre Mitgliedschaft vor der Erneuerung zu annullieren.

Meisten Leute kaufen die WP8 Nokia Telefon auf die Stärke der Hardware (meiner Meinung nach, was ich gelesen habe, und die Menschen, die ich mit, die einen haben gesprochen wird)\u003e. Aber das syrische Militär hat keine Skrupel mit der vollen Kraft seiner russischen gemacht Hardware in stampfenden Stellungen der Aufständischen, auch in städtischen Gebieten stark konzentriert gezeigt.

Muttermilch ist gut für Frühchen, aber sie sind nicht in der Lage sein könnte Krankenschwester sofort. Vielleicht Chief Inspector Phil Nikolaus, der Sussex Police Straßen Polizeieinheit konnte nun seine Aufmerksamkeit nach Brighton Hove Bus Company. Higgins und Pickering Wenn (die königlich und komödiantischen Paxton Whitehead) zurück aus der Gesellschaft Ball, wo Eliza hat alle getäuscht, Michael Kors Tasche Blau feiern sie 'ihre' Leistung, völlig ignorieren Eliza.

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